专题01 平面及其基本性质重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高二数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第三册）

专题01 平面及其基本性质重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 平面的概念及其表示 题型二 空间位置关系的画法 题型三 平面分空间的区域数量 题型四 平面的基本性质及辨析 题型五 点(线)确定的平面数量问题 题型六 空间中的点(线)共面问题 题型七 空间中的点共线问题 题型八 空间中的线共点问题 题型九 由平面的基本性质作截面图形 题型十 平面的基本性质的有关计算 题型十一 空间图形的平面直观图的画法 知识点01：空间的点、直线与平面 定义与基本概念：理解空间中点、直线和平面的基本定义及符号表示，如点用大写字母表示，直线和平面则通常用小写字母或带箭头的字母表示。例如，点A，直线l，平面α。 位置关系：掌握点、直线和平面之间的位置关系，包括点在直线上、点在平面上、直线在平面上以及它们之间的交叉与平行关系。例如，点A在直线l上可表示为A∈l，直线l在平面α上表示为l⊂α。 知识点02：相交平面 交线的概念：当两个平面相交时，它们的交集形成一条直线，称为交线。例如，平面α与平面β相交，其交线可以表示为α∩β=l。 交线性质：掌握交线与两平面内其他直线的关系，比如任何与两个平面都相交的直线必然与交线相交。这在解决空间几何问题时尤为重要。 【经典例题一 平面的概念及其表示】 【例1】（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）如果点 在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一下·上海浦东新·期末）若点在直线上，在平面内，则用符号表示､､之间的关系可记作 . 3．（24-25高二·上海·课堂例题）若三角形的两个顶点在平面α上，若三角形的内心也在平面α上，则三角形的第三个顶点是否也在平面α上？ 【经典例题二 空间位置关系的画法】 【例2】（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 1．（23-24高一·全国·课后作业）下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）一个西瓜切3刀，最多能切出 块． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）用硬纸板作为平面的模型，摆出三个平面两两相交各种不同的情况． 【经典例题三 平面分空间的区域数量】 【例3】（2023·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）空间三个平面最多将空间分成 个部分（填数字）. 3．（23-24高二·上海·课堂例题）1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 【经典例题四 平面的基本性质及辨析】 【例4】（22-23高一下·全国·课后作业）在空间中，下列说法正确的是（    ） A．一个点运动一定形成直线 B．直线平行移动形成平面或曲面 C．直线绕定点运动形成锥面 D．矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 1．（24-25高二·上海·课堂例题）对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪些是使三条直线确定一个平面的充分条件（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 2．（22-23高一下·全国·课后作业）直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线 上． 3．（22-23高一·全国·课后作业）如图所示，的各顶点都在平面外，且直线AB、BC、AC分别与平面交于P、Q、R，试找出Q点的位置．（保留作图痕迹） 【经典例题五 点(线)确定的平面数量问题】 【例5】（2024高一下·全国·专题练习）下列命题是真命题的是（    ） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 1．（23-24高二·全国·课后作业）下列命题中是真命题的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两条直线确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线，确定一个平面 2．（2023高三·全国·专题练习）若四面体的各个顶点到平面距离都相等，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是 . 3．（23-24高二上·江西宜春·期中）已知平面α∥β，α内有3个点，β内也有3个点，这6个点任意3点不共线，任意4点不共面，试问这6个点能确定多少个平面？ 【经典例题六 空间中的点(线)共面问题】 【例6】（2023·吉林·模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（    ） A．三点共线 B．四点异不共面 C．四点共面 D．四点共面 1．（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是 . 3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知是空间五个点，且线段和两两相交，求证这五个点在同一平面上. 【经典例题七 空间中的点共线问题】 【例7】（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 1．（22-23高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    3．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【经典例题八 空间中的线共点问题】 【例8】（22-23高一下·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 1．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）如图，点为正方形的中心，平面平面，且，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 2．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，正方体中，对角线与过、D、的平面交于点，则 ．    3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 【经典例题九 由平面的基本性质作截面图形】 【例9】（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（    ）    A．2 B． C．1 D． 1．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知棱长为4的正四面体，用所有与点A，B，C，D距离均相等的平面截该四面体，则所有截面的面积和为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为 ． 3．（2024高三下·全国·专题练习）四棱锥的棱VB，VC，VD上各有一点P，Q，R，过P，Q，R三点作四棱锥的截面（图）. 【经典例题十 平面的基本性质的有关计算】 【例10】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一下·黑龙江大庆·期末）在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·陕西西安·模拟预测）在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，过的平面交于G，则截面的面积为 ． 3．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【经典例题十一 空间图形的平面直观图的画法】 【例11】（23-24高一下·河北唐山·期中）如图，中国人民银行发行的直径为的圆形龙年黄金纪念币，背面设计中，以一个硕大的龙首居中作为主图案，龙首形象生动俊俏，目光清澈笃定．整个修长俊秀的形象中少了些森严，平添几分硬朗与锐利．龙角与龙须延展至币面之外，向外的张力满含蓄势待发的力量感；深浅蓝色搭配的龙睛，炯炯有神．整体造型展现出炎黄子孙人才辈出，敢为人先的拼搏与进取的精神面貌．该纪念币用斜二测画法后，所得直观图的面积（单位：）为（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24高一下·湖北黄冈·期末）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ） A． B． C．8 D．10 2．（24-25高一下·全国·课前预习）用斜二测画法画水平放置的空间图形直观图的步骤 （2）画直观图时，把它们画成对应的轴，，，使 （或）， ，所确定的平面表示水平平面． （4）已知图形中平行于 的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 的线段，长度取原来的一半． 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 1．（22-23高一下·四川凉山·期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则正方体过点E，F，的截面面积为（    ） A． B．5 C． D． 2．（2023·上海浦东新·模拟预测）两个平面与相交但不垂直，直线在平面内，则在平面内（    ） A．一定存在直线与平行，也一定存在直线与垂直； B．一定存在直线与平行，不一定存在直线与垂直； C．不一定存在直线与平行，一定存在直线与垂直； D．不一定存在直线与平行，也不一定存在直线与垂直 3．（2023·河南·模拟预测）在正四棱柱中，，点分别是，的中点，则过点的平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·安徽滁州·阶段练习）如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的个数为（    ） ①，，，四点共面； ②平面； ③与的交点一定在直线上. A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24高一·全国·课后作业）一条直线和直线外的三点所确定的平面个数是 ． 7．（22-23高三·全国·对口高考）一个平面把空间分为 部分；两个平面把空间分为 部分；三个平面把空间分为 部分． 8．（23-24高一下·浙江宁波·期中）正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为 . 9．（22-23高一下·全国·课后作业）用一个平面去截一个正方体，所得到的截面形状可能是 .①锐角三角形；②直角三角形；③矩形；④不是矩形的平行四边形；⑤菱形；⑥五边形；⑦正六边形；⑧正七边形. 10．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是 ． 11．（23-24高二下·全国·课堂例题）如何判断空间中的四点是否共面？ 12．（2024高三·全国·专题练习）若一条直线与两个平行平面中的一个相交，则它必与另一个平面也相交． 13．（2024高一·江苏·专题练习）（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面与平面交于，平面与平面交于. （2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． . 14．（24-25高一下·全国·课后作业）泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征．为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格．现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）． 15．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面及其基本性质重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 平面的概念及其表示 题型二 空间位置关系的画法 题型三 平面分空间的区域数量 题型四 平面的基本性质及辨析 题型五 点(线)确定的平面数量问题 题型六 空间中的点(线)共面问题 题型七 空间中的点共线问题 题型八 空间中的线共点问题 题型九 由平面的基本性质作截面图形 题型十 平面的基本性质的有关计算 题型十一 空间图形的平面直观图的画法 知识点01：空间的点、直线与平面 定义与基本概念：理解空间中点、直线和平面的基本定义及符号表示，如点用大写字母表示，直线和平面则通常用小写字母或带箭头的字母表示。例如，点A，直线l，平面α。 位置关系：掌握点、直线和平面之间的位置关系，包括点在直线上、点在平面上、直线在平面上以及它们之间的交叉与平行关系。例如，点A在直线l上可表示为A∈l，直线l在平面α上表示为l⊂α。 知识点02：相交平面 交线的概念：当两个平面相交时，它们的交集形成一条直线，称为交线。例如，平面α与平面β相交，其交线可以表示为α∩β=l。 交线性质：掌握交线与两平面内其他直线的关系，比如任何与两个平面都相交的直线必然与交线相交。这在解决空间几何问题时尤为重要。 【经典例题一 平面的概念及其表示】 【例1】（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）如果点 在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点线、线面的位置关系，应用数学符号表示它们的关系即可，注意点属于或不属于线、面，线包含于或不包含于面. 【详解】由点在直线上，即； 由直线在平面内，即. 所以. 故选：D. 1．（22-23高一下·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平面的有关概念进行分析，从而确定正确答案. 【详解】两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面，①②正确. 在同一直线上的三个点不能确定一个平面，③错误. 直线和直线上一点不能确定一个平面，④错误. 所以正确的个数为个. 故选：B 2．（23-24高一下·上海浦东新·期末）若点在直线上，在平面内，则用符号表示､､之间的关系可记作 . 【答案】，， 【分析】根据点、线、面的定义，即可得到答案. 【详解】点在直线上，在平面内，则，， 故､､之间的关系可记作，，. 故答案为：，， 3．（24-25高二·上海·课堂例题）若三角形的两个顶点在平面α上，若三角形的内心也在平面α上，则三角形的第三个顶点是否也在平面α上？ 【答案】三角形的第三个顶点也在平面α上 【分析】根据三角形的内心不在边上，结合不共线的三点确定一个平面即可判断． 【详解】三角形的第三个顶点也在平面α上． 因为三角形的两个顶点在平面α上，且内心也在α上， 因为三角形的内心必不在边上， 即有不共线的三点在α上， 则三角形所在平面与α重合． 【经典例题二 空间位置关系的画法】 【例2】（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可. 【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 1．（23-24高一·全国·课后作业）下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照画法原则进行判断即可. 【详解】对于A，图中没有画出平面与平面的交线，故A不正确； 对B，C，图中的虚实线没有按照画法原则去画，故 B，C不正确； 对D，符合画法原则，故D正确， 故选：D 2．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）一个西瓜切3刀，最多能切出 块． 【答案】8 【分析】利用平面的基本性质和位置关系可知，按照竖着切两刀，横着切一刀的方式得到的块数最多. 【详解】根据题意可知，把切的每一刀看成一个平面， 利用平面的基本性质和位置关系可知，先竖着沿两个不重合的平面切两刀到底，再横着沿平面切一刀贯通，如下图所示：    这样可实现块数的倍增，此时得到的块数最多，为8块. 故答案为：8 3．（23-24高二·上海·课堂例题）用硬纸板作为平面的模型，摆出三个平面两两相交各种不同的情况． 【答案】详见解析 【分析】直接画图即可. 【详解】有如下三种情况：    【经典例题三 平面分空间的区域数量】 【例3】（2023·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.    （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；    综上，可以为、、、部分，不能为部分， 故选：B. 1．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据空间中平面位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意； 对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意； 对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意； 对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意. 故选：C 2．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）空间三个平面最多将空间分成 个部分（填数字）. 【答案】 【分析】对三个平面的位置进行分类讨论，作出相应的图形，即可得出结论. 【详解】三个平面两两平行时，这三个平面将空间分为部分； 两平面平行，第三个平面与这两个平面都相交，则这三个平面将空间分为部分； 三个平面两两相交，且交于同一条直线，则这三个平面将空间分为部分； 三个平面两两相交，且交线两两平行时，如三棱柱的三个侧面所在的平面， 这三个平面将空间分为部分； 三个平面两两相交，且交线交于一点，则这三个平面将空间分为部分. 因此，空间三个平面最多将空间分成个部分. 故答案为：. 3．（23-24高二·上海·课堂例题）1个平面把空间分成2部分，2个平面把空间分成3或4部分，3个平面把空间分成几部分？ 【答案】3个平面可将空间分成4、6、7、8部分 【分析】通过画图即可得答案. 【详解】当3个平面互相平行时，可将空间分为4个部分，如图， 当3个平面交于一条直线或第三个平面分别交两个平行平面时，可将空间分为6个部分，如图， 当3个平面两两相交且交线互相平行时，可将空间分为7个部分，如图， 当3个平面如上图所示的两两相交时，可将空间分为8部分，如图， 因此3个平面可将空间分为4、6、7、8个部分. 【经典例题四 平面的基本性质及辨析】 【例4】（22-23高一下·全国·课后作业）在空间中，下列说法正确的是（    ） A．一个点运动一定形成直线 B．直线平行移动形成平面或曲面 C．直线绕定点运动形成锥面 D．矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 【答案】B 【分析】A选项，考虑点可以随意运动；B选项，考虑直线沿一个固定方向平移或非固定方向平移；C选项，可形成平面或锥面；D选项，考虑移动方向垂直矩形所在平面和不垂直于矩形所在平面两种情况. 【详解】A选项，点运动可形成曲线，故A错误； B选项，直线沿固定方向平移形成平面，非固定方向平移形成曲面，故B正确； C选项，直线绕定点运动形成锥面或平面，故C错误； D选项，矩形上各点沿同一方向移动，若移动方向与矩形所在平面垂直形成长方体，若移动方向不与矩形所在平面垂直形成非长方体的四棱柱，故D错误. 故选：B 1．（24-25高二·上海·课堂例题）对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪些是使三条直线确定一个平面的充分条件（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据确定平面的依据，即可判断选项. 【详解】①三条直线两两相交且不共点，则三条直线可以确定一个平面，故①正确； ②三条直线两两平行，有可能确定三个平面，故②错误； ③三条直线共点，有可能确定三个平面，故③错误； ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交，则三条直线确定一个平面，故④正确. 故选：D 2．（22-23高一下·全国·课后作业）直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线 上． 【答案】BD/DB 【分析】利用平面的基本性质证明，再根据点线、线面、及面面关系判断的位置. 【详解】由，，，、，故，， 同理，，故，      由，，则，，故，同理可得， 又直线直线，故，即， 所以必在的交线上. 故答案为： 3．（22-23高一·全国·课后作业）如图所示，的各顶点都在平面外，且直线AB、BC、AC分别与平面交于P、Q、R，试找出Q点的位置．（保留作图痕迹） 【答案】答案见解析. 【分析】利用立体几何基本定理推得落在面与面的交线上，从而得解. 【详解】因为面，， 所以落在面与面的交线上， 因为面，面，所以面， 因为，，所以， 所以面，故， 又，所以， 由此作出点的位置，如图， 【经典例题五 点(线)确定的平面数量问题】 【例5】（2024高一下·全国·专题练习）下列命题是真命题的是（    ） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合确定平面的依据，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当三个点共线时，可作无数个平面，所以A是假命题； 对于B中，如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面， 如果这个点不在这条直线上，由推论1知，有且只有一个平面，所以B是假命题． 对于C中，当三条直线可能交于同一点，可能确定三个平面；当三条直线有三个不同的交点，可以确定一个平面，所以C是假命题； 对于D中，两两平行的三条直线，根据推理（3）可以确定一个或三个平面，所以D正确； 故选：D. 1．（23-24高二·全国·课后作业）下列命题中是真命题的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两条直线确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线，确定一个平面 【答案】D 【分析】根据公理2以及推论判断A、B、D，根据异面直线判断C. 【详解】A：根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A错误； B：一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，故B错误； C：两条直线不可以确定一个平面，比如两条异面直线不能确定一个平面，故C错误； D：两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们确定一个平面， 由公理1知，三条直线都在此平面内，故D正确. 故选：D. 2．（2023高三·全国·专题练习）若四面体的各个顶点到平面距离都相等，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是 . 【答案】 【分析】分3种情况分类讨论即可，①四个顶点均在平面的一侧，②平面的一侧有三个顶点，另一侧有一个顶点，③平面的两侧各有两个顶点.分别求出中位面的个数再相加可得答案. 【详解】解：将所考虑的四面体记作. 若四个顶点均在平面的一侧，则这四个顶点必位于一个与平面平行的平面内，不符合条件； 只考虑以下两种情形. （1）平面的一侧有三个顶点，另一侧有一个顶点. 不妨设在平面 的一侧，点在另一侧， 则三点所确定的平面必平行与， 由点作平面的垂线，为垂足. 则中位面必为经过的中点且与垂直的平面（存在且唯一），该中位面平行于平面，如图. 这种类型的中位面共有4个. （2）平面的两侧各有两个顶点，不妨设点在平面的一侧，点在另一侧， 显然 ， 易知，与为异面直线，中位面必为经过它们公垂线中点且平行于它们的平面（存在且唯一）如图. 因为四面体的6条棱可按异面直线关系分为3组， 所以，这种类型的中位面共有3个. 综上，一个四面体有7个互不相同的中位面. 故答案为：7. 3．（23-24高二上·江西宜春·期中）已知平面α∥β，α内有3个点，β内也有3个点，这6个点任意3点不共线，任意4点不共面，试问这6个点能确定多少个平面？ 【答案】20 【分析】根据题意可得，这6个点中任意三点均可确定一个平面，再将所有可能的情况列举求解即可 【详解】由题意，设内的三点为，内的三点为，根据题意可得，6个点中任意三点均可确定一个平面，故一共可由共20个不同的平面 【经典例题六 空间中的点(线)共面问题】 【例6】（2023·吉林·模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（    ） A．三点共线 B．四点异不共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】C 【分析】由长方体性质易知四点共面且是异面直线, 再根据 与 、面 、 面 的位置关系知 在面 与面 的交线上, 同理判断 , 即可判断各选项的正误. 【详解】 因为 , 则四点共面. 因为 , 则 平面 , 又 平面 , 则点 在平面 与平面的交线上, 同理, 也在平面 与平面 的交线上, 所以三点共线; 从而 四点共面,都在平面 内， 而点B不在平面 内， 所以四点不共面，故选项B正确； 三点均在平面内， 而点A不在平面内， 所以直线AO与平面相交且点O是交点， 所以点M不在平面内， 即 四点不共面， 故选项C错误； ，且， 所以为平行四边形， 所以共面， 所以四点共面， 故选项D正确. 故选: C. 1．（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【详解】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线，四点不共面. 故选：D. 2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是 . 【答案】相交 【分析】利用平面的性质结合图形可得答案. 【详解】在正方体中，易知，且， 即四边形是平行四边形， 又平面， 在同一平面中，，所以直线与直线相交. 故答案为：相交    3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知是空间五个点，且线段和两两相交，求证这五个点在同一平面上. 【答案】证明见解析 【分析】根据基本事实及推论证明即可； 【详解】如图，设，， ∵， ∴确定一个平面， ∵， ∴， 同理， ∴直线即直线， ∴，， ∴这五个点在同一平面上. 【经典例题七 空间中的点共线问题】 【例7】（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【分析】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【详解】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 1．（22-23高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】推导出，，从而，由此能证明E，F，G，H四点共面；，从而直线EG与直线FH必相交，设交点为P，证明P点在直线上． 【详解】如图所示，     E，F分别为AB，AD的中点，∴，， 分别在，CD上，且，∴，， ∴，则E，F，G，H四点共面，说法①正确； ∵，四边形是梯形，不成立，说法②错误； 若直线与直线交于点P，则由，平面，得平面， 同理平面，又平面平面， ∴则P，A，C三点共线，说法③正确； 说法中正确的有2 个. 故选：C 2．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【答案】共线 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      3．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【详解】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 【经典例题八 空间中的线共点问题】 【例8】（22-23高一下·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【答案】B 【分析】首先利用相似三角形证明且，再利用中位线定理证明且，从而得到四边形为梯形，且，是梯形的两腰，设，交于一点，利用平面的性质证明是直线，，的公共点即可． 【详解】因为，，且， 所以，所以且， 因为，分别为，的中点，所以且， 所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰， 所以，交于一点，设交点为，则，， 又因为平面，且平面， 所以平面，且平面， 又平面平面， 所以， 所以点是直线，，的公共点， 故直线、、相交于一点．    故选：B 1．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）如图，点为正方形的中心，平面平面，且，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 【答案】A 【分析】由题意作出图形，并连接，结合已知条件容易证明四边形为等腰梯形，从而由等腰梯形的性质即可求解. 【详解】如图所示： 连接，点为正方形的中心， 则经过点，且点为中点， 是线段的中点， 所以在中，， 又， 且由正方形性质可知， 所以， 即四边形为等腰梯形， 又为等腰梯形的对角线， 所以，且直线是相交直线. 故选：A. 2．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，正方体中，对角线与过、D、的平面交于点，则 ．    【答案】 【分析】由平面的基本性质确定是与的交点，进而利用平行线分线段成比例即可得解. 【详解】连接交于，连接、，    由，面，则面， 又面，而面面，故， 所以是与的交点，又， 所以， 所以. 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 【答案】证明见解析 【分析】先证明四边形，均为梯形，则直线与必相交，与必相交，再结合长度关系得到点重合即证. 【详解】在正四棱台中，因为，，，，所以四边形，均为梯形， 则直线与必相交，与必相交. 延长，，，设的延长线与的延长线交于点， 的延长线与的延长线交于点． 在正四棱台中，，， 则，，得，所以点重合， 即直线，，相交于同一点. 【经典例题九 由平面的基本性质作截面图形】 【例9】（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（    ）    A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度. 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则.    故选：C 1．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知棱长为4的正四面体，用所有与点A，B，C，D距离均相等的平面截该四面体，则所有截面的面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到两类截面，分别为一类是平面的一侧是1个点，另外一侧有3个点（如图1）， 此时截面过棱的中点，且与一个面平行；另外一类是平面的两侧各有2个顶点（如图2）， 因为正四面体对棱垂直，分别计算出面积即可. 【详解】与点A，B，C，D距离均相等的平面可分为两类， 一类是平面的一侧是1个点，另外一侧有3个点（如图1）， 此时截面过棱的中点，且与一个面平行， 故截面三角形与平行的面（三角形）相似，相似比为，故其面积为， 这样的截面共有4个，故这类截面的面积和为， 另外一类是平面的两侧各有2个顶点（如图2）， 因为正四面体对棱垂直，易知四边形PQMN是边长为2的正方形，其面积为4， 这样的截面共有3个，故这类截面的面积和为12， 故符合条件的截面的面积和为. 故选：A． 2．（2024·山东济南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到平面截该四棱柱所得截面为五边形，求出各边边长，相加得到答案. 【详解】延长相交于点，连接交于点，连接， 因为正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点， 所以，，， 因为∽，，故，， 在上取点，连接，则， 同理可知，所以四边形为平行四边形， 故四点共面， 则平面截该四棱柱所得的截面为五边形， ，， 同理， 故截面周长为. 故答案为： 3．（2024高三下·全国·专题练习）四棱锥的棱VB，VC，VD上各有一点P，Q，R，过P，Q，R三点作四棱锥的截面（图）. 【答案】答案见解析 【分析】首先找到交点,连接ST，又因为，得出答案    . 【详解】（i），，连接ST（为截面与底面的交线，称为轴线）； （ii）； （iii），则四边形RQPK即是过P，Q，R三点的棱锥的截面. 【经典例题十 平面的基本性质的有关计算】 【例10】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球相关知识，即可判断． 【详解】考虑平面上个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 若平面内个点两两距离相等，则其中有三个点、、构成等边三角形， 第四个点到等边三角形三个顶点的距离相等，则第四个点必为等边三角形的中心， 则，易知，则，矛盾， 当时，也不成立； 在空间中，个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立； 当时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点与它们距离相等， 必为正四面体的外接球的球心， 将棱长为的正四面体置于正方体中，则正方体的棱长为， 正四面体的外接圆半径为，矛盾， 同理时不成立． 故选：C． 1．（22-23高一下·黑龙江大庆·期末）在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先作出截面，再根据几何关系求边长，即可求解周长. 【详解】如图1，延长与交于点，连结，与交于点， 连结，则四边形为所求截面， 其中，，    如图2，，所以，即，    如图1，若，则，所以， 即点是的中点， 所以， 中，， 所以， 所以四边形的周长为. 故选：B 2．（2023·陕西西安·模拟预测）在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，过的平面交于G，则截面的面积为 ． 【答案】 【分析】 作出图形，根据线线平行得平行四边形，进而确定出截面为平行四边形，进而求出面积， 【详解】 取上靠近点的一个四等分点，连接，， 因为，所以且，则四边形为平行四边形， 所以且，过点作，因为，所以四边形为平行四边形， 则且，所以且，则截面为平行四边形， 由直四棱柱的性质可得， ， ，， 在△中，由余弦定理得，， 所以， 则截面的面积为； 故答案为：6    3．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度； （2）利用（1）直接求解. 【详解】（1）如图所示：平面， 与底面的交点必在侧面与底面的交线上， 过点的平面与平面的交线是，（在线段的延长线上）， 与平面的交线是（在线段上）． （2）由（1）可知：， 在Rt中，由勾股定理得． 【经典例题十一 空间图形的平面直观图的画法】 【例11】（23-24高一下·河北唐山·期中）如图，中国人民银行发行的直径为的圆形龙年黄金纪念币，背面设计中，以一个硕大的龙首居中作为主图案，龙首形象生动俊俏，目光清澈笃定．整个修长俊秀的形象中少了些森严，平添几分硬朗与锐利．龙角与龙须延展至币面之外，向外的张力满含蓄势待发的力量感；深浅蓝色搭配的龙睛，炯炯有神．整体造型展现出炎黄子孙人才辈出，敢为人先的拼搏与进取的精神面貌．该纪念币用斜二测画法后，所得直观图的面积（单位：）为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求出原图的面积，由直观图与原图面积的关系，计算可得答案． 【详解】根据题意，原图为直径为的圆，其面积， 则其直观图的面积． 故选：A． 1．（23-24高一下·湖北黄冈·期末）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的原则进行求解即可. 【详解】由题设知：原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：D 2．（24-25高一下·全国·课前预习）用斜二测画法画水平放置的空间图形直观图的步骤 （2）画直观图时，把它们画成对应的轴，，，使 （或）， ，所确定的平面表示水平平面． （4）已知图形中平行于 的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 的线段，长度取原来的一半． 【答案】 轴或轴 轴 【分析】略. 【详解】略. 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】运用斜二测画法画图即可. 【详解】画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使． （2）以为中点在轴上取，在轴上取，以为中点画轴，并使． （3）连接，，所得的四边形就是水平放置的等腰梯形的直观图． 1．（22-23高一下·四川凉山·期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则正方体过点E，F，的截面面积为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】连接BE，BF，可得正方体过点E，F，的截面为平行四边形，判断出为菱形，即可求出面积． 【详解】连接BE，BF，取的中点G，连接GF，， ∵，∴为平行四边形，∴， ∵，∴为平行四边形，∴， ∴，∴为平行四边形，即四点共面， ∴正方体过点E，F，的截面为平行四边形， 又，则为菱形， ∵， ∴菱形的面积． 故选：C． 2．（2023·上海浦东新·模拟预测）两个平面与相交但不垂直，直线在平面内，则在平面内（    ） A．一定存在直线与平行，也一定存在直线与垂直； B．一定存在直线与平行，不一定存在直线与垂直； C．不一定存在直线与平行，一定存在直线与垂直； D．不一定存在直线与平行，也不一定存在直线与垂直 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得分两种情况：和，然后对选项逐一验证即可得到结果. 【详解】设，则有两种情况：和， 当时，在平面内不存在直线与平行，故AB错误； 当时，在平面内一定存在直线与平行，也一定存在直线与垂直， 当时，在平面内不存在直线与平行，由三垂线定理可知，一定存在直线与垂直， 综上：不一定存在直线与平行，但一定存在直线与垂直，故C正确，D错误； 故选：C 3．（2023·河南·模拟预测）在正四棱柱中，，点分别是，的中点，则过点的平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先作出图形，然后分析图形的特征，求出边长，进而得出周长. 【详解】如图，延长交的延长线于点，交的延长线于点， 连接并延长交于点，交的延长线于点， 连接，分别交，于点，， 连接，，则六边形所在平面即为平面， 六边形即为过点的平面截正四棱柱所得的截面多边形， 由全等三角形可知，，，分别为，，的中点， 因为，所以， 所以六边形的周长为． 故选：D．    4．（22-23高一下·安徽滁州·阶段练习）如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直观图与原图的关系分析求解即可； 【详解】由图可知，所以四边形的面积为； 根据轴不变，轴减半的原则，的坐标为：    四边形周长为 所以四边形周长与面积的数值之比为, 故选：A. 5．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的个数为（    ） ①，，，四点共面； ②平面； ③与的交点一定在直线上. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用平面几何的性质及平行公理可得，且四边形为梯形，结合公理可得答案. 【详解】依题意，可得，，故，所以，，，四点共面，故①正确； 因为，，所以四边形为梯形，与必相交，设交点，所以不平行平面，故②错误； 因为点在上，故点在平面，同理，点在平面上， 所以点是平面与平面的交点， 又是平面与平面的交线，所以与的交点一定在直线上，故③正确； 故选：C 6．（23-24高一·全国·课后作业）一条直线和直线外的三点所确定的平面个数是 ． 【答案】或或 【分析】对直线外三点与直线的位置关系进行分类讨论，结合基本事实1及其推论可得出结果. 【详解】分以下三种情况讨论： （1）直线外三点与直线共面，此时可确定个平面； （2）直线外三点只有两点与直线共面，此时可确定个平面； （3）直线外三点任意两点都不与直线共面，此时可确定个平面. 综上所述，一条直线和直线外的三点所确定的平面个数是或或. 故答案为：或或. 7．（22-23高三·全国·对口高考）一个平面把空间分为 部分；两个平面把空间分为 部分；三个平面把空间分为 部分． 【答案】 或 或或或 【分析】根据空间中平面与平面的位置关系判断即可； 【详解】一个平面把空间分为部分； 两个平行平面将空间分成部分，两个相交平面可以将空间分成部分， 故两个平面将空间分成或部分； 当三个平面互相平行时，将空间分成部分，如图1所示； 当有两个平面平行，第三个平面与这两个面都相交，此时将空间分成部分，如图2所示； 当三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成部分，如图3所示； 当三个平面两两相交，且三条直线互相平行时，将空间分成部分，如图4所示； 当两个平面竖着相交，第三个平面与这两个平面相交， 即三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，此时可将空间分成部分，如图5所示； 综上可得三个平面把空间分为或或或部分.            故答案为：；或；或或或 8．（23-24高一下·浙江宁波·期中）正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先明确MN最小值情况，进而得到MN最小时MN位置，然后把空间两根线段和等价转化成共面的两根线段和即可求解. 【详解】如图，连接MC，MA， 则由题意可知当为等腰三角形，当MN垂直于AC时MN最短， 此时N为AC中点，面， 如图延长至G，使得，连接GM， 则面，且， 所以面，故当三点共线时最小， 此时. 故答案为：. 9．（22-23高一下·全国·课后作业）用一个平面去截一个正方体，所得到的截面形状可能是 .①锐角三角形；②直角三角形；③矩形；④不是矩形的平行四边形；⑤菱形；⑥五边形；⑦正六边形；⑧正七边形. 【答案】①③④⑤⑥⑦ 【分析】分别作出平面去截一个正方体所得到的截面形状，进而得到正确选项. 【详解】用一个平面去截一个正方体， 当仅与共点的三条棱相交时，所得到的截面形状是三角形：    设， 则 则， 则均为锐角，则截面形状是锐角三角形. 则①判断正确；②判断错误； 用一个平面去截一个正方体，当截面为时， 四边形为矩形.则③判断正确；    用一个平面去截一个正方体， 当截面为（分别为中点）时， 四边形为菱形，令正方体棱长为a， 则，则， 则不是直角，则四边形不是矩形.则④⑤判断正确；    用一个平面去截一个正方体， 当截面为（分别为四等分点点）时， 为五边形，则⑥判断正确；    用一个平面去截一个正方体， 当截面为（分别为所在棱中点）时， 为正六边形，则⑦判断正确；    正方体仅有6个面，因此截面不可能为七边形.则⑧判断错误. 故答案为：①③④⑤⑥⑦ 10．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是 ． 【答案】 【分析】由直观图还原为原图，分别求得边长从而得到周长. 【详解】如图所示， 在直观图中，设与交于点，则，，， 在原图形中，，，，， 所以原图形的周长是． 故答案为：． 11．（23-24高二下·全国·课堂例题）如何判断空间中的四点是否共面？ 【答案】答案见解析 【分析】分三点共线和三点不共线两种情况判断. 【详解】如果三点共线，则四点共面， 如果三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一实数对，使得. 12．（2024高三·全国·专题练习）若一条直线与两个平行平面中的一个相交，则它必与另一个平面也相交． 【答案】证明见解析 【分析】 利用反证法，可得一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 【详解】 如图，设平面平面，直线与平面交于点，现证明与平面也相交． 假设直线与不相交，则，但，∴直线平面，∴平面， 过作平面使它与平面相交，交线为与平面交于， ∵平面平面，∴， 又平面，∴，则，矛盾， ∴直线与平面相交． 13．（2024高一·江苏·专题练习）（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面与平面交于，平面与平面交于. （2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． . 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】由题意，根据点、线、平面之间的关系，依次作出图形，即可求解. 【详解】符号语言表示：平面平面，平面平面. 用图形表示如图①所示． (2)文字语言叙述为：点在平面与平面的交线上，直线分别在平面内， 图形语言表示如图②所示．         14．（24-25高一下·全国·课后作业）泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征．为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格．现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）． 【答案】答案见解析 【分析】按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图，以直四棱柱的上底面为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图. 【详解】先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图； 以直四棱柱的上底面为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图． 直观图如图所示． 15．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 【答案】(1)图象见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本性质作图. （2）证明四边形为梯形，设，再证明，即可得到三线共点． 【详解】（1）作直线分别交的延长线于，连接交于， 连接交于点，连接，则五边形即为所求，如图： （2）如图，连接，，，四边形是正四棱柱的对角面，则，， 由Q、R分别为中点，得，则，且， 即四边形为梯形，令，则，而平面， 则平面，同理平面，又平面平面，因此， 所以三线共点. 学科网（北京）股份有限公司 $$