第06讲 点面、线面、面面、异面直线的距离（核心考点讲与练）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第三册）

第06讲点面、线面、面面、异面直线的距离（核心考点讲与练） ( 方法 技巧 ) 点到平面的距离求解方法：直接作出点到平面的垂线段，然后求出垂线段的长度，而在作点面垂直时，通常先找面面垂直，然后作两个面交线的垂线，利用面面垂直的性质，即可找出垂线段。 空间立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离.在这些距离当中，点到平面的距离显得尤为重要，在高考中也经常出现，并且线线距离、线面距离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解。因此，点面距离就成了这一类距离问题的交汇点。 ( 考点 精讲 ) 题型一：点面距离 一、单选题 1．（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）若三角形三个顶点到平面的距离分别为3､6､9，记的重心为G，则点G到平面的距离为（       ） A．2､6 B．4､6 C．2､4､6 D．0､2､4､6 【答案】D 【分析】设，，，平面为平面，根据重心坐标公式结合符号即可求解． 【详解】设，，，平面为平面， 则， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述：点G到平面的距离为0､2､4､6 故选：D 二、填空题 2．（2021·上海中学高二期中）三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，空间中一点P到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP的长为______ 【答案】 【分析】根据题设描述可得示意图，即为一个长、宽、高分别为5、3、4的长方体的体对角线，即可求的长. 【详解】由题意可得如下示意图： 即为一个长方体的体对角线，且长方体的长、宽、高分别为5、3、4， ∴， 故答案为：. 3．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）我们知道，在平面几何中，已知三边边长分别为，面积为，在内一点到三条边的距离相等设为，则有.现有三棱锥的两条棱，其余各棱长均为5，三棱锥内有一点到四个面的距离相等，则此距离等于___________ 【答案】## 【分析】求出三棱锥的体积，利用体积法可求得此距离． 【详解】如图，设是中点，连接， 因为，所以， ，平面，所以平面， 又，， 所以， ， ，由题意四个面面积相等， 设到四个面的距离为， ， ． 故答案为：． 4．（2021·上海市七宝中学高二期中）在棱长为1的正方体中，到平面的距离为________. 【答案】 【分析】设到平面的距离为，先求出，再利用等体积法，通过求出. 【详解】如图，设到平面的距离为， ， 又 ， 得. 故答案为： 5．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）已知线段在平面外，、两点到平面的距离分别为1和3，则线段的中点到平面的距离为___________. 【答案】1或2. 【分析】根据两点与平面的位置关系，进行分类分析，利用梯形、三角形的中位线性质，可以求出线段的中点到平面的距离. 【详解】解：由题可知，、两点到平面的距离分别为1和3， 设线段的中点为， 当线段的端点在平面的同侧，如下图： 根据梯形中位线性质可知：线段的中点到平面的距离为； 当线段的端点在平面的异侧，如下图： 根据三角形中位线性质可知：线段的中点到平面的距离为， 所以线段的中点到平面的距离为1或2. 故答案为：1或2. 6．（2021·上海·闵行中学高二阶段练习）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图， 在堑堵中，，，堑堵的顶点到直线的距离为m，到平面的距离为n，则的取值范围是________. 【答案】. 【分析】设，，利用等面积法和等体积法求出m，n关于a的不等式，根据a的范围得出的值． 【详解】设，， 则，，，且B到平面的距离为． ，， ， 又， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了空间距离的计算，棱锥的体积公式，属于中档题． 三、解答题 7．（2021·上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，∠ACB=∠BCC1=90°，四边形ACC1A1是菱形，∠ACC1=120°. (1)证明：A1C⊥AB1； (2)若AC=2，求点C1到平面ABB1A1的距离. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)连接可得平面，所以，再由，得，得平面，由平面可得答案；.(2)利用等体积法求点C1到平面A A1B1的距离，由此可得答案. (1)连接，因为四边形为菱形﹐所以， 因为，，，平面， 所以平面，且平面，所以， 因为，所以， 又因为，平面， 所以平面， 又平面，所以. (2)点C1到平面ABB1A1的距离与点C1到平面A A1B1的距离相等，即三棱锥的底面上的高，设点C1到平面ABB1A1的距离为，则， 由(1) 平面， ∴ 三棱锥的底面上的高为， ∴ ， ∵ AC=2，为等腰直角三角形，四边形ACC1A1是菱形， ∴