专题04 有理数的乘方重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年六年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题04 有理数的乘方重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数的乘方运算 题型二 乘方的应用 题型三 有理数四则混合运算 题型四 有理数四则混合运算的实际应用 题型五 程序流程图与有理数计算 题型六 含乘方的有理数混合运算 题型七 有理数乘方的新定义运算 题型八 有理数幂的概念理解 知识点01：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 知识点02：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【经典例题一 有理数的乘方运算】 【例1】的值是（      ） A．3 B． C． D．1 1．下列各组数中，结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．比较下列a，b，c，d的大小，用“”连接 ． ，，，． 3．观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【经典例题二 乘方的应用】 【例2】拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图所示，这样捏合到第8次后，就可以拉出（    ）根细面条． A．16 B．32 C．64 D． 1．把一张足够大的报纸对折32次厚度约（    ） A．3米 B．3层楼高 C．比珠穆朗玛峰还高 2．当式子有最小值时， ． 3．水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【经典例题三 有理数四则混合运算】 【例3】我们学过+、－、×、÷这四种运算，现在规定“*”是一种新的运算，表示：，如：，那么 （   ）． A．5 B．10 C．15 D．20 1．定义新运算：A*B=A+B+AB，则下列结论正确的是(     ） ①2*1=5    ②2*(-3）= -7    ③(-5 ）*8=37     ④(-7）*(-9）=47 A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 2．规定“*”是一种新的运算符号，对任意自然数a，b，有，则 ． 3．计算： 【经典例题四 有理数四则混合运算的实际应用】 【例4】从1840年到2014年，共有（    ）个闰年． A．39 B．40 C．41 D．43 1．幼儿园老师给小班的小朋友分糖果如果每人分7颗则还差6颗，如果每人分6颗则多出7颗，那么共有糖果（    ）颗． A．85 B．84 C．83 D．82 2．学校买来了5个保温瓶和10个茶杯，共用了90元钱．每个保温瓶是每个茶杯价钱的4倍，每个保温瓶( )元． 3．甲乙两货车同时从相距360千米的A、B两地相对开出，甲车以每小时60千米的速度开往B地，乙车以每小时40千米的速度开往A地．甲车到达B地停留2小时后以原速返回，乙车到达A地停留半小时后以原速返回，那么，返回时两车的相遇地点与A地相距多少千米？ 【经典例题五 程序流程图与有理数计算】 【例5】按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 1．下图是一个“数值转换机”的示意图，按如图所示的运算程序，能使输出值为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为6和，则输出的值分别为 ． 3．如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 【经典例题六 含乘方的有理数混合运算】 【例6】计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法计算） (4)． 1．计算 (1) (2) (3) (4)． (5) (6) (7) (8)． 2．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 3．为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值． 【经典例题七 有理数乘方的新定义运算】 【例7】探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． (1)归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________ (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 1．设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 2．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 3．【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同的有理数（均不等于0）的乘法运算叫做乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 如：，等，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”．根据以上信息，完成下列问题． (1)直接写出结果：______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是（      ） A．任何非零数的次商都等于 B．对于任何正整数， C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：______；______； (4)综合应用：算一算：． 【经典例题八 有理数幂的概念理解】 【例8】下列判断中，（1）1是最小的自然数；（2）正数、零、负数统称为有理数；（3）的底数为－3；（4）a、b互为相反数，则a＋b＝0；（5）当x＝时，，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．表示(     ) A．5个-3相乘的积 B．-3与5相乘的积 C．3个5相乘的积的相反数 D．5个3相乘的积 2．已知x2＝（﹣3）2，则x＝ ． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2)； (3)（个m）． 1．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，A，B，C，D，E是数轴上5个点，A点表示的数为10，E点表示的数为，，则数所对应的点在线段（   ）上 A． B． C． D． 4．小明家的闹钟每小时慢2分钟，早晨按标准时间把闹钟拨准了，到这个钟指向中午时，实际时间是（    ）． A． B．不到 C．超过 5．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 6．a、b是自然数，规定则的值是 ． 7．一个正方形的边长增加，则这个正方形的面积增加 ． 8．下列有理数：，，，，其中负数有 个． 9．一根长的小木棒，如果第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，截第四次后，剩下的小木棒的长度为 ． 10．毕业班的联欢会共有100名同学参加，男同学先到会．第一个到会的女同学与全部男同学握过手，第二个到会的女同学只差1个男同学没握过手，第三个到会的女同学只差2个男同学没握过手，如此直到最后一个到会的女同学与9个男同学握过手．问到会的女同学有 人． 11．计算： 12．计算： (1) (2) (3) (4) 13．（1）计算下列各式并且填空： （    ）； （    ）； （    ）； （    ）； …… （2）细心观察上述运算和结果，你会发现什么规律？ （3）你能很快算出等于多少吗？ 14．如图所示的长方体的容器， 且这个容器的容积为192立方分米．求这个长方体容器底面边长的长为多少分米？ 15．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周前三天销售儿童滑板车______辆，销售量最多的一天比最少的一天多销售______辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；若未完成计划，则少销售一辆扣20元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数的乘方重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数的乘方运算 题型二 乘方的应用 题型三 有理数四则混合运算 题型四 有理数四则混合运算的实际应用 题型五 程序流程图与有理数计算 题型六 含乘方的有理数混合运算 题型七 有理数乘方的新定义运算 题型八 有理数幂的概念理解 知识点01：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 知识点02：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【经典例题一 有理数的乘方运算】 【例1】的值是（      ） A．3 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了小数和整数的乘方，关键知道负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．先对指数相同的两个数进行相乘求出结果，再算乘方来进行计算． 【详解】解： ， 故选：C． 1．下列各组数中，结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：， ∴；故选项A不符合题意； ， ∴与不相等，故选项B不符合题意； ， ∴与不相等，故选项C不符合题意； ， ∴与相等，故选项D符合题意； 故选D． 2．比较下列a，b，c，d的大小，用“”连接 ． ，，，． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的乘方的运算，有理数的大小比较，先计算各数，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ，， 而， ∴； 故答案为： 3．观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【答案】(1)相等 (2) (3)1 【分析】本题考查有理数的乘方， （1 ）根据乘方的定义分别计算可得； （2 ）根据（1 ）中计算结果可得； （3 ）根据所得结论得出，再进一步计算可得． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵，， ∴； ∴每组两个算式的计算结果相等． （2）解：； （3）解： ． 【经典例题二 乘方的应用】 【例2】拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图所示，这样捏合到第8次后，就可以拉出（    ）根细面条． A．16 B．32 C．64 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，能够根据题意列出式子是解题的关键．由图可知，第一次捏合是，即，第二次是，即，第三次是，即，即可得到答案． 【详解】解：第一次捏合后面条根，即根， 第二次捏合后面条根，即根， 第三次捏合后面条根，即根， 故第8次捏合后面条为根， 故选D． 1．把一张足够大的报纸对折32次厚度约（    ） A．3米 B．3层楼高 C．比珠穆朗玛峰还高 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘方的应用，掌握有理数的乘方运算是解题的关键．根据题意，将这张纸对折1次，其厚度是原来的2倍，即倍；对折2次，其厚度是原来的4倍，即倍；对折3次，其厚度是原来的8 倍，即倍，…，对折n次，厚度是倍．据此求解即可． 【详解】解：， 假设这张纸的厚度是毫米， （毫米）（千米）， 这个厚度大大超过穆朗玛峰高度（千米）． 故选：C． 2．当式子有最小值时， ． 【答案】2 【分析】本题考查完全平方的非负性，根据非负数的性质可得时，式子有最小值． 【详解】解：∵， ∴当时，有最小值， ∴当式子有最小值时，． 故答案为：2． 3．水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1)见解析； (2)35天 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为， 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 【经典例题三 有理数四则混合运算】 【例3】我们学过+、－、×、÷这四种运算，现在规定“*”是一种新的运算，表示：，如：，那么 （   ）． A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新定义“*”的运算法则计算即可． 【详解】解：由题意知，， 则， 故选B． 1．定义新运算：A*B=A+B+AB，则下列结论正确的是(     ） ①2*1=5    ②2*(-3）= -7    ③(-5 ）*8=37     ④(-7）*(-9）=47 A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】原式各项利用已知的新定义计算得到结果，即可做出判断． 【详解】①2*1=2+1+2=5，故正确 ②2*(-3）=2-3-6=-7，故正确 ③(-5 ）*8=-5+8-40=-37，故错误 ④(-7）*(-9）=-7-9+63=47，故正确 故选:D 【点睛】此题考查有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键 2．规定“*”是一种新的运算符号，对任意自然数a，b，有，则 ． 【答案】1013 【分析】本题考查了有理数的四则运算，根据题意列出式子计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：1013． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，能够通过所给数，探索数字之间的关系，从而发现规律是解题的关键．将原式化为，再计算即可； 【详解】解： 【经典例题四 有理数四则混合运算的实际应用】 【例4】从1840年到2014年，共有（    ）个闰年． A．39 B．40 C．41 D．43 【答案】D 【分析】本题考查了闰年、平年的判断，解题的关键是掌握四年一闰，百年不闰． 先判断1840年和2014年是否为闰年，再判断1900年和2000年是否为闰年，再计算从1840年到2014年中有多少个4年，即可解答． 【详解】解：， ∵，， ∴2014年不是闰年，1840年是闰年， ∵， ∴1900年不是闰年，2000年是闰年， （个）， ∴从1840年到2014年，共有43个闰年， 故选：D． 1．幼儿园老师给小班的小朋友分糖果如果每人分7颗则还差6颗，如果每人分6颗则多出7颗，那么共有糖果（    ）颗． A．85 B．84 C．83 D．82 【答案】A 【分析】本题主要考查整数的混合运算，涉及到人数等于总差额除以没人两次差额，根据题意可知第二次相比第一次每人少1颗，两次分配总差额为颗，即可求得人数，进一步求得糖果数即可． 【详解】解：第一次每人分7颗，第二次每人分6颗，则第二次相比第一次每人少1颗，两次分配总差额为颗， 则人数为， 那么，糖果数量为， 故选：A． 2．学校买来了5个保温瓶和10个茶杯，共用了90元钱．每个保温瓶是每个茶杯价钱的4倍，每个保温瓶( )元． 【答案】12 【分析】本题考查了整数除法的应用，正确列出运算式子是解题关键．根据每个保温瓶是每个茶杯价钱的4倍可将5个保温瓶换成20个茶杯，据此即可求出每个茶杯的价格，然后乘以4即可得每个保温瓶的价格． 【详解】解：每个茶杯的价格是（元）， 所以每个保温瓶的价格是（元）， 故答案为：12． 3．甲乙两货车同时从相距360千米的A、B两地相对开出，甲车以每小时60千米的速度开往B地，乙车以每小时40千米的速度开往A地．甲车到达B地停留2小时后以原速返回，乙车到达A地停留半小时后以原速返回，那么，返回时两车的相遇地点与A地相距多少千米？ 【答案】两车返回时的相遇地点与A 地相距 108千米 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的应用，先计算甲与乙分别在到达以后以及停留的时间，再计算甲先返回走的路程，再利用相遇问题列式计算即可． 【详解】解：小时， 小时，千米， 两车返回时的相遇时间∶小时， 两车返回时的相遇地点与A 地相距 （千米）． 答：两车返回时的相遇地点与A 地相距 108千米 【经典例题五 程序流程图与有理数计算】 【例5】按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据流程图的意思列出算式． 【详解】解：输入的的值是， 则，返回继续运算， ，输出结果， 故选：D． 1．下图是一个“数值转换机”的示意图，按如图所示的运算程序，能使输出值为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本体考查了代数式求值，将各项代入运算程序中，逐一计算即可，读懂运算程序是解题的关键． 【详解】、输入，，即，输出，不符合题意； 、输入，，即，输出，不符合题意； 、输入，，即，输出，不符合题意； 、输入，，即，输出，符合题意； 故选：． 2．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为6和，则输出的值分别为 ． 【答案】4和5 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，绝对值的求解，根据程序顺序代入求值即可，解题的关键是读懂程序框图，并掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【详解】解：输入x的值为6时，， 输出的值为； 输入x的值为时，， 输出的值为； 所以输出的值分别为4和5， 故答案为：4和5． 3．如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或． 【分析】本题考查了整式的加减中的程序计算，正确理解程序是解题的关键． (1)根据程序，得，计算即可． (2)根据程序，列出代数式，计算即可． (3)根据程序，列出等式，计算即可． (4)根据程序，列出等式，计算即可． 【详解】（1）根据程序，得． （2）根据程序，得， 故答案为：． （3）根据程序，得， ∴， 解得或． （4）根据程序，得， ∴， ∴， 解得或． 【经典例题六 含乘方的有理数混合运算】 【例6】计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法计算） (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数混合计算法则进行计算即可； （3）根据简便运算进行计算； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 1．计算 (1) (2) (3) (4)． (5) (6) (7) (8)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)9 【分析】（1）应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可； （2）应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可； （3）先运算乘除，然后加减解题即可； （4）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题； （5）应用乘法分配律，求出每个算式的值各是多少即可． （6）先运算括号内的加减，然后运算除法解题即可； （7）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题； （8）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题． 此题主要考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1） ； （2） （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） 2．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 3．为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用类比的数学思想解决问题是解题关键．仿照题干，令，进而得到，然后作差，整理即可得到所求式子的值． 【详解】解：令，则， ， ， 即的值为． 【经典例题七 有理数乘方的新定义运算】 【例7】探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． (1)归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________ (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)17 (3) 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算． （1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据∶ ；，可得∶0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方； （2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳*运算的法则∶ 两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ∴， 解得：， 1．设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的乘方．理解题意掌握新定义下的实数运算法则是解题关键． （1）根据新定义下的运算法则计算即可； （2）根据新定义下的运算法则计算出M、N，再相加整理即可． 【详解】（1）解：； （2） 解： ． 2．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解：根据定义， ； （3）解：根据定义， ． 3．【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同的有理数（均不等于0）的乘法运算叫做乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 如：，等，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”．根据以上信息，完成下列问题． (1)直接写出结果：______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是（      ） A．任何非零数的次商都等于 B．对于任何正整数， C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：______；______； (4)综合应用：算一算：． 【答案】(1)， (2)B (3)； (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义的理解与运用； （1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）根据题意确定出所求即可； （3）利用题中的新定义计算即可求出值； （4）原式变形后，计算即可求出值． 【详解】（1）， ， 故答案为：；； （2）A．任何非零数的次商都等于，说法正确，不符合题意； B．对于任何正整数，当为奇数时，；当为偶数时，，原说法错误，符合题意； C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数，说法正确，不符合题意； D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确，不符合题意． 故选：B； （3）解： 故答案为：；． （4） 【经典例题八 有理数幂的概念理解】 【例8】下列判断中，（1）1是最小的自然数；（2）正数、零、负数统称为有理数；（3）的底数为－3；（4）a、b互为相反数，则a＋b＝0；（5）当x＝时，，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据自然数的定义（自然数为非负整数，包括0和所有的正整数）、有理数的定义（整数和分数统称为有理数）、有理数幂的定义（在中，叫做底数，叫做指数）、相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）逐个判断即可得． 【详解】解：（1）0是最小的自然数；则原说法错误； （2）整数和分数统称为有理数，正数和负数不一定都是有理数，则原说法错误； （3）的底数是3，则原说法错误； （4）、互为相反数，则，原说法正确； （5）当时，，则原说法错误； 综上，正确的个数为1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了自然数、有理数、有理数幂、相反数，熟记各概念是解题关键． 1．表示(     ) A．5个-3相乘的积 B．-3与5相乘的积 C．3个5相乘的积的相反数 D．5个3相乘的积 【答案】A 【详解】根据乘方的意义．易得A. 2．已知x2＝（﹣3）2，则x＝ ． 【答案】±3． 【分析】根据有理数的乘方的定义求解即可． 【详解】解：因为x2＝（﹣3）2＝9， 所以x＝±3． 故答案为：±3． 【点睛】本题考查了有理数的乘方．解题的关键是掌握有理数的乘方的运算法则． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2)； (3)（个m）． 【答案】(1)底数是，指数是5 (2)底数是，指数是6 (3)底数是m，指数是 【分析】（1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【详解】（1）解：， 其中底数是，指数是5； （2）解： 其中底数是，指数是6； （3）解：（个m）， 其中底数是m，指数是． 【点睛】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． 1．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，根据乘方法则，乘除法则，进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，正确； B、，正确； C、，正确； D、，原选项计算错误，符合题意； 故选D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，利用有理数的相应的法则对各项进行运算即可求解．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．如图，A，B，C，D，E是数轴上5个点，A点表示的数为10，E点表示的数为，，则数所对应的点在线段（   ）上 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴．先根据，计算出每一个线段的长度，再把的长度与进行比较即可． 【详解】解：点表示数为10，点表示的数为， ， ， ， 点表示的数为， ， ， 数所对应的点在点左侧， 数所对应的点在点之间， 故选：A． 4．小明家的闹钟每小时慢2分钟，早晨按标准时间把闹钟拨准了，到这个钟指向中午时，实际时间是（    ）． A． B．不到 C．超过 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法的混合计算的实际应用，早晨7点按标准时间把闹钟拨准了，到这个钟指向中午12点时，时钟共走了5个小时，因闹钟每小时慢2分钟，时钟走5个小时，就慢了10（分钟），这10分钟又慢了20 秒，据此可得答案． 【详解】解：分钟， 秒， 所以到这个钟指向中午时，实际时间是， 故选：C． 5．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了流程图与有理数的运算，根据题目所给出的运算程序进行计算得出规律即可．熟练掌握有理数的相关运算法则，根据运算结果得出数字的变化规律是解本题的关键． 【详解】解：输入，是奇数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是奇数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是奇数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是奇数，则输出 依次类推，输出分别以、、、、、循环． ． 故第次输出的结果是． 故选：B． 6．a、b是自然数，规定则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解题目所给的运算法则．按照题目所给运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．一个正方形的边长增加，则这个正方形的面积增加 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，熟练掌握正方形面积公式是解题的关键．假设正方形原来的边长为1，则边长增加后，正方形的边长为，则正方形原来的面积为1，则边长增加后，正方形的面积为，即可解答． 【详解】解：设正方形原来的边长为1，则边长增加后，正方形的边长为， 则正方形原来的面积为1，则边长增加后，正方形的面积为， , 故答案为：． 8．下列有理数：，，，，其中负数有 个． 【答案】2 【分析】运用偶次方、去括号、绝对值以及幂的知识进行化简，即可确定负数的个数. 【详解】解：∵=9，=0.2，=-4，=-1 ∴负数有两个，即答案为2. 【点睛】本题考查了偶次方、去括号、绝对值以及幂的知识，灵活运用所学知识是解答本题的关键. 9．一根长的小木棒，如果第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，截第四次后，剩下的小木棒的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，列出正确的算式是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解析：解：根据题意得：， 则截第四次后，剩下的小木棒的长度为． 故答案为：． 10．毕业班的联欢会共有100名同学参加，男同学先到会．第一个到会的女同学与全部男同学握过手，第二个到会的女同学只差1个男同学没握过手，第三个到会的女同学只差2个男同学没握过手，如此直到最后一个到会的女同学与9个男同学握过手．问到会的女同学有 人． 【答案】46 【分析】本题考查有理数四则混合运算的应用，从题目中已经知道参加联欢会的男生和女生共有100名．因此，知道男生人数与女生人数的差即可．将女生的顺序反过来，从后往前看，最后一个到会的女生同9个男生握过手；倒数第二个到会的女生同10个男生握过手；倒数第三个到会的女生同11个男生握过手；如此等等，第一个到会(即倒数最后一个)的女生同全部男生握过手．由此可知，男生的人数比女生的人数多个人．由此可解． 【详解】解：到会女同学的人数为：（人）， 故答案为：46． 11．计算： 【答案】1012 【分析】合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 本题考查了有理数的简便计算，正确分组是解题的关键． 【详解】解： 每两个数为一组，结果是3； 则 即一共有337组； 原式． 12．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)64 (3) (4)0 【分析】本题考查了有理数的加减、有理数的乘除、有理数的混合运算，掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）先去括号，再加减计算即可； （2）从左到右依次计算即可； （3）先将括号内通分计算，再计算乘法即可； （4）先计算乘方，整理括号里的，再计算乘除，最后计算相加即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．（1）计算下列各式并且填空： （    ）； （    ）； （    ）； （    ）； …… （2）细心观察上述运算和结果，你会发现什么规律？ （3）你能很快算出等于多少吗？ 【答案】（1）  （2）见解析  （3） 【分析】本题考查数字规律问题，观察发现上述运算的结果和加数首尾两个数的和的一半的平方有关是解题的关键． （1）直接运算即可解题； （2）根据（1）得计算结果得到结论即可； （3）运用结论计算解题． 【详解】解：（1）； ； ； ； 故答案为：； （2）规律：上述运算和结果，规律是首，尾两个加数和的一半的平方； （3） 14．如图所示的长方体的容器， 且这个容器的容积为192立方分米．求这个长方体容器底面边长的长为多少分米？ 【答案】分米 【分析】本题主要考查了有理数乘方的实际应用，设分米，则分米，根据长方体体积计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设分米，则分米， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 答：这个长方体容器底面边长的长为分米． 15．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周前三天销售儿童滑板车______辆，销售量最多的一天比最少的一天多销售______辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；若未完成计划，则少销售一辆扣20元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)315；29 (2)本周实际销售总量达到了计划量 (3)该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用； （1）根据记录的数据列式计算即可得到结论； （2）把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，即可得出结论； （3）先计算每天的工资，再相加即可求解． 理解题意并列出式子是解题的关键． 【详解】（1）解：本周前三天销售儿童滑板车：（辆）， 根据记录的数据可知销售量最多的一天为星期六，销售量最少的一天为星期五，销量之差为： （辆）； 故答案为：315；29． （2）解：， ∵ ∴本周实际销售总量达到了计划量． （3）解： （元）， 答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元． 学科网（北京）股份有限公司 $$