专题02 有理数的加法与减法重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年六年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2024）

专题02 有理数的加法与减法重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数的加法法则 题型二 有理数的减法运算 题型三 有理数减法的实际应用 题型四 有理数加减的混合运算 题型五 有理数加减中的简便运算 题型六 有理数加减混合运算的应用 题型七 有理数加减法与数轴的综合 题型八 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合 知识点1：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 知识点2：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点3：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 知识点4：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【经典例题一 有理数的加法法则】 【例1】若a，b互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 1．下列各式中，计算结果为正的是（    ） A． B． C． D． 2．A，B是自然数，并且，那么 3．已知，，且，求的值． 【经典例题二 有理数的减法运算】 【例2】设表示大于的最小整数，如，，则（   ）． A． B． C． D． 1．的结果为（    ） A． B．2 C． D．8 2．计算： ． 3．计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． (6)； (7)． 【经典例题三 有理数减法的实际应用】 【例3】今天邳州市最低气温是，最高气温是，那么邳州今天的温差是（    ）℃ A．3 B． C． D．6 1．某地连续四天的天气情况如图，其中温差最大的一天是（    ）     A．17日 B．18日 C．19日 D．20日 2．已知某地一天中的最高温度为，最低温度为，则这天最高温度与最低温度的温差为 ． 3．酒精冻结的温度是，水银冻结的温度是，酒精冻结的温度比水银冻结的温度低多少摄氏度？ 【经典例题四 有理数加减的混合运算】 【例4】计算的结果为（    ） A．0 B．1 C． D．2 1．将写成省略正号和括号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，乐乐将分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在 a、b、c、d 分别标上其中的一个数，则 的值为 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题五 有理数加减中的简便运算】 【例5】在正整数中，前50个偶数的和减去前50个奇数的和所得的结果是（    ） A．50 B． C．100 D． 1．计算－1＋2－3＋4－5＋6－…－97＋98－99＋100的结果为(  ) A．－50 B．－49 C．49 D．50 2．计算： （﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝ ． 3．（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【经典例题六 有理数加减混合运算的应用】 【例6】将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成7段需要（    ）分钟． A．10 B．12 C．14 D．16 1．六（1）班有48人，其中26人参加数学竞赛，24人参加作文竞赛，12人两项都参加了，有（   ）人两项都没有参加． A．13 B．12 C．10 D．4 2．在一个峡谷中，A地的海拔记为，B地比A地高，C地比B地低，则C地的海拔记为 ． 3．某公司7天内货品进出仓库的吨数如下（单位：t）（“+”表示进库，“－”表示出库）： (1)经过这7天，仓库里的货品是_________（选填“增多了”或“减少了”） (2)经过这7天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品，那么7天前仓库里有货品多少吨？ (3)如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这7天要付多少元装卸费？ 【经典例题七 有理数加减法与数轴的综合】 【例7】已知数轴上，两点对应的数分别为，，若在数轴上找一点，使得点，之间的距离为5；再在数轴找一点，使得点，之间的距离为1，则，两点间的距离可能为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 1．点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点移动5个单位长度到点，此时点表示的数是（    ） A．8 B．2 C． D．或2 2．已知数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，点在原点位置，点表示的数为，已知下表中的含义均为前一个点所表示的数与后一个点所表示的数的差，比如为． 10 2 若点与点的距离为，则的值为 ．    3．【阅读与实践】 材料1：点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，我们把数轴上A，B两点之间的距离表示为． 材料2：数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，我们把点A与表示数b的相反数的点之间的距离称为A，B两点之间的“反距离”，记作． 阅读材料1，2，回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离是______；数轴上表示15和6的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离表示为______； (3)数轴上表示数9和的两点之间的反距离是______，数轴上表示和6的两点之间的反距离是______； (4)数轴上表示数a和两点之间的反距离表示为______； (5)如果一个点在数轴上对应的数为m，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为2024，则m的值为______． 【经典例题八 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合】 【例8】下列说法中： ①两个有理数的差一定小于被减数；②绝对值等于它的相反数的数是负数； ③若且，则，同为负数；④，则； ⑤一个有理数不是正数就是负数；⑥最大的负整数是.正确的有（    ） A．①③⑤⑥ B．①③⑥ C．③⑥ D．②③ 1．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 2．如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，，312是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为．则的值为 ． 3．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得； (3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 1．计算的结果是（   ） A． B．5 C． D．1 2．已知，，，则的值为（   ） A． B． C．1或5 D．或 3．某一天凌晨的温度是，中午的气温是，从凌晨到中午气温上升了（    ） A． B． C． 4．如图，数轴上的六个点满足，则在点B、C、D、E对应的数中，最接近的点是（   ） A．点B B．点C C．点D D．点E 5．已知，，三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断，；；；；正确的个数是（　　）    A． B． C． D． 6．已知，，且，，则的值为 ． 7．在数轴上距离有3.7个单位长度的点所表示的数是 ． 8．若，，且的绝对值与它的相反数相等，则的值是 9．明明某天去学校，他看了一下时间，如果每分钟60米，就会迟到5分钟，如果每分钟80米，就可以早到5分钟，他家距离学校( )米． 10．设表示不超过的最大整数，如，．计算 ．计算的结果是 ．绝对值不大于的所有整数和是 ． 11．计算： (1)； (2) 12．计算： (1)； (2)． (3)； (4)； 13．（1） 请把下列各数填入相应的大括号里： ， ， ， ， ， ，0 ，，． 负数集{                                              …}； 分数集{                                              …}； 整数集{                                              …}． （2）列式并计算：在（1）的各数中，最大数与最小数的差． 14．快递员骑电动车从物流公司出发，先向西行驶到达A小区，继续向西行驶到达B小区，然后向东骑行到达C小区最后回到物流公司． (1)以物流公司为原点，向东方向为正方向，用表示，在如图中画出数轴，并在该数轴上表示A，B，C三个小区的位置． (2)C小区离A小区有多远？ (3)求快递员一共骑行的路程． 15．小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）：． 问： (1)小虫是否回到原点O？ (2)小虫离开出发点O最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数的加法与减法重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数的加法法则 题型二 有理数的减法运算 题型三 有理数减法的实际应用 题型四 有理数加减的混合运算 题型五 有理数加减中的简便运算 题型六 有理数加减混合运算的应用 题型七 有理数加减法与数轴的综合 题型八 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合 知识点1：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 知识点2：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点3：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 知识点4：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【经典例题一 有理数的加法法则】 【例1】若a，b互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】若a，b互为相反数，则，根据这个性质，四个选项中，两个数的和只要不是0的，一定不是互为相反数． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴． A、，它们互为相反数； B、，即和不是互为相反数； C、，它们互为相反数； D、，它们互为相反数． 故选：B． 1．下列各式中，计算结果为正的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，根据有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符合，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大数的平方，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．逐个计算即可解答． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 2．A，B是自然数，并且，那么 【答案】9 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握运算法则是解题关键．先通分计算得出，即得出等量关系，再根据A，B是自然数，即得出，，即得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵A，B是自然数， ∴，， ∴． 故答案为：9 3．已知，，且，求的值． 【答案】13或3． 【分析】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是根据已知正确求出与的值． 先根据绝对值的性质和求出与的值，然后代入原式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：，， ， ，或，， 当，时， 原式． 当，时， 原式． 综上所述，的值为13或3． 【经典例题二 有理数的减法运算】 【例2】设表示大于的最小整数，如，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的减法，根据题意表示大于的最小整数，即可得出答案． 【详解】解：∵表示大于的最小整数， ． 故选：B． 1．的结果为（    ） A． B．2 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查有理数减法，熟练掌握有理数减法法则是解题的关键． 根据减法法则计算． 【详解】解：原式， 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的减法：减去一个数，等于加这个数的相反数．解题的关键把有理数的减法利用相反数变成加法，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． (6)； (7)． 【答案】(1)3 (2) (3)168 (4) (5)7 (6)1 (7)31 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）原式利用减法法则计算即可得到结果； （2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （5）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （6）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （7）原式利用减法法则及绝对值的代数意义化简，即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ； （7）解：原式 ． 【经典例题三 有理数减法的实际应用】 【例3】今天邳州市最低气温是，最高气温是，那么邳州今天的温差是（    ）℃ A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的减法应用，用最高气温减去最低气温，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【详解】解：邳州今天的温差是， 故选：D 1．某地连续四天的天气情况如图，其中温差最大的一天是（    ）     A．17日 B．18日 C．19日 D．20日 【答案】B 【分析】此题考查有理数减法的实际应用，分别计算每天的温差，即可得到答案，正确理解题意列得减法算式是解题的关键． 【详解】解：17日温差为； 18日温差为； 19日温差为； 20日温差为； 温差最大的一天是18日， 故选：B． 2．已知某地一天中的最高温度为，最低温度为，则这天最高温度与最低温度的温差为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了有理数的减法，根据题意列式计算即可得出答案． 【详解】解：∵某地一天中的最高温度为，最低温度为， ∴这天最高温度与最低温度的温差为， 故答案为：． 3．酒精冻结的温度是，水银冻结的温度是，酒精冻结的温度比水银冻结的温度低多少摄氏度？ 【答案】78摄氏度． 【分析】根据题意列出算式，然后根据有理数的减法法则计算即可．本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键． 【详解】解：（摄氏度）， 答：酒精冻结的温度比水银冻结的温度低78摄氏度． 【经典例题四 有理数加减的混合运算】 【例4】计算的结果为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查绝对值，有理数加减混合运算．熟练掌握绝对值意义和有理数加减运算法则是解题的关键． 先去绝对值符号，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 1．将写成省略正号和括号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减法，掌握有理数的加法法则和减法法则是解题的关键．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．如图，乐乐将分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在 a、b、c、d 分别标上其中的一个数，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，根据三个数的和相等依次列式计算即可求解． 【详解】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ 又， ∴ ∴， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，注意运算顺序和符号；在计算中巧妙运用加法运算律往往使计算更简便． （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据有理数的加减计算法则求解即可； （3）根据有理数的加减计算法则求解即可； （4）根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题五 有理数加减中的简便运算】 【例5】在正整数中，前50个偶数的和减去前50个奇数的和所得的结果是（    ） A．50 B． C．100 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，解题关键是根据题意列出算式，准确进行计算． 【详解】解：根据题意列式： ， 故选：A． 1．计算－1＋2－3＋4－5＋6－…－97＋98－99＋100的结果为(  ) A．－50 B．－49 C．49 D．50 【答案】D 【分析】原式结合后，相加即可得到结果． 【详解】原式=（-1+2）+（-3+4）+…+（-97+98）+（-99+100） =1+1+…+1 =50． 故选D． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．计算： （﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝ ． 【答案】1010 【分析】根据数的特点，每两个一组进行运算即可． 【详解】解：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020 ＝[（﹣1）+2]+[（﹣3）+4]+…+[（﹣2017）+2018]+[（﹣2019）+2020] ＝1+1+…+1 ＝1010， 故答案为：1010． 【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给数的特点，分组进行求解是解题的关键． 3．（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算等知识点，灵活运用有理数的加减法可以解答本题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可； （2）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可； （3）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可； （4）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可； （5）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） 【经典例题六 有理数加减混合运算的应用】 【例6】将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成7段需要（    ）分钟． A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意可知，锯成4段需要锯3次，从而可以求出锯一次用的时间，然后即可求出将这根木棒锯成7段需要的时间． 【详解】解：∵将一根木棒锯成4段需要6分钟， ∴每锯一次的时间为：（分钟）， ∴将这根木棒锯成7段需要（分钟）， 故选：B． 1．六（1）班有48人，其中26人参加数学竞赛，24人参加作文竞赛，12人两项都参加了，有（   ）人两项都没有参加． A．13 B．12 C．10 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算的应用，用计算出参数比赛的人，然后再用总人数减去参加比赛的人数即可得出答案． 【详解】解： （人） 有10人两项都没有参加， 故选：C． 2．在一个峡谷中，A地的海拔记为，B地比A地高，C地比B地低，则C地的海拔记为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题关键． 根据C地海拔＝B地海拔，其中B地海拔＝A地海拔． 【详解】解： ＝﹣18+15， ， 则C地的海拔为； 故答案为：． 3．某公司7天内货品进出仓库的吨数如下（单位：t）（“+”表示进库，“－”表示出库）： (1)经过这7天，仓库里的货品是_________（选填“增多了”或“减少了”） (2)经过这7天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品，那么7天前仓库里有货品多少吨？ (3)如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这7天要付多少元装卸费？ 【答案】(1)减少了 (2) (3)910元 【分析】本题主要考查了有理数加法和有理数减法以及有理数乘法的实际应用，正确理解题意列出算式求解是解题的关键． （1）把所给的记录相加，如果结果为正，那么增多了， 如果结果为负，那么减少了； （2）用570减去（1）中计算的结果即可得到答案； （3）算出进出货装卸的总吨数，然后用装卸单价乘以总吨数即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴经过这7天，仓库里的货品是减少了， 故答案为：减少了； （2）解：吨， ∴7天前仓库里有货品吨； （3）解：， 元， ∴这7天要付910元装卸费． 【经典例题七 有理数加减法与数轴的综合】 【例7】已知数轴上，两点对应的数分别为，，若在数轴上找一点，使得点，之间的距离为5；再在数轴找一点，使得点，之间的距离为1，则，两点间的距离可能为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题综合考查了数轴上两点间的距离，数轴上两点之间的距离等于对应两数差的绝对值等知识点，重点掌握求数轴上两点之间的距离的方法，易错点就是求点对应的数时不重不漏．由数轴上两点的距离等于两点对应数差的绝对值求出距离为1、3、7、9，符合题意的为答案． 【详解】解：点，之间的距离为5，点对应的数为， 点对应的数为2或， 又点对应的数，点，之间的距离为1， 点对应的数为或， 或9或3或1， 故选：C 1．点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点移动5个单位长度到点，此时点表示的数是（    ） A．8 B．2 C． D．或2 【答案】D 【分析】先求出点表示的数是，再分两种情况：①点向左移动5个单位长度到点；②点向右移动5个单位长度到点，利用数轴的性质列出运算式子，计算有理数的加法与减法即可得． 【详解】解：点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧， ∴点表示的数是， ①当点向左移动5个单位长度到点时， 则此时点表示的数是； ②当点向右移动5个单位长度到点时， 则此时点表示的数是， 综上，此时点表示的数是或2， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的加法与减法，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 2．已知数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，点在原点位置，点表示的数为，已知下表中的含义均为前一个点所表示的数与后一个点所表示的数的差，比如为． 10 2 若点与点的距离为，则的值为 ．    【答案】或 【分析】根据题意得到点表示的数为表示的数是，再分情况讨论：①当点在点左侧时，②当点在点右侧时进行计算即可． 【详解】解：由题意得点表示的数为表示的数是, （1）当点在点左侧时，点表示的数为，点表示的数为，所以， （2）当点在点右侧时，点表示的数为，点表示的数为，所以． 故答案为：3.5或6.5． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，数形结合、分类讨论，是解题的关键． 3．【阅读与实践】 材料1：点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，我们把数轴上A，B两点之间的距离表示为． 材料2：数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，我们把点A与表示数b的相反数的点之间的距离称为A，B两点之间的“反距离”，记作． 阅读材料1，2，回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离是______；数轴上表示15和6的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离表示为______； (3)数轴上表示数9和的两点之间的反距离是______，数轴上表示和6的两点之间的反距离是______； (4)数轴上表示数a和两点之间的反距离表示为______； (5)如果一个点在数轴上对应的数为m，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为2024，则m的值为______． 【答案】(1)15，9 (2) (3)5、4 (4) (5)或2023 【分析】本题考查的是数轴，相反数，两点间的距离，解题的关键是熟练掌握两点间的距离； （1）用数轴上两点间的距离计算即可； （2）用数轴上两点间的距离计算即可； （3）先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可； （4）先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可； （5）求出最小的正整数1，求出与1距离2022的点，然后求相反数即可． 【详解】（1）解：（1）； 故答案为：15，9； （2）解：； 故答案为：； （3）解：， 数轴上表示数9和的两点之间的反距离是， 6的相反数是， 数轴上表示和6的两点之问的反距离是； 故答案为：5、4； （4）解：， 数a和两点之间的反距离是， 故答案为：； （5）解：最小的正整数是1， 则与1距离是2024的点表示的数为：或， 2025的相反数是，的相反数是2023， 或2023． 故答案为：或2023； 【经典例题八 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合】 【例8】下列说法中： ①两个有理数的差一定小于被减数；②绝对值等于它的相反数的数是负数； ③若且，则，同为负数；④，则； ⑤一个有理数不是正数就是负数；⑥最大的负整数是.正确的有（    ） A．①③⑤⑥ B．①③⑥ C．③⑥ D．②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，绝对值的性质，有理数的运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据有理数的分类，绝对值的性质，有理数的运算，逐项判断即可求解． 【详解】解：①两个有理数的差不一定小于被减数，故原说法错误； ②绝对值等于它的相反数的数是负数和，故原说法错误； ③若且，则，同为负数，故原说法正确； ④，则或，故原说法错误； ⑤有理数包括正有理数，和负有理数，故原说法错误； ⑥最大的负整数是，故原说法正确； 故选：C． 1．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，，从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，， 则所有满足条件的整数的和为， 故选：C． 2．如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，，312是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为．则的值为 ． 【答案】66 【分析】本题考查了新定义和有理数的运算．根据题意求出和，然后相加即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∴； 故答案为：66． 3．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得； (3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 【答案】(1)7 (2)符合条件的整数为，，，，，0，1，2 (3)有，值为3 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，熟练的利用几何意义解决问题是关键； （1）直接利用绝对值的定义计算即可； （2）由可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7，再解答即可； （3）由可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和，可得距离之和为最小时的范围，从而可得答案； 【详解】（1）解：； （2）解：可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7， 符合条件的整数为，，，，，0，1，2； （3）解：有最小值，最小值为3，理由如下： 可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和， 当时，有最小值，最小值为． 1．计算的结果是（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选A． 2．已知，，，则的值为（   ） A． B． C．1或5 D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，首先根据：，，可得：，；然后根据，求出、的值是多少，再根据有理数的加法的运算方法，求出的值为多少即可．熟练掌握绝对值的定义是关键． 【详解】解：，， ，； ， ，， 或． 的值为或． 故选：． 3．某一天凌晨的温度是，中午的气温是，从凌晨到中午气温上升了（    ） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数减法的应用，熟练掌握有理数的减法法则是解题关键．利用中午的气温减去凌晨的气温即可得． 【详解】解：从凌晨到中午气温上升了， 故选：B． 4．如图，数轴上的六个点满足，则在点B、C、D、E对应的数中，最接近的点是（   ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】C 【分析】本题考查数轴以及线段，解题的关键是掌握数轴上点的意义． 先求出，再得出，进而得出各个点表示的数，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴点B对应的数为，点C对应的数为，点D对应的数为，点E对应的数为， 点C与的距离为， 点D与的距离为， ∵， ∴最接近的点是点D， 故选：C． 5．已知，，三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断，；；；；正确的个数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的点的位置和数的关系，以及有理数大小比较，先根据在数轴上，右边的数总比左边的数大，得出，再由相反数、绝对值的定义以及有理数的加减法法则即可作出判断，解题的关键是熟练掌握正数大于，负数小于；负数的绝对值越大，这个数越小． 【详解】解：由数轴上右边表示的数总大于左边表示的数， ∴，故结论正确； ∵，， ∴， ∴，故结论错误； ∵，，， ∴，故结论错误； ∵， ∴，故结论正确， ∴正确的个数是个． 故选：． 6．已知，，且，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法，以及化简绝对值，熟练掌握有理数加法的计算是解题的关键．根据题意得出a和b的值，然后计算出的值即可． 【详解】解：，，且，， ，， ， 故答案为：． 7．在数轴上距离有3.7个单位长度的点所表示的数是 ． 【答案】1.4或 【分析】本题考查数轴表示数，理解数轴表示数的意义和方法是正确解答的关键． 分两种情况进行解答，即点在的左边，点在的右边，根据数轴表示数的意义进行计算即可． 【详解】解：分为两种情况：①当点在的左边时，所表示的数是， ②当点在的右边时，所表示的数是， 故答案为：1.4或． 8．若，，且的绝对值与它的相反数相等，则的值是 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的加减运算，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键．根据，得出，，根据的绝对值与它的相反数相等得出，即可求解． 【详解】解∶∵，， ∴，， ∵的绝对值与它的相反数相等， ∴， ∴，或，， ∴的值是或， 故答案为∶或． 9．明明某天去学校，他看了一下时间，如果每分钟60米，就会迟到5分钟，如果每分钟80米，就可以早到5分钟，他家距离学校( )米． 【答案】2400 【分析】本题主要考查盈亏问题公式，准确理解题意是解题的关键．根据题意列出代数式进行求解即可． 【详解】解： （分钟） （米）． 答：他家距离学校米， 故答案为：2400． 10．设表示不超过的最大整数，如，．计算 ．计算的结果是 ．绝对值不大于的所有整数和是 ． 【答案】 【分析】根据的定义绝对值及有理数的加减解答即可．本题考查有理数的加减混合运算，掌握的意义是解题的关键，综合性较强． 【详解】解：； ； 绝对值不大于的所有整数有、、． ∴绝对值不大于的所有整数和是 故答案为：；；． 11．计算： (1)； (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）运用有理数的加法的交换律和结合律进行计算即可； （2）运用有理数的加法的交换律和结合律进行计算即可． 本题考查有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减运算法则是解题的关键．注意运用加法运算律简便运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．计算： (1)； (2)． (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合计算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键： （1）运用有理数的加减混合运算法则进行计算即可； （2）利用加法运算律进行计算即可； （3）利用加法运算律进行计算即可； （4）原式选化简绝对值，再进行加减运算即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．（1） 请把下列各数填入相应的大括号里： ， ， ， ， ， ，0 ，，． 负数集{                                              …}； 分数集{                                              …}； 整数集{                                              …}． （2）列式并计算：在（1）的各数中，最大数与最小数的差． 【答案】（1），，，，；，，，，；，，0， （2） 【分析】此题考查了有理数的分类、有理数的减法运算， （1）根据有理数的分类进行解答即可； （2）找到最大数和最小数，作差即可． 【详解】（1）由题意可得， 负数集{，，，，…}； 分数集{，，，，…}； 整数集{，，0，…}． 故答案为：，，，，；，，，，；，，0， （2）在（1）的各数中，最大数是，最小数是， ． ∴最大数与最小数的差为． 14．快递员骑电动车从物流公司出发，先向西行驶到达A小区，继续向西行驶到达B小区，然后向东骑行到达C小区最后回到物流公司． (1)以物流公司为原点，向东方向为正方向，用表示，在如图中画出数轴，并在该数轴上表示A，B，C三个小区的位置． (2)C小区离A小区有多远？ (3)求快递员一共骑行的路程． 【答案】(1)见解析 (2)7千米 (3)16千米 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，有理数的加减的应用，能读懂题意是解此题的关键． （1）根据题意画出数轴即可； （2）将点A表示的数的绝对值加上点C表示的数的绝对值，即可求解； （3）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示出A、B、C三个小区的位置如图所示： （2）解：根据题意可知：（千米）， 答：C小区离A小区7千米； （3）解：（千米）， 答：快递员一共骑行了16千米． 15．小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）：． 问： (1)小虫是否回到原点O？ (2)小虫离开出发点O最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫能回到出发点O (2)小虫离开出发点O最远为 (3)小虫共可得到54粒芝麻 【分析】本题考查了正负数的实际问题及有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）把小虫爬行的路程数据相加，根据结果为正还是负，即可得出小虫最后离原点的位置； （2）根据正负数的性质，求出每次爬行与O点的距离，即可进行判断； （3）把所有的爬行路程的绝对值相加，可得到小虫爬行的总路程，即可求出小虫共得芝麻的粒数． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 小虫能回到出发点O． （2）解：第一次爬行后的位置：， 第二次爬行后的位置：， 第三次爬行后的位置：， 第四次爬行后的位置：， 第五次爬行后的位置：， 第六次爬行后的位置：， 第七次爬行后的位置：， ， 小虫离开出发点O最远为12； （3）解： ， 小虫共爬行的距离为54，小虫共可得到54粒芝麻． 学科网（北京）股份有限公司 $$