第2章 全等三角形 单元测试-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第2章 全等三角形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二章（全等三角形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列各组图形中，是全等图形的是（        ） A． B． C． D． 2．如图，若，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，是的平分线，是上一点，于点，，则点 到边的距离为（    ）  A． B． C． D． 4．根据下列已知条件、能画出唯一的的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D． 5．某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，且，那么的依据是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，为的中点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）   A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 8．如图，在中，D为的中点且，平分，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．3 C．6 D．9 9．如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 10．如图，中，，，三条角平分线、、交于O，于H．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．如图，，，则 ． 12．如图，，，请你添加一个条件： ，使． 13．一个三角形的三条边长分别为6，7，x，另一个三角形的三条边长分别为y，6，4，若这两个三角形全等，则 14．在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，为上一动点，则的最小值为 ． 15．要测量河岸相对两点，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，如图，测出米，则的长是 米． 16．如图，在中，，点D是边上的一点，过点A，D分别画，的垂线相交于点E，且．若，，则 ． 17．如图，已知的周长是22，、分别平分和，于D，且，的面积是 ． 18．如图，中，，，，点以每秒1个单位的速度按的路径运动，点以每秒2个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：． 20．如图，在中，. （1）利用尺规作的平分线，交于点，并在图中标明相应字母.（保留作图痕迹，不写作法） （2）延长到点（不要求尺规作图），使，猜想线段与的关系，并说明理由. 21．如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1，的三个顶点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，画图结果用实线表示． (1)在图1中取格点E（点E在上），使的面积是面积的． (2)在图2中取格点S，使得（S不与A重合）． 22． 如图，为等腰直角三角形，，点 在 上，点 在 的延长线上，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 23．如图，于，于，若，． 求证：平分． 24．如图①所示，在中，． (1)若，则_______， ______； (2)过点C在外作直线，于点M，于点N，试说明：； (3)如图②，若过点C作直线与线段相交，于点M，于点N，（2）中的结论是否仍然成立? 说明理由． 25．如图，在中，已知，是的高，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为t秒． 备用图 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________； (2)当t为多少时，的面积为？ (3)探究：当t为多少时，？并简要说明理由． 26．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图1，在中，，，边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是　　　． （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：； 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 全等三角形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二章（全等三角形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列各组图形中，是全等图形的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形的定义，解题的关键是掌握形状大小完全相同的图形是全等图形，据此即可解答． 【详解】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形， 故答案为：C． 2．如图，若，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 3．如图，是的平分线，是上一点，于点，，则点 到边的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点P作于E，根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：过点P作于E． 是的平分线，， ， 故选：A．    4．根据下列已知条件、能画出唯一的的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可． 【详解】解：A：，不符合三角形三遍的关系； B：不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C：合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； D：不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，且，那么的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．由E，F分别是，的中点，得出；根据三边对应相等，证明三角形全等即可． 【详解】解：∵E，F分别是的中点，， ∴， 在与中， ， ∴． 故选：D． 6．如图，，为的中点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、线段的中点和全等三角形的判定和性质，根据，可得，结合中点得可证得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 7．小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）     A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键 根据三角形全等的条件进行判断即可． 【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的； 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃， 应带③去． 故选：C． 8．如图，在中，D为的中点且，平分，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查平行的性质，等边对等角，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据题意证明，即可得到答案． 【详解】解：如图，， ， 又平分， ∴， ， ， D为的中点， ． 故选：C． 9．如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的应用．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理判断作答即可． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条公路的距离相等的点在角平分线的交点上， 如图， 三角形两个内角平分线的交点，三角形外角两两平分线的交点均为满足要求的点，共4处， 故选：D． 10．如图，中，，，三条角平分线、、交于O，于H．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由得，即可求得，可判断①正确； 由，而，可推导出，可判断②正确； 由，得，再由推导出，即可证明，可判断③错误； 在上截取，连接，由得，即要证明，再证明，得，则，所以，即可证明，得，所以，可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故①正确； ∵于H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③错误； 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．如图，，，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．根据全等三角形的对应角相等求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为． 12．如图，，，请你添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，由已知可得，，再根据全等三角形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 添加， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 13．一个三角形的三条边长分别为6，7，x，另一个三角形的三条边长分别为y，6，4，若这两个三角形全等，则 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，求一个数的算术平方根，根据全等三角形对应边相等得到，据此代值计算即可． 【详解】∵一个三角形的三条边长分别为6，7，x，另一个三角形的三条边长分别为y，6，4，且这两个三角形全等， ∴， ∴， 故答案为：． 14．在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于P，根据垂线段最短得到此时最小，根据角平分线的性质解答． 【详解】解：如图，当时，的值最小． 由题中作图，可知平分， 又∵，， ∴， ∴的最小值为3． 故答案为：3． 15．要测量河岸相对两点，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，如图，测出米，则的长是 米． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据证明，即可推出，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，，点D是边上的一点，过点A，D分别画，的垂线相交于点E，且．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，利用等量代换可得，证明，可得，再利用求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 17．如图，已知的周长是22，、分别平分和，于D，且，的面积是 ． 【答案】33 【分析】本题考查的是角平分线的性质，割补法求解三角形的面积，熟记角平分线的性质定理是解本题的关键． 如图，连接，由、分别平分和，可得点O到、、的距离都相等，再利用可得答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵、分别平分和， ∴点O到、、的距离都相等， ∵的周长是22，于D，且， ∴． 故答案为：33． 18．如图，中，，，，点以每秒1个单位的速度按的路径运动，点以每秒2个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义、一元一次方程的应用，分类讨论：①当点P在上，点Q在上，②当点P在上，点Q在上，③点P与Q重合在上，根据题意结合全等三角形的性质得出，再分别用t表示出和的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 【详解】（1）当P点在上，点Q在上，如图1， 则，， ，， ∵， ∴    ， 即， 解得：， 即P点运动6秒； （2）当点P在上，点Q在上，如图2，    则，， ∵， ∴， 即， 解得， 此时不符合题意； （3）点P与Q重合在上，如图3，    则，， ∴， 即， 解得：， ∴综上可知：或， 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可． 【详解】解：∵， ∴， 即： ∵，， ∴ ∴ 20．如图，在中，. （1）利用尺规作的平分线，交于点，并在图中标明相应字母.（保留作图痕迹，不写作法） （2）延长到点（不要求尺规作图），使，猜想线段与的关系，并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】(1)根据尺规作图方法画出即可. (2)先按题意画出图形,由CD=CE可得两角想等,再利用外角定理可得∠ACD=2∠E,再由题意可知∠B=∠E,根据题意证,则AB=AE. 【详解】（1）如图所示，射线即为所求. （2） 理由如下： 如上图，延长至点，使.连接， , , , , 又, , 由（1）知，, 在和中， ，，, ∴. ∴. 【点睛】本题考查尺规作图和三角形全等的判定,关键在于牢记相关基础知识. 21．如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1，的三个顶点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，画图结果用实线表示． (1)在图1中取格点E（点E在上），使的面积是面积的． (2)在图2中取格点S，使得（S不与A重合）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图．熟练掌握三角形中线性质，全等三角形的判断和性质，是解决问题的关键． （1）取的中点E，连接，即得； （2）在点A的右侧2个单位处取点S，使，，连接，，即得． 【详解】（1）在上取点E，使，连接，即为所求作； （2）在点A的右侧2个单位处取点S，使，，连接，，即为所求作． 22． 如图，为等腰直角三角形，，点 在 上，点 在 的延长线上，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质找出的角和相等的边，再运用判定直角三角形全等即可； （2）根据为等腰直角三角形，可知，则，再结合 以及（）中所证明得全等三角形可得，进而可得到答案． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ，， ∴． （2）解：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 因此的度数为． 23．如图，于，于，若，． 求证：平分． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，先判定，则可得，然后由角平分线的判定定理，即可证得平分，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 24．如图①所示，在中，． (1)若，则_______， ______； (2)过点C在外作直线，于点M，于点N，试说明：； (3)如图②，若过点C作直线与线段相交，于点M，于点N，（2）中的结论是否仍然成立? 说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)不成立，理由见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质．解题关键是利用角的互余关系推出对应角相等，证明三角形全等． （1）根据垂直得到，利用三角形内角和定理即可得到，再利用平角的定义即可得到； （2）利用角的互余关系证明，故可证，从而有，利用线段的和差关系证明结论； （3）类似于（1）的方法，证明，从而有，进而可得结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ 故答案为：； （2）【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）（1）结论不成立；应该是． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中 ， ∴， ∴， ∵ ∴． 25．如图，在中，已知，是的高，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为t秒． 备用图 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________； (2)当t为多少时，的面积为？ (3)探究：当t为多少时，？并简要说明理由． 【答案】(1)，t (2)当为或时，的面积为 (3)秒或4秒时，．理由见详解 【分析】本题考查了线段的和与差、三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．需注意的一点是：动点D的位置要分情况讨论，避免漏解． （1）根据“”即可得； （2）根据可求出的长，因为要求t则需要求出的长，由点D的位置可知，需分点D在点B右侧和点D在点B左侧两种情况，根据线段的和与差分别讨论即可； （3）先假设，则有，同（2）分两种情况讨论解出t的值，再检验两种情况下的t值，能否使得即可 【详解】（1）解：由“”得：， 故答案为：； （2）， ， 求的长分以下两种情况： 若在点右侧，，则 若在点左侧，，则 综上所述：当为或时，的面积为； （3）如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时，． 26．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图1，在中，，，边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是　　　． （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：； 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． （1）由题意知，，则，，，由，求解作答即可； （2）如图3，延长到点P，使，连接，证明，则，可证，则，由与互补，可得，则，证明，可得，进而可得； （3）延长至点H，使，连接，先证明，再证明，得到，利用线段的和差关系以及等量代换，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点P，使，连接， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 理由如下：如图③，延长至点H，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵ ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$