专题03 代数式（基础+中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

专题03 代数式思维导图 【类型覆盖】 类型一、用字母表示数 【解惑】（代数式应用）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是6，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小华（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 2．三个连续的偶数，中间的数是a，则a的前边和后边分别是 和 ． 3．某商品先按批发价a元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则它最后的单价是 元． 类型二、用字母表示图形 【解惑】如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开，再按如图②的方式摆成正方形，则阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边、、用篱笆围成，且这三边的和为40米．若设的长米，则的长度可以表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，正方形和正方形边长均为米，分别以点为圆心，正方形边长为半径画弧，阴影部分的面积为 （用含的代数式表示）． 3．如图，在一块长为a米、宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方水平宽度都是米，则草地的面积为 平方米． 类型三、代数式的概念 【解惑】下列各式不是代数式的是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在，，，，0，，中，是代数式的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．在下列各式：①；②：③；④；⑤，⑥中，代数式的有 个． 3．若代数式中的任意两个字母互换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式，下列三个代数式：①；②；③；④，其中是完全对称式的有 ． 类型四、代数式的书写 【解惑】下列各式中，符合整式书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列代数式书写正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列式子：①；②；③；④，其中格式书写正确的个数有 个． 3．下列各式： ，，，，其中符合代数式书写规范的有 个． 类型五、代数式的实际意义 【解惑】商店销售某种商品，第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 【融会贯通】 1．开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品，具有历史悠久、种类繁多、做工精细等特点．某商店将原价元的开封风筝进行促销，下列促销方式描述正确的是（    ） A．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠2元 B．按的价格出售，促销方式是先优惠2元，再打九折 C．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠2元 D．按的价格出售，促销方式是先优惠2元，再打一折 2．某网店进行促销，将原价元的商品以元出售，该网店对该商品促销的方法是 ． 3．体育委员带了500元钱去买体育用品，已知一个篮球元，则代数式表示的实际意义是 ． 类型六、代数式的规律 【解惑】将一些完全相同的梅花按如图所示的规律摆放，第1个图形有5朵梅花，第2个图形有8朵梅花，第3个图形有13朵梅花，⋯，按此规律，则第6个图形中共有梅花的朵数是（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 【融会贯通】 1．以下是一组按规律排列的多项式：，…，则第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第个图形一共有个实心圆点，第个图形一共有个实心圆点，第个图形一共有个实心圆点，…．按此规律排列下去，第个图形中一共有 个实心圆点． 3．用同样大小的小正方形纸片按图所示的方式拼成大正方形．    第1个图形有1个小正方形； 第2个图形比第1个图形多______________个小正方形； 第3个图形比第2个图形多______________个小正方形； 第4个图形比第3个图形多______________个小正方形． （1）第10个图形比第9个图形多多少个小正方形？ （2）第100个图形比第99个图形多多少个小正方形？ （3）第个图形比第个图形多多少个小正方形？ 类型七、代数式的算法程序 【解惑】按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为1的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【融会贯通】 1．按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为4，第一次得到的结果为2，第二次得到的结果为1，…，第2023次得到的结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．按下面的程序计算： 如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值为 ． 3．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值． 输入x … 0 2 … 输出y … 2 6 16 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)当输入的x值为1时，输出的y值为__________； (2)求k，b的值． 类型八、代数式的整体代入 【解惑】若的值为1，则整式的值为（    ） A． B．3 C．0 D．9 【融会贯通】 1．已知 ，那么代数式的是（　　） A． B．0 C．3 D．9 2．当时，，当时，这个多项式的值为 3．整体代换是数学的一种思想方法，在求代数式的值中，整体代换思想非常常用，例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则_____． (2)若，求的值． 【一览众山小】 1．“△”表示一种运算符号，其意义是：，那么等于（　　） A．1 B． C．5 D． 2．小明从家去学校然后又按原路返回，去时每分钟行米，回来时每分钟行米，求小明来回的平均速度的正确算式是（     ） A． B． C． D． 3．设为整数，用表示被除余的整数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 4．已知，那么 ． 5．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，则的值为 ． 6．我国古代许多数学的创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 则的展开式中第三项的系数为 ． 7．【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形；    【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 8．实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题． (1)【知识生成】一个长为，宽为的长方形如题1图所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如题2图所示的图形．观察图形，写出一个，，三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识应用】运用（1）中的结论，若，，求的值； (3)【类比迁移】如题3图，若，，求阴影部分的面积． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 代数式思维导图 【类型覆盖】 类型一、用字母表示数 【解惑】（代数式应用）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是6，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，解决问题的关键是读懂题意，掌握两位数=十位数字个位数字． 根据：两位数=十位数字×10+个位数字，代入数值，解答即可． 【详解】解：； 故选：D． 【融会贯通】 1．小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小华（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数，先表示出小明岁，再表示出小华岁，问题得解． 【详解】解：小强y岁，小明比小强大2岁，则小明岁；小明比小华小4岁，则小华岁． 故选：D 2．三个连续的偶数，中间的数是a，则a的前边和后边分别是 和 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了列代数式；三个连续偶数的特点是：每两个相邻偶数之间相差，根据中间的一个数是则第一个就比少，第三个就比多，由此用含字母的式子表示出来． 【详解】解：三个连续的偶数，中间的数是那么其余的两个数分别是和． 故答案为：，． 3．某商品先按批发价a元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则它最后的单价是 元． 【答案】 【分析】先求出按批发价元提高的零售价(元)，再乘以（1-10%）即可 【详解】解：按批发价元提高的零售价格为(元)， 又按零售价降低即为单价，则单价为 (元)． 故答案为：． 【点睛】本题考查用字母表示数，列代数式，掌握用字母表示数，列代数式方法是解题关键． 类型二、用字母表示图形 【解惑】如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开，再按如图②的方式摆成正方形，则阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据图形得出阴影部分的边长为，即可解答． 【详解】解：由图可知，阴影部分的边长为， ∴阴影部分的周长为， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边、、用篱笆围成，且这三边的和为40米．若设的长米，则的长度可以表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 根据图形，可以用含的代数式表示出的长度． 【详解】解：由图可得， 的长度可以表示为米， 故选：C． 2．如图，正方形和正方形边长均为米，分别以点为圆心，正方形边长为半径画弧，阴影部分的面积为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】此题考查了列代数式，首先根据题意得到，然后利用正方形面积公式求解即可． 【详解】∵正方形和正方形边长均为米， ∴ ∴ ∴影部分的面积． 故答案为：． 3．如图，在一块长为a米、宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方水平宽度都是米，则草地的面积为 平方米． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，用长方形的面积减去马路的面积即可求解． 【详解】解：由题可得， 草地的面积是平方米． 故答案为： 类型三、代数式的概念 【解惑】下列各式不是代数式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了代数式的定义，代数式是指把数或表示数的字母用、、、连接起来的式子，而对于带有、、等数量关系的式子则不是代数式，由此可得答案，正确理解代数式的定义是解题的关键． 【详解】、是单独数字，是代数式，不符合题意； 、是代数式，不符合题意； 、是不等式，不是代数式，符合题意； 、是数字，是代数式，不符合题意； 故选：． 【融会贯通】 1．在，，，，0，，中，是代数式的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查了代数式的定义，掌握代数式的定义是本题的关键，注意含有、、、、、、等符号的不是代数式．代数式是有数和字母组成，表示加、减、乘、除、乘方、开方等运算的式子，或含有字母的数学表达式，注意不能含有、、、、、、等符号． 【详解】解：，，含有和，所以不是代数式， 代数式的有，，0，，，共5个． 故选：A 2．在下列各式：①；②：③；④；⑤，⑥中，代数式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了代数式的定义，根据代数式即用运算符号把数或字母连起来的式子，逐项判断即可，熟练掌握代数式的定义是解此题的关键． 【详解】解：①是整式，是代数式； ②，是等式，不是整式，不是代数式； ③是整式，是代数式； ④是不等式，不是整式，不是代数式； ⑤是分式，不是整式，是代数式； ⑥是整式，是代数式； 综上所述，代数式有①③⑤⑥， 故答案为：4． 3．若代数式中的任意两个字母互换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式，下列三个代数式：①；②；③；④，其中是完全对称式的有 ． 【答案】①②③ 【分析】对所给的代数式，任意交换两个字母，然后进行分析判断即可得到答案． 【详解】解：①代数式交换字母顺序后得，因为，所以代数式是完全对称式； ②代数式交换字母顺序后得，因为，所以代数式是完全对称式； ③中，任意交换，得到的代数式都是，故是完全对称式； ④，交换得到，与原代数式不一样，所以不是完全对称式． 所以是完全对称式的是：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查代数式的基本概念，根据所给的完全对称式的定义进行判断分析是解题的关键． 类型四、代数式的书写 【解惑】下列各式中，符合整式书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用代数式的书写要求分别判断得出答案．此题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：A、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； B、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； C、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； D、符合代数式的书写要求，故此选项符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．下列代数式书写正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写规范，熟记书写规则是解题的关键． 根据代数式的书写规则判断求解． 【详解】解：A：正确的书写格式是，故A不符合题意； B：正确的书写格式是，故B不符合题意； C：正确的书写格式是，故C不符合题意； D：符合题意； 故选：D． 2．下列式子：①；②；③；④，其中格式书写正确的个数有 个． 【答案】2 【分析】根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：①应表示为 ；②应表示为；③；④正确； 综上分析可知，格式书写正确的个数有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 3．下列各式： ，，，，其中符合代数式书写规范的有 个． 【答案】2 【分析】根据代数式的书写规则即可得出答案． 【详解】解：应该写成， 应该写成， ，符合书写规范， 综上所述，符合代数式书写规范的有2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了代数式的书写规则，注意在数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，除法应该写成分数的形式是解题的关键． 类型五、代数式的实际意义 【解惑】商店销售某种商品，第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据代数式的方法，熟练掌握代数式的计算是解题的关键． 【详解】解：∵第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件， ∴第二天售出的该商品数量是件， ∴两天一共售出的该商品数量为件， 故选：C． 【融会贯通】 1．开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品，具有历史悠久、种类繁多、做工精细等特点．某商店将原价元的开封风筝进行促销，下列促销方式描述正确的是（    ） A．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠2元 B．按的价格出售，促销方式是先优惠2元，再打九折 C．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠2元 D．按的价格出售，促销方式是先优惠2元，再打一折 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的意义，根据题意，逐项分析代数式的意义，即可求解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠2元，故A正确，B错误； 按的价格出售，促销方式是先优惠2元，再打九折，故C、D错误， 故选：A． 2．某网店进行促销，将原价元的商品以元出售，该网店对该商品促销的方法是 ． 【答案】打八折后再让利20元 【分析】此题考查了列代数式表示实际问题的能力，关键是能准确理解实际问题间的数量关系，并能列式表示．根据实际售价表达式进行求解． 【详解】解：当商品的原价元时，元出售表示是打八折后再让利20元， 该网店对该商品促销的方法是打八折后再让利20元， 故答案为：打八折后再让利20元． 3．体育委员带了500元钱去买体育用品，已知一个篮球元，则代数式表示的实际意义是 ． 【答案】体育委员买了3个篮球后剩余的经费 【分析】本题主要考查代数式的实际意义，根据代数式及题中各自字母的含义说明即可． 【详解】解：表示买3个篮球花的钱， ∴表示的实际意义是体育委员买了3个篮球后剩余的经费， 故答案为：体育委员买了3个篮球后剩余的经费． 类型六、代数式的规律 【解惑】将一些完全相同的梅花按如图所示的规律摆放，第1个图形有5朵梅花，第2个图形有8朵梅花，第3个图形有13朵梅花，⋯，按此规律，则第6个图形中共有梅花的朵数是（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 【答案】B 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中数量关系，找出规律即可求解，掌握含有乘方的有理数的混合运算是解题的关键． 【详解】解：∵第1个图形有（朵）梅花， 第2个图形有（朵）梅花， 第3个图形有（朵）梅花， … ∴第n个图形中共有梅花的朵数是， ∴第6个图形中共有梅花的朵数是． 故选：B． 【融会贯通】 1．以下是一组按规律排列的多项式：，…，则第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式项式的变化规律，正确理解多项式中各项的系数与次数的规律是解题的关键．根据题目所给多项式，总结出第n个多项式中各项的系数与次数，即可解答． 【详解】解：第1个多项式为， 第2个多项式为， 第3个多项式为， 第4个多项式为， ……， ∴第n个多项式是． 故选：D 2．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第个图形一共有个实心圆点，第个图形一共有个实心圆点，第个图形一共有个实心圆点，…．按此规律排列下去，第个图形中一共有 个实心圆点． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第个图形一共有个实心圆点是解题的关键．根据已知图形中实心圆点的个数得出规律第个图形有个实心圆点即可． 【详解】解：由题知，第①个图形一共有个实心圆点， 第②个图形一共有个实心圆点， 第③个图形一共有个实心圆点， …， 第个图形一共有个实心圆点， ∴第个图形中一共有个实心圆点， 故答案为：． 3．用同样大小的小正方形纸片按图所示的方式拼成大正方形．    第1个图形有1个小正方形； 第2个图形比第1个图形多______________个小正方形； 第3个图形比第2个图形多______________个小正方形； 第4个图形比第3个图形多______________个小正方形． （1）第10个图形比第9个图形多多少个小正方形？ （2）第100个图形比第99个图形多多少个小正方形？ （3）第个图形比第个图形多多少个小正方形？ 【答案】3，5，7；（1）19个；（2）199个；（3）个 【分析】观察所给图形，找出规律，利用规律求解． 【详解】解：由图可知：第1个图形有1个小正方形； 第2个图形比第1个图形多3个小正方形； 第3个图形比第2个图形多5个小正方形； 第4个图形比第3个图形多7个小正方形． ∵ …… ∴据此规律可得：第个图形比第个图形多个小正方形． （1）(个)， 即第10个图形比第9个图形多19个小正方形； （2）(个)， 即第100个图形比第99个图形多199个小正方形； （3）第个图形比第个图形多个小正方形． 【点睛】本题考查用代数式表示图形的变形规律，解题的关键是根据已知图形找出规律． 类型七、代数式的算法程序 【解惑】按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为1的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，把各自的值代入运算程序中计算，使其结果为1即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：A、把，输入， ∵， ∴，不符合题意； B、把，输入， ∵， ∴，不符合题意； C、把，输入， ∵， ∴，不符合题意； D、把，输入， ∵， ∴，符合题意． 故选：D 【融会贯通】 1．按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为4，第一次得到的结果为2，第二次得到的结果为1，…，第2023次得到的结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是求代数式的值，规律探究，熟练掌握相关方法，发现输出结果的数字变化规律是解题的关键． 将代入，然后依据程序进行计算，依据计算结果得到其中的规律，然后依据规律求解即可． 【详解】解：当时，第一次输出结果； 第二次输出结果； 第三次输出结果； 第四次输出结果， 由上可知，计算结果按2，1，4三个数依次循环， ． 所以第20次得到的结果为2． 故选：B． 2．按下面的程序计算： 如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值为 ． 【答案】或10或3 【分析】本题考查了一元一次方程的解法．解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．注意可反复输入． 由程序图，可以得到输出结果和x的关系：输出结果，当输出结果是150时，可求出x的值．若计算结果与x的值相等且时，需重新确定输入新的数值，反复直到x不能满足正整数为止． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时，x不是正整数，不合题意． 即当或10或3时，输出的结果都是150． 故答案为：或10或3． 3．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值． 输入x … 0 2 … 输出y … 2 6 16 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)当输入的x值为1时，输出的y值为__________； (2)求k，b的值． 【答案】(1)8 (2)的值为2，b的值为6 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，理解流程图，掌握待定系数法求解析式，解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）把代入，即可求解； （2）把，；，，分别代入中，解二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴输出的y值为8， 故答案为：8； （2）解：把，；，，分别代入中， 得， 解得， ∴的值为2，b的值为6． 类型八、代数式的整体代入 【解惑】若的值为1，则整式的值为（    ） A． B．3 C．0 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，根据题意可得出，将变形后整体代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 则， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知 ，那么代数式的是（　　） A． B．0 C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握整体代入法求代数式的值是解决问题的关键． 根据已知条件推出式子与的值，代入计算即得． 【详解】解：∵， ∴， 即，， ∴． 故选：D． 2．当时，，当时，这个多项式的值为 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握整体代入求值． 根据题意列等式，化简整理等式和代数式，整体代入求值即可． 【详解】解：∵当时，的值为6， ∴， ∴， ∴当时， ． 故答案为：． 3．整体代换是数学的一种思想方法，在求代数式的值中，整体代换思想非常常用，例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则_____． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键． （1）将代数式适当变形后得，利用整体代入的方法解答即可； （2）利用等式的性质求得，将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴原式 故答案为： （2）解：∵ ∴ ∴原式 【一览众山小】 1．“△”表示一种运算符号，其意义是：，那么等于（　　） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算，新定义运算的含义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据新定义运算的运算法则先列式，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．小明从家去学校然后又按原路返回，去时每分钟行米，回来时每分钟行米，求小明来回的平均速度的正确算式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，把从小明家去学校的路程看作单位“”，再根据路程、时间、速度三者之间的关系解决问题是解题的关键． 要求小明来回的平均速度，要先把小明去学校的路程看作单位“”，再算出小明去时用的时间和回来时用的时间，根据“速度路程时间”进一步解答即可． 【详解】解：去时用的时间（分钟）， 回来时用的时间（分钟）， 小明来回的平均速度路程时间 ， 故选：． 3．设为整数，用表示被除余的整数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握列代数式的法则，即可． 【详解】∵设为整数，被除余的整数就是的整数倍再加， ∴该整数为：． 故选：C． 4．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相反数、倒数、绝对值和代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 根据相反数、倒数、绝对值的定义可得，，代入求值即可． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，， ， 原式 ， 故答案为：． 6．我国古代许多数学的创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 则的展开式中第三项的系数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了通过观察、分析、 归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．根据图形中的规律即可求出的展开式中第三项的系数． 【详解】解：找规律发现的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； 不难发现的第三项系数为： ； 故答案为：． 7．【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形；    【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查几何图形中的数字规律，由前面的几个图形，得到满足要求的数字规律，即可归纳概括出第个图形的结论，由特殊到一般发现规律是解决问题的关键． （1）根据题中所给图形，数出其中的小三角形个数，得出数字规律即可得到答案； （2）根据题中所给图形，数出其中的线段条数，得出数字规律即可得到答案； （3）根据题中所给图形，数出其中的交点个数，得出数字规律即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：    第1个图形小三角形个数为：； 第2个图形小三角形个数为：； 第3个图形小三角形个数为：； 第4个图形小三角形个数为：； ……， 按此规律，第个图形中小三角形个数为， 故答案为：； （2）解：如图所示：    第1个图形共有长度为的线段为：（条）； 第2个图形共有长度为的线段为：（条）； 第3个图形共有长度为的线段为：（条）； 第4个图形共有长度为的线段为：（条）； ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段为：条； 故答案为：； （3）解：如图所示：    第1个图形共有交点：（个）； 第2个图形共有交点：（个）； 第3个图形共有交点：（个）； 第4个图形共有交点：（个）； ……， 按此规律，第个图形共有交点：． 8．实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题． (1)【知识生成】一个长为，宽为的长方形如题1图所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如题2图所示的图形．观察图形，写出一个，，三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识应用】运用（1）中的结论，若，，求的值； (3)【类比迁移】如题3图，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】本题主要考查完全平方公式公式和几何图形面积的关系， 图2中大正方形面积为；边上的四个小长方形面积为，中间空白的小正方面积为，即可找到面积相等的数量关系； 结合第一问的，即可得代入即可； ，根据，即．代入可得即可． 【详解】（1）解：图2中大正方形边长为，则面积可以表示为； 图2中的边上的四个小长方形面积可以表示为，中间空白的小正方形边长为，则面积可以表示为， 那么，； （2）解：∵；，， ∴； （3）解：，， ，即． ． ． 阴影部分的面积为16． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$