专题01 特殊平行四边形（重点+难点）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（北师大版）

专题01 特殊平行四边形（重点+难点） 一、单选题 1．矩形和菱形都具有的性质是（     ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数（     ） A． B． C． D． 3．若面积为6菱形的一对角线长为，则另一对角线长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，，则的度数是（      ）    A． B． C． D． 5．如图，在中，与相交于点O，则下列说法不正确的是（     ） A．若，则是菱形 B．若，则是矩形 C．若，则是矩形 D．若，则是正方形 6．如图，在正方形中，点、分别在边和上，，，如果，那么的面积为（     ）    A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图，在正方形外侧，作等边，则为（　 　） A．75° B．55° C．15° D．25° 8．如图，菱形中，过点C作交于点E，若，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，点E，F分别在上，，若G是的中点，H是的中点，连接，则的长为（ 　　） A． B． C．2 D． 10．如图，正方形的边长为9，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中不正确的是（　　） A．矩形是正方形 B． C．平分 D． 二、填空题 11．在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的长度为 ． 12．菱形的一个内角是，边长是cm，则这个菱形较短的对角线长是 cm． 13．如图，四边形是菱形，，，于点H，则 ． 14．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，如果直尺的宽度是2，两把直尺所夹的锐角为，那么这个四边形的周长为 ． 15．如图，在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，已知，，则的长为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B为第二象限的点，则点B的坐标为 ． 17．如图，在矩形 中，边 的长为，点 分别在 上，连接 ， 与 相交于点 ，若四边形 是菱形，且，则边的长为 ． 18．如图，正方形的边长为，点为线段上的动点，，，为中点，为中点，则的最小值为 ． 三、解答题 19．如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 20．如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 21．如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点． 求证： ． 22．如图，的网格中，每个小正方形边长都是1，它们的顶点为格点．在图1，图2中已画出线段，且点，均在格点上． 图1                                 图2 (1)在图1中以为对角线画出一个矩形，使矩形的另两个顶点也在格点上，且所画矩形不是正方形． (2)在图2中以为对角线画出一个菱形，使菱形的只两个顶点也在格点上，且所画菱形不是正方形． (3)图1中所画矩形的面积为______；图2中所画菱形的面积为______． 23．如图，在矩形中，点M在上，，且，垂足为N． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 24．如图，在菱形中，于点，于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 25．如图，已知矩形ABCD的长米，宽米，x，y满足，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着运动，到达B点停止．另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿运动，到达A点停止．P，Q同时出发，运动时间为t．    (1)______，______； (2)当时，求的面积； (3)当P，Q都在上，且距离为时，求t的值． 26．如图，正方形，．将正方形绕点逆时针旋转角度（），得到正方形，交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)顺次连接，，，，得到四边形．在旋转过程中，四边形能否为矩形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 27．如图①，在矩形中，点E 在边上，点 F 在边上，连接 ，已知 (1)求证：平分； (2)如图②，若矩形 为正方形，求的度数； (3)如图③，在（2）的基础上，将点E绕点D顺时针旋转使点E的对应点落到点，已知点 恰好落在边的延长线上，连接，若，求的面积. 一、单选题 1．如图，E、F、H分别为正方形的边、、上的点，连接，，且，平分交于点G．若，则的度数为（    ） A．26° B．38° C．52° D．64° 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BF⊥AC交CD于点F，DE⊥AC交AB于点E，垂足分别为M、N，连接EM、FN．则下列四个结论：①；②EM//FN；③；④当时，四边形DEBF是菱形；其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论： ①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 4．如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接，在下列结论中：①；②；③；④若，则， ⑤，其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．已知，矩形中，，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：    ①；        ②当点和点互相重合时，； ③；        ④．正确的有(   )个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．如图，正方形中，在的延长线上取点E，F，使，，连接分别交，于H，G．下列结论：①图中有8个等腰三角形；②；③；④．其中正确的有 （填序号）． 7．已知：边长为的菱形，过点O作两条夹角为的射线，分别交边，边于点M，N，连结，则下列命题：①S四边形OMFN，②的长度为定值，③的形状为等边三角形，的最小值为3．其中正确的有 （填序号） 三、解答题 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，且，，为直线上一动点，连接，过作，交直线、直线于点、，连接． (1)点的坐标为____________；直线的解析式为____________． (2)当为中点时，求的长． (3)在点的运动过程中，坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形（且为菱形的一边），若存在，求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图1，在矩形中，，，点为边上一动点，连结，作点关于直线的对称点，连结，，，，与交于点． （1）若，求证：． （2）如图2，连结，，若点在矩形的对角线上，求所有满足条件的的长． （3）如图3，连结，当点到矩形一个顶点的距离等于2时，请直接写出的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 特殊平行四边形（重点+难点） 一、单选题 1．矩形和菱形都具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握菱形和矩形的性质； 根据菱形和矩形的性质即可判断； 【解析】解：A、矩形邻边不一定相等，不符合题意， B、矩形和菱形对边相等，符合题意， C、矩形对角线不一定互相垂直，不符合题意， D、菱形对角线不一定相等，不符合题意， 故选：B． 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的判定与性质是解题的关键．根据矩形的性质可得，结合，可证明是等边三角形，所以，再根据对顶角相等即得答案． 【解析】四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选B． 3．若面积为6菱形的一对角线长为，则另一对角线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可进行求解． 【解析】解：由题意得：另一条对角线的长为； 故选C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 4．如图，在菱形中，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线平分一组对角．根据菱形的对角线平分一组对角即可求解． 【解析】解：在菱形中，， ， 故选：D． 5．如图，在中，与相交于点O，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则是菱形 B．若，则是矩形 C．若，则是矩形 D．若，则是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，根据矩形和菱形的判定的判定定理逐项判断即可求解，掌握矩形和菱形的判定的判定定理是解题的关键． 【解析】解：∵四边形是平行四边形，若，则是菱形，故说法正确，不合题意； ∵四边形是平行四边形，若，则是矩形，故说法正确，不合题意； ∵四边形是平行四边形，若，则是矩形，故说法正确，不合题意； ∵四边形是平行四边形，若，则是菱形，故说法错误，符合题意； 故选：D． 6．如图，在正方形中，点、分别在边和上，，，如果，那么的面积为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，得到，则，最后根据三角形面积计算公式求解即可． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，在正方形外侧，作等边，则为（　　） A．75° B．55° C．15° D．25° 【答案】A 【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是求出，的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出即可． 【解析】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， 在中，，， ∴， ， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 8．如图，菱形中，过点C作交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质可得，，从而得到，再由，即可求解． 【解析】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 9．如图，在矩形中，点E，F分别在上，，若G是的中点，H是的中点，连接，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、中位线的性质定理，掌握相关结论是解题关键．连接，并延长交于N，连接，证可得；结合H是的中点，，可得，即可求解； 【解析】解：如图，连接，并延长交于N，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵H是的中点，， ∴． 故选：D． 10．如图，正方形的边长为9，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中不正确的是（　　） A．矩形是正方形 B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】过点E分别作，垂足分别为K，L，则，根据角平分线的性质，可得，可证明四边形是矩形，再证明，可得，从而得到矩形是正方形，可判断A选项；证明，可得，，从而得到平分，可判断C选项；再由勾股定理可得，可判断D选项；再由 与的大小无法判断，可得不一定成立，可判断B选项． 【解析】解：如图，过点E分别作，垂足分别为K，L，则，    ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故A选项正确，不符合题意； ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，平分，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故D选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵与的大小无法判断， ∴不一定成立，故B选项不正确，符合题意； 故选：B 【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理及其推论以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二、填空题 11．在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的长度为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分；理解性质定理是关键． 根据矩形的对角线相等，且互相平分即可求解． 【解析】解：四边形是矩形， ， ． 故答案为：3． 12．菱形的一个内角是，边长是cm，则这个菱形较短的对角线长是 cm． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据题意可得菱形角所对的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形，据此即可求解； 【解析】解：∵菱形的一个内角是， ∴其邻角为， 根据菱形的性质得，角所对的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形， 故这个菱形较短的对角线长是cm． 故答案为：. 13．如图，四边形是菱形，，，于点H，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．掌握菱形的性质是解本题的关键． 先根据菱形的性质得，再利用勾股定理计算出，然后根据菱形的面积公式得到，再解关于的方程即可． 【解析】解：四边形是菱形， ， 在中，， ， ， ， ． 故答案为． 14．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，如果直尺的宽度是2，两把直尺所夹的锐角为，那么这个四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定，四边形的面积的计算，解题关键是学会添加常用辅助线，求出AE．由题意可知，，再证明，得出四边形是菱形，再根据，求出，即可求解． 【解析】解：过点A作于E，于F， 两把完全一样的直尺叠放在一起，直尺的宽度是2， ∴，，， 四边形是平行四边形， 又平行四边形的面积， 平行四边形是菱形， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ， ∴， 这个四边形的周长为， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，已知，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的边角关系以及翻折轴对称的性质．根据翻折的性质和勾股定理可求出，进而求出，在中由勾股定理可求出． 【解析】解：由翻折的性质可知，，， 在中，，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即． 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B为第二象限的点，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，坐标与图形，正确作出辅助线是解题关键；过作轴，过作轴，过作，证明得出，，再根据点的坐标即可求解． 【解析】解：过作轴，过作轴，过作，如图： ， 四边形是正方形， ，， ∴ ， ， ，， 的坐标为， ，， ， 即点的纵坐标为3， ∵点B为第二象限的点， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 17．如图，在矩形 中，边 的长为，点 分别在 上，连接 ， 与 相交于点 ，若四边形 是菱形，且，则边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，根据矩形和菱形的性质可利用“”证明，即得出，由，即可证明，继而可再次利用“”证明，即得出，从而可求出，最后由含角的直角三角形的性质即可求出答案，掌握以上知识点是解题的关键． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，正方形的边长为，点为线段上的动点，，，为中点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，建立平面直角坐标系求解是解答的关键． 过G作于P，证明得到，，设，，以点B为坐标原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，则，，利用中点坐标公式得，，再利用两点坐标距离公式得，利用非负数的性质求解即可． 【解析】解：∵正方形的边长为， ∴，，， 如图，过G作于P，则， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴，， 以点B为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则，， ∵为中点，为中点，又， ∴，， ∴ ，当且仅当即时取等号， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 19．如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形的对应边相等及对角线相等，找出等量关系求解即可． 主要考查了矩形的性质．要掌握矩形的性质：对角线相等，对应边平行且相等． 【解析】证明：四边形是矩形， ，， 又∵， 四边形是平行四边形， ， ． 20．如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质．根据题意先证四边形是平行四边形，再由即可． 【解析】证明：四边形是矩形 , 四边形，四边形都是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形是菱形． 21．如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点． 求证： ． 【答案】证明见解析． 【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案． 【解析】证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°， 又∵CE=DF， ∴CE+BC=DF+CD即BE=CF， 在△BCF和△ABE中， ∴（SAS）， ∴AE=BF． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 22．如图，的网格中，每个小正方形边长都是1，它们的顶点为格点．在图1，图2中已画出线段，且点，均在格点上． 图1                                 图2 (1)在图1中以为对角线画出一个矩形，使矩形的另两个顶点也在格点上，且所画矩形不是正方形． (2)在图2中以为对角线画出一个菱形，使菱形的只两个顶点也在格点上，且所画菱形不是正方形． (3)图1中所画矩形的面积为______；图2中所画菱形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，熟记矩形和菱形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在． （1）根据矩形的性质画图即可， （2）根据菱形的性质画图即可， （3）根据矩形的面积公式和菱形的面积公式即可得到结论． 【解析】（1）解：如图①所示，矩形即为所求， ． （2）解：如图②所示，菱形即为所求， ． （3）解：矩形的面积=； 菱形的面积=， 故答案为：，． 23．如图，在矩形中，点M在上，，且，垂足为N． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定，了解矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分是解答本题的关键，难度不大． （1）利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两对相等的角，利用证得两三角形全等即可； （2）利用全等三角形的性质求得，，从而利用勾股定理求得的长，利用求得答案即可． 本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，了解矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分是解答本题的关键，难度不大． 【解析】（1）证明：在矩形中，，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， 又， 在中，， ，， ． 24．如图，在菱形中，于点，于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)∠AEF＝60° 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． （1）欲证明，只需要证得即可； （2）根据菱形的邻角互补和全等三角形的性质进行推理解答． 【解析】（1）证明：四边形是菱形， ，． 又于点，于点， ， 在与中， ． ． ； （2）解：四边形是菱形， ． 而， ． 又，， ． 由（1）知， ． ． 是等边三角形． ． 25．如图，已知矩形ABCD的长米，宽米，x，y满足，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着运动，到达B点停止．另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿运动，到达A点停止．P，Q同时出发，运动时间为t．    (1)______，______； (2)当时，求的面积； (3)当P，Q都在上，且距离为时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了矩形性质及一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由非负性可求解； （2）由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况可求解． 【解析】（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当时，P走过的路程为5米，米， Q走过的路程为10米，在边上，米， 此时，（米），（平方米） （3）∵点P在上， ∴， ∵点Q在上， ∴， ∴， 当P左Q右时，， ∴， ∴， 解得． ②当Q左P右时，米，米， ∴米， ∴， 解得， 综上，满足题意的或． 26．如图，正方形，．将正方形绕点逆时针旋转角度（），得到正方形，交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)顺次连接，，，，得到四边形．在旋转过程中，四边形能否为矩形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)能，． 【分析】（1）根据正方形的性质及选转的不变性证明和即可； （2）由旋转得：，故当互相平分时，四边形为矩形，设，则，，，在中，由勾股定理得：，解方程即可． 【解析】（1）证明：连接 ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴； （2）解：能， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得：， 故当互相平分时，四边形为矩形， ∵互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 设，则，， 由（1）知， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 27．如图①，在矩形中，点E 在边上，点 F 在边上，连接 ，已知 (1)求证：平分； (2)如图②，若矩形 为正方形，求的度数； (3)如图③，在（2）的基础上，将点E绕点D顺时针旋转使点E的对应点落到点，已知点 恰好落在边的延长线上，连接，若，求的面积. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的的判定和性质，正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质. （1）设，则，得到，，即可得到，结论得证； （2）过点D作于H，证明，则，证明，则，则，即可得到答案； （3）证明，则，得到是等腰直角三角形，即可得到. 【解析】（1）证明：设，则， ∵四边形矩形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴平分； （2）过点D作于H， ∴， 由（1）可知，， 又∵ ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ （3）将点E绕点D顺时针旋转使点E的对应点落到点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴的面积 一、单选题 1．如图，E、F、H分别为正方形的边、、上的点，连接，，且，平分交于点G．若，则的度数为（    ） A．26° B．38° C．52° D．64° 【答案】D 【分析】过点作，由正方形的性质，，，四边形为矩形，利用HL易证得，可得，进而可得，由角平分线可得的度数，即可求得得度数． 【解析】解：过点作， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴（HL）， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线，构造全等三角形，利用其性质转化角度是解决问题的关键． 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BF⊥AC交CD于点F，DE⊥AC交AB于点E，垂足分别为M、N，连接EM、FN．则下列四个结论：①；②EM//FN；③；④当时，四边形DEBF是菱形；其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据矩形的性质得到AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//BC，根据平行线的性质得到DE⊥AC，根据垂直的定义得到∠DNA=∠BMC=90°，由全等三角形的性质得到DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；证△ADE≌△CBF（ASA），得出AE=FC，DE=BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM//FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN=∠ABD，则DE=BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//BC， ∴∠DAN=∠BCM， ∵BF⊥AC，DE//BF， ∴DE⊥AC， ∴∠DNA=∠BMC=90°， 在△DNA和△BMC中， ， ∴△DNA≌△BMC（AAS）， ∴DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确； 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴AE=FC，DE=BF，故③正确； ∴DE-DN=BFBM，即NE=MF， ∵DE//BF， ∴四边形NEMF是平行四边形， ∴EM//FN，故②正确； ∵AB=CD，AE=CF， ∴BE=DF， ∵BE//DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∵AO=AD， ∴AO=AD=OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠ADO=∠DAN=60°， ∴∠ABD=90°-∠ADO=30°， ∵DE⊥AC， ∴∠ADN=∠ODN=30°， ∴∠ODN=∠ABD， ∴DE=BE， ∴四边形DEBF是菱形；故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 3．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论： ①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=AB，①正确； ③先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确； ②连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等，则S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四边形ODGF，则S四边形ODGF=S△ABF，②错误；即可得出结论． ④∵连接CG，由O、G分别是AC，AD的中点，得到，则S△ACD＝4S△AOG，再由S△AOG＝S△BOG，得到S△ACD＝4S△BOG，故④正确； 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∴∠BAG＝∠EDG， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG＝DG， ∴OG是△ABD的中位线， ∴OG＝AB，故①正确； ∵AB∥CE，AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°， ∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确； ∵连接CG， ∵O、G分别是AC，AD的中点， ∴， ∴S△ACD＝4S△AOG， ∵， ∴S△AOG＝S△BOG， ∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确； 连接FD，如图： ∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD， ∴F到△ABD三边的距离相等， ∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF， ∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误； 正确的是①③④， 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识，综合运用以上知识是解题的关键． 4．如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接，在下列结论中：①；②；③；④若，则， ⑤，其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由“”可证，可得，故正确； 如图，在上截取连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得， ，故正确； 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，由勾股定理可得，故正确； 如图1，设，则，利用勾股定理可求,故错误； 由三角形的面积公式可求，故正确； 【解析】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 故正确； 如图1，在上截取，连接， ，,， ， ,， ， ， ， 又，， ， ，， 故正确； 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，， ，，， ， ，， ， ， 又，， ， ， 在中， ， ， 故正确； ， 设，则， ， 如图1，在上截取，连接， 由可得：， 设，则， ， ， ， ， ， 故错误； 如图1，， ， ， 故正确； 正确的结论有，共个． 故选： 【点睛】本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 5．已知，矩形中，，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：    ①；        ②当点和点互相重合时，； ③；        ④．正确的有(   )个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由四边形是矩形，线段绕点逆时针旋转得到，可证，故①正确；当点和点互相重合时，由是等腰直角三角形，是的中点，，可得，从而，故②正确；由等腰直角三角形的三线合一和得，从而得到，故③错误；分别求出的最大值、最小值，可得，故④正确． 【解析】解：四边形是矩形， ， 线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ，故①正确； 当点和点互相重合时，如图，    线段绕点逆时针旋转得到， ，， 是等腰直角三角形， 是的中点，， ， ， ， ，故②正确； 线段绕点逆时针旋转得到， ， 是的中点，， ， ，故③错误； 当与重合时，最短，如图：   ， 此时与都在上， 是等腰直角三角形，是的中点， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为， 当与重合时，最大，过作于，如图：   ， ， ， ，，， ， 设，则， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， ， 的最大值为， ，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是求出的最大值、最小值． 二、填空题 6．如图，正方形中，在的延长线上取点E，F，使，，连接分别交，于H，G．下列结论：①图中有8个等腰三角形；②；③；④．其中正确的有 （填序号）． 【答案】③④ 【分析】①根据正方形的性质及等腰三角形的判定，可得出图中共有9个等腰三角形；②根据正方形的性质和已知推出四边形DECB是平行四边形，得到BD=CE，BD∥CE，无法证出G为CE的中点；③由SAS可证明△GHC≌△DGE；④由上述推理可得，△DBG∽△GDE，再根据三角形的面积等于相似比的平方可得结论． 【解析】解：如图，在正方形中， ，， 和是等腰三角形； ，， 和是等腰三角形； ，， ， ， 和是等腰三角形； ，， 是等腰三角形，且，， ，， 和是等腰三角形， 综上，图中共有9个等腰三角形；故①不正确； 正方形，， ，，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 要使，只要为的中点即可， 且，， ， 即和不全等， 点不是中点，②错误 由①分析可知， 在和中， ， ；故③正确； 如图，过点作交的延长线于点，交AF于N， 设NG=x，则MG=1-x， ∵△CDE为等腰三角形， ∴∠DCE=∠DEC=45°， 可得△CGM为等腰直角三角形， ∴CM=1-x， ∴CG=， 设正方形ABCD的边长为1， 则BC=DE=1，BD=DF=CE=， ∵△BCG为等腰三角形， ∴， 解得：， ∴，故④正确； 综上，③④正确． 故答案为：③④． 【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质与判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 7．已知：边长为的菱形，过点O作两条夹角为的射线，分别交边，边于点M，N，连结，则下列命题：①S四边形OMFN，②的长度为定值，③的形状为等边三角形，的最小值为3．其中正确的有 （填序号） 【答案】①③ 【分析】连接，由菱形的性质得出，，，，得出是等边三角形，得出，，证明得出，证出是等边三角形，得出②不正确， 的面积的面积，得出的面积，①正确，当时，最小，等边的面积最小，求出的面积，得出，③正确；即可得出结论． 【解析】解：连接，如图所示： 四边形是菱形， ，，，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形，②不正确， 的面积的面积， 的面积，①正确， 当时，最小，等边的面积最小， 的面积， ，③正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的面积计算等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，且，，为直线上一动点，连接，过作，交直线、直线于点、，连接． (1)点的坐标为____________；直线的解析式为____________． (2)当为中点时，求的长． (3)在点的运动过程中，坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形（且为菱形的一边），若存在，求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据矩形的性质，垂线的定义，两点确定一条直线可得轴，轴，再由，即可得出点的坐标；由点、分别在轴、轴上，且，，可求得点和点的坐标，设直线的解析式为，将、两点的坐标代入，得二元一次方程组，解之，即可求得直线的解析式； （2）设，可证得，进而在中，根据勾股定理列出方程，解之，即可求出的长； （3）分情况讨论：以、为边时，根据（2）可求得点和点的坐标，进而根据菱形的性质和线段中点坐标的计算求得点的横坐标；以、为边时，延长至，使，在的延长线上截取，连接，可推出平分，从而证得，于是可得，，然后可证得，于是可得，设，在中，根据勾股定理列出方程，解之，即可求得点和点的坐标，然后根据菱形的性质和线段中点坐标的计算求得点的横坐标；以、为边时，此时不再是菱形的边，而是菱形的对角线，这与题中要求“为菱形的一边”不符，故不再讨论此种情况． 【解析】（1）解：四边形是矩形， ，，，， ，， 点、在轴上，点、在轴上， 轴，轴， 又，， 点到轴的距离为，到轴的距离为， 点的坐标为； 矩形的顶点、分别在轴、轴上，且，， 点，点， 设直线的解析式为， 代入点、坐标， 得， 将代入，得：， 移项，得：， 系数化为，得：， 直线的解析式为； 故答案为：，； （2）解：为的中点， ， 在矩形中，， ， 又， ， ，， ， 为线段的垂直平分线， ， 设，则， ， ， ， 在中，根据勾股定理， ， 即， 将方程展开，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ； （3）解：存在点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形（且为菱形的一边）， 分情况讨论： 以、为边时， 则， ， 为的中点，为线段的垂直平分线， 由（2）可知：此时， ， ，， 根据菱形的性质可知：此时，为其对角线的中点，同时也是对角线的中点， 点的横坐标点的横坐标点的横坐标点的横坐标点的横坐标， 点的横坐标点的横坐标点的横坐标点的横坐标 ； 以、为边时， 则， 如图，延长至，使，在的延长线上截取，连接， 可知，是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 设， 在中， ， ， ， 根据勾股定理，， ， 将方程展开，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ，， 假设菱形两条对角线、的交点为点， 根据菱形的性质可知：点同时也是两条对角线、的中点， 点的横坐标点的横坐标点的横坐标点的横坐标点的横坐标， 点的横坐标点的横坐标点的横坐标点的横坐标 ； 以、为边时， 又可分为两种情况：点在线段上（如图），或点在线段的延长线上（如图）， 但无论哪种情况，此时都不再是菱形的边，而是菱形的对角线，这与题中要求“为菱形的一边”不符，故此处不再讨论； 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，垂线的定义，两点确定一条直线，点到坐标轴的距离，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理，解一元一次方程，菱形的性质，三线合一，线段中点坐标的计算，三角形中位线定理，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余等知识点，寻找等量关系，利用勾股定理列解方程是解题的关键． 9．如图1，在矩形中，，，点为边上一动点，连结，作点关于直线的对称点，连结，，，，与交于点． （1）若，求证：． （2）如图2，连结，，若点在矩形的对角线上，求所有满足条件的的长． （3）如图3，连结，当点到矩形一个顶点的距离等于2时，请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）或；（3）①当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为；②当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为；③当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为． 【分析】（1）因为点关于的对称点为点，得到，即点为的中点．因为，，得到点为的中点即可求解； （2）分两种情况：①点在对角线上．，，；②点在对角线上．求出DB 和AG ，再根据勾股定理即可求解； （3）分三种情况：①当点到矩形顶点的距离等于2时．②当点到矩形顶点的距离等于2时．③当点到矩形顶点的距离等于2时． 【解析】（1）证明：∵点关于的对称点为点， ∴，即点为的中点． ∵，， ∴点为的中点， ∴为的中位线． ∴． （2）分两种情况： ①如图1，点在对角线上． ∵点关于的对称点为点， ∴，，． ∴AC=5 设， ∴， ∴，即． ②如图2，点在对角线上． ∵，， ∴． ∵S△ABD= ∴． ∴． 设，， ∵DG2+GE2=DE2， ∴ ∵S△ADE= ∴ ∴． ∴，即． 综上：或． （3）分三种情况： ①点到矩形顶点A的距离等于2时 ∵AF=AD=3＞2 ∴此种情况不存在； ②当点到矩形顶点的距离等于2时，连接FB， 则BF=2，AF=AD=3 过F作FH⊥AB于H，FQ⊥BC于Q，如图， ∴∠FHB=∠ABC=∠BQF=90° ∴四边形BHFQ是矩形 ∴FQ=BH 设BH=x，则AH=4-x ∵FH2=AF2-FH2=FB2-BH2 ∴4-x2=9-（4-x）2 ∴x= ∴FQ=BH= ∴的面积为=． ③当点到矩形顶点的距离等于2时，如图，连接BF 则FC=2 ∵AF+FC≥AC，又AF+FC=5，AC=5 ∴AC+FC=AC ∴A，C，F三点共线，F在线段AC上 ∵ ∴= 即的面积为． ④当点到矩形顶点的距离等于2时，连接BF，过F点作MNAB 则DF=2 ∴DG=FG=1 ∴AG= ∵ ∴MF= ∴NF=MN-MF=4- ∴的面积为=． 综上①当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为；②当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为；③当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为． 【点睛】此题考查了四边形的综合、轴对称的性质和矩形的性质，掌握它们的性质，根据题意作图分类讨论是解题的关键． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$