特训03 相似三角形 压轴题辅助线作法（两种基础模型及衍化+九大题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训03 相似三角形 压轴题辅助线作法（两种基础模型及衍化+九大题型） 目录 模型01 平行线（特色） 模型02 垂线（通用） 题型1：作三角形一边的平行线 1．（23-24九年级上·上海松江·期中）（1）如图1，在中，是上一点，过点作的平行线交于点，点是上任意一点，连结交于点，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接 ，，若，若，且、恰好将三等分，求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点 G在 上，若，求的值．        2．（2023·上海嘉定·二模）在中，， 点P在线段上，，交于点D，过点B作，垂足为E，交的延长线于点F． (1)如果， ①如图1当点P与点C重合时，求证： ； ②如图，当点在线段上，且不与点、点重合时，问： ①中的“”仍成立吗?请说明你的理由； (2)如果，如图11，已知 (n为常数)，当点P在线段上，且不与点B、点C重合时，请探究的值(用含n的式子表示)，并写出你的探究过程． 题型2：在特殊平行四边形中作三角形一边的平行线 3．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．      (1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； (2)如图2，当时，求四边形的面积； (3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域． 题型3：截长补短构造平行 4．（2024·上海静安·三模）已知：四边形中，，，分别为中点，相交于点． (1)如图，如果，求证：． (2)当，时，求的长； (3)当为直角三角形时，线段与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 题型4：截长补短构造垂直 5．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如图1，在平行四边形中，是对角线，，.点在的延长线上，且，点在射线上，联结，，直线与直线交于点． (1)如图2，点在线段的延长线上，求证：； (2)当为等腰三角形时，求的面积； (3)如果，求的值． 题型5：截长补短构造垂直+梯形中构造平行四边形 6．（2023·上海徐汇·二模）已知：如图1，四边形ABCD中，，． (1)求证：四边形ABCD是等腰梯形； (2)边CD的垂直平分线EF交CD于点E，交对角线AC于点P，交射线AB于点F． ①当时，设AD长为x，试用x表示AC的长； ②当时，求的值． 题型6：截长补短构造垂直+多直角中构造特殊平行四边形 7．（23-24八年级上·上海松江·期末）在中，，点是边上一点，过作垂直，垂足为点． (1)如图1，点是的中点，，如果，求的长； (2)已知， ①如图2，连接，求证：平分； ②如图3，延长至点，连接交线段于点，当，且点是中点时，求的值． 题型7：截长补短构造垂直+特殊平行四边形中构造特殊平行四边形 8．（2020·上海大学附属学校·三模）（1）如图，将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或其延长线于点G，求的值； （2）如图，将（1）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB＝m，BC＝n，试求的值； （3）如图，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD与CB于点F、G，且EC平分∠FEG．若AB＝2，BC＝4，直接写出EG、EF 的长． 题型8：巧妙作辅助线，一辅助线多用（或含多模型，如同时含等腰，直角，x型、A型等） 9．（2022·上海杨浦·一模）如图，在中，，，．点为射线上一动点（不与点重合），联结，交边于点，的平分线交于点． (1)当时，求的值； (2)设，，当时，求与之间的函数关系式； (3)当时，联结，若为直角三角形，求的长． 题型9：其他垂线作法（通用） 10．（2023·上海·一模）如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设．    (1)使用的代数式表示； (2)设，求关于的函数关系式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 11．（21-22九年级上·上海浦东新·期末）在中，，，，点O是边AC上的一个动点，过O作，D为垂足，在线段AC上取，联结ED，作，交射线AB于点P，交射线CB于点F． （1）如图1所示，求证：∽； （2）设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）当时，求线段AP的长． 12．（2020·上海崇明·一模）如图，中，．点D为斜边的中点，，交边于点E，点P为射线上的动点，点Q为边上的动点，且运动过程中始终保持． (1)求证：； (2)设．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； (3)连接，交线段于点F．当为等腰三角形时，求线段的长． 13．（2020·上海黄浦·一模）如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训03 相似三角形 压轴题辅助线作法（两种基础模型及衍化+九大题型） 目录 模型01 平行线（特色） 模型02 垂线（通用） 题型1：作三角形一边的平行线 1．（23-24九年级上·上海松江·期中）（1）如图1，在中，是上一点，过点作的平行线交于点，点是上任意一点，连结交于点，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接 ，，若，若，且、恰好将三等分，求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点 G在 上，若，求的值．        【答案】（1）见解析（2）（3） 【分析】（1）根据，可得，从而得到，同理，进而得到，即可； （2）利用条件证明，，由（1）知，，设则由得，，（负值舍去），； （3）利用相似转化线段之间的关系，设根据，得，，由，得到，，最后代入． 【解析】解：（1）， ， ， 同理， ， ； （2）解：∵恰好将三等分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， 设则 由得，， ∴（负值舍去）， ∴； （3）解：过G点作的平行线，分别交于E、F， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ 由（1）中结论知，， 设， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2023·上海嘉定·二模）在中，， 点P在线段上，，交于点D，过点B作，垂足为E，交的延长线于点F． (1)如果， ①如图1当点P与点C重合时，求证： ； ②如图，当点在线段上，且不与点、点重合时，问： ①中的“”仍成立吗?请说明你的理由； (2)如果，如图11，已知 (n为常数)，当点P在线段上，且不与点B、点C重合时，请探究的值(用含n的式子表示)，并写出你的探究过程． 【答案】(1)①证明见解析；②成立，证明见解析 (2)，过程见解析 【分析】（1）①由等角对等边可得，证明，则，证明，则，进而可证；②如图1，过作交于，交于，则，同理①可证，，则，同理①可证，，则，； （2）如图2，过作交于，交于，同理（1）可证：，则，证明，则，证明，则，即，可知，即，进而可得． 【解析】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②解：仍成立，理由如下： 如图1，过作交于，交于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理①可证，， ∴， 同理①可证，， ∴， ∴； （2）解：如图2，过作交于，交于， 同理（1）可证：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型2：在特殊平行四边形中作三角形一边的平行线 3．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．      (1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； (2)如图2，当时，求四边形的面积； (3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2) (3)，（） 【分析】（1）由题意，可求得，由勾股定理求，再由可得，即，则可求的长度； （2）证明可求得，由可知，则，解得，,四边形的面积为解得四边形的面积为． （3）分别证明和，故可得由相似分别得到，．再由可证，代入得到，则问题可证． 【解析】（1）∵四边形是矩形，，， ，，． 又， ． 在中，，，， ． ∵， ． ． ． （2）∵，， ． ． ∵，， ． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴, 四边形的面积为 四边形的面积为． （3）过点作交于点，则．    ∵四边形是矩形， ． ∵，， ． ． ． ． ∵，， ，． ∵， ． ∵，，， ． ． ∵，， ． ． 即． 整理得，（）． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，解答过程中要根据各问中的条件，利用相似三角的性质形构造方程或等式． 题型3：截长补短构造平行 4．（2024·上海静安·三模）已知：四边形中，，，分别为中点，相交于点． (1)如图，如果，求证：． (2)当，时，求的长； (3)当为直角三角形时，线段与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或，理由见解析 【分析】（1）过D作交于H，证出四边形为等腰梯形，再证出，利用三角形的外角性质和等量代换即可得出答案； （2）先证出为正三角形，然后设，得出，证出，用相似比得出，利用得出，求出a值，即可得解； （3）先利用三角形边角关系得出，然后分类讨论①②两种情况，即可得解． 【解析】（1）过D作交于H， ∴ ， ∵， ∴ ， ， ， ， 四边形为平四边形， ， ， 四边形为梯形， ， 四边形为等腰梯形， ，又E，F分别为中点， ，，   又， ， ， ， ∴， （2），， ∴， ∵， ∴为正三角形， ∴ 延长．交于M ，设， ∴， ∵E为的中点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ， ，，， ， ∴， 又，， ， ∴， ， ， ∴（负值已舍）， ， ∴； （3）， ，   ， ， 仅两种分类， ①，延长交于，过D作于， 设  ， ∵四边形为等腰梯形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∵，， 即， ②，则， ∴四边形为正方形， ， 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质合理作出辅助线是解决此题的关键． 题型4：截长补短构造垂直 5．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如图1，在平行四边形中，是对角线，，.点在的延长线上，且，点在射线上，联结，，直线与直线交于点． (1)如图2，点在线段的延长线上，求证：； (2)当为等腰三角形时，求的面积； (3)如果，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）先根据已知条件证明四边形是平行四边形，推出，，进而得出，，即可证明； （2）分点F在线段的延长线上和点F在线段上两种情况，根据平行线分线段成比例定理的推论，求出等腰三角形的腰长，再通过解直角三角形计算出的高，即可计算出的面积； （3）分点M在线段上和点M在线段的延长线上两种情况，分别计算出的值，再解直角三角形即可求出的值． 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 点在的延长线上，且， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ； （2）解：分两种情况，当点F在线段的延长线上时，如下图所示： 在中，， ， 设，则， 解得，不合题意，故此种情况不存在； 当点F在线段上时，如下图所示： 在中，， ， 由平行四边形的性质知，，， 设，则， 解得． 如图，作于点H，交的延长线于点N， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：分两种情况： 当点M在线段上时，作于点K，如下图所示： 在中，， ， ，，， 解得：， ，，， ， ， 又， ； 当点M在线段的延长线上时，如下图所示： 在中，， ， ，，， ， 解得：， ， ， 综上可知，的值为或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理的推论，勾股定理，求正切值等知识点，解题的关键是利用平行线分线段成比例定理的推论找出成比例线段，注意分情况讨论，避免漏解． 题型5：截长补短构造垂直+梯形中构造平行四边形 6．（2023·上海徐汇·二模）已知：如图1，四边形ABCD中，，． (1)求证：四边形ABCD是等腰梯形； (2)边CD的垂直平分线EF交CD于点E，交对角线AC于点P，交射线AB于点F． ①当时，设AD长为x，试用x表示AC的长； ②当时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②． 【分析】（1）如图，过作于，过作于，证明，再证明，从而可得答案； （2）①如图，连接，延长交于，证明，可得，再证明四边形为平行四边形，，可得，，，即，可得，即，重合，再建立方程求解即可；②当时，则在线段的延长线上，如图，延长交于，连接，证明四边形是菱形，，设，，，则， 由，可得，过作，交的延长线于，证明，，可得，，证明，可得，，再建立方程求解即可． 【解析】（1）证明；如图，过作于，过作于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，不平行， ∴四边形为等腰梯形． （2）①如图，连接，延长交于， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，而， ∴四边形为平行四边形，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，而， ∴，即，重合， ∴即， 解得：（负根舍去）． ②当时，则在线段的延长线上，如图，延长交于，连接， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴四边形是平行四边形， 由线段垂直平分线的性质可得， ∴四边形是菱形，， 设，，，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作，交的延长线于， ∴， ∴， ∵，等腰梯形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 解得：，（使，不合题意舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，难度大，计算量大，属于压轴题． 题型6：截长补短构造垂直+多直角中构造特殊平行四边形 7．（23-24八年级上·上海松江·期末）在中，，点是边上一点，过作垂直，垂足为点． (1)如图1，点是的中点，，如果，求的长； (2)已知， ①如图2，连接，求证：平分； ②如图3，延长至点，连接交线段于点，当，且点是中点时，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析  ② 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后证明即可解题； （2）①过作于，交延长线于，证明，根据角平分线的判定定理即可得到结论；②过作于，交延长线于，则有，即，然后推出，得到，然后根据求出比值即可． 【解析】（1）解：连， ∵是中点，， ∴ ∵， ∴ ∴； （2）①过作于，交延长线于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平分； ②过作于，交延长线于， ∵， ∴ ∴, ∵， ∴，      ∴，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴， 设， ∴， ∴，        ∴ ∵，       ∴ ∴       ∴， ∴是的中点 ∴ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型7：截长补短构造垂直+特殊平行四边形中构造特殊平行四边形 8．（2020·上海大学附属学校·三模）（1）如图，将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或其延长线于点G，求的值； （2）如图，将（1）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB＝m，BC＝n，试求的值； （3）如图，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD与CB于点F、G，且EC平分∠FEG．若AB＝2，BC＝4，直接写出EG、EF 的长． 【答案】（1）1；（2）；（3）,    ； 【分析】（1）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用ASA证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证； （2）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案； （3）过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，过点C作CP⊥EG交EG的延长线于点P，过点C作CQ⊥EF垂足为Q，可得四边形EPCQ是矩形，四边形EMCN是矩形，可得EC平分∠FEG，可得矩形EPCQ是正方形，然后易证△PCG≌△QCF（AAS），进而可得：CG=CF，由（2）知EF=2EG，易证EM和EN分别是△ABC和△BCD的中位线，进而可得：EM=1，EN=2，MC=2，CN=1，然后易证△EMG∽△ENF，进而可得，即NF=2MG，然后设MG=x，根据CG=CF，列出方程即可解出x的值，即MG的值，然后在Rt△EMG中，由勾股定理即可求出EG的值，进而可得EF的值． 【解析】（1）证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，过点E作EI⊥CD于I， ∵四边形ABCD为正方形， ∴CE平分∠BCD， 又∵EH⊥BC，EI⊥CD， ∴EH=EI， ∴四边形EHCI是正方形， ∴∠HEI=90°， ∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°， ∴∠IEF=∠GEH， ∴Rt△FEI≌Rt△GEH， ∴EF=EG； 即此时； （2）如图2， 过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N， 则∠MEN=90°， ∴EM∥AB，EN∥AD， ∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB， ∴， ∴，即， ， ∴， ∴； （3）如图3， 过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N， 过点C作CP⊥EG交EG的延长线于点P，过点C作CQ⊥EF垂足为Q， 则四边形EPCQ是矩形，四边形EMCN是矩形， ∵EC平分∠FEG， ∴CQ=CP， ∴矩形EPCQ是正方形， ∴∠QCP=90°， ∴∠QCG+∠PCG=90°， ∵∠QCG+∠QCF=90°， ∴∠PCG=∠QCF， 在△PCG和△QCF中， ∴△PCG≌△QCF（AAS）， ∴CG=CF， 由（2）可得即EF=2EG， ∵点E放在矩形ABCD的对角线交点， ∴EM和EN分别是△ABC和△BCD的中位线， ∴EM=AB=1，EN=AD=BC=2，MC=BC＝2，CN=CD＝AB＝1， ∵四边形EMCN是矩形， ∴∠NEM=90°， ∴∠MEG+∠GEN=90°， ∵∠GEF=90°， ∴∠FEN+∠GEN=90°， ∴∠MEG=∠FEN， ∵∠EMG=∠FNE=90°， ∴△EMG∽△ENF， ∴， 即NF=2MG， 设MG=x，则NF=2x，CG=2-x，CF=1+2x， ∵CG=CF， ∴2-x=1+2x， 解得：x=， ∴MG=， 在Rt△EMG中，由勾股定理得：EG==， ∵EF=2EG， ∴EF=． 【点睛】此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质，此题综合性较强，证明三角形相似是解题关键，注意数形结合思想的应用． 题型8：巧妙作辅助线，一辅助线多用（或含多模型，如同时含等腰，直角，x型、A型等） 9．（2022·上海杨浦·一模）如图，在中，，，．点为射线上一动点（不与点重合），联结，交边于点，的平分线交于点． (1)当时，求的值； (2)设，，当时，求与之间的函数关系式； (3)当时，联结，若为直角三角形，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）证明，得到，根据，即可得解； （2）延长，交于点，证明为等腰三角形，得到，再证明，利用相似比，求出的长，利用，求出与之间的函数关系式； （3）分和两种情况讨论求解，即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长，交于点， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）解：∵， ∴为直角三角形时，只有两种情况： ①当时，， 由（2）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； ②当时，则： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于，则，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴． 综上：当为直角三角形，的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．解题的关键是添加辅助线，证明三角形相似．注意，分类讨论． 题型9：其他垂线作法（通用） 10．（2023·上海·一模）如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设．    (1)使用的代数式表示； (2)设，求关于的函数关系式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为、10或7 【分析】（1）易证，则有，由可得，从而得到，然后根据相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得，根据可得，从而得到．易证，从而得到，问题得以解决； （3）易证，因而当是等腰三角形时，也是等腰三角形，然后只需分三种情况①，②，③，讨论，就可解决问题． 【解析】（1）解：如图1，    ， ． ∵， ． ，，， ，． ，， ， ． ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 又， ， ， ． ∵， ， ， ， 整理得：； （3）解：当是等腰三角形时，的长为、10或7． 解题过程如下： ，， ． ∵，， ， 当是等腰三角形时，也是等腰三角形． ①当时， 则有， ，， ， ， ， ， ； ②当时，， ， ； ③当时， 作于，如图2，    则有． ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，在解决问题的过程中用到了面积法、分类讨论的思想，有一定的难度，证到是解决第（1）小题的关键，证到，从而得到是解决第（2）小题的关键，证到，从而把是等腰三角形转化为是等腰三角形是解决第（2）小题的关键． 11．（21-22九年级上·上海浦东新·期末）在中，，，，点O是边AC上的一个动点，过O作，D为垂足，在线段AC上取，联结ED，作，交射线AB于点P，交射线CB于点F． （1）如图1所示，求证：∽； （2）设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）当时，求线段AP的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或6． 【分析】（1）证△ADE∽△AEP，需找出两组对应相等的角．证明∠AEP=∠ADE；再加上两三角形的公共角∠A，即可证得两三角形相似； （2）由△AOD∽△ACB，可得OD=OA，AD=OA；又由△ADE∽△AEP，可得y=x； （3）由△PBF∽△PED和△ADE∽△AEP，得；再将y=x，BP=4-AP=4-x代入，即可求得AP的长． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∽； （2）∵，，， ∴AC=5， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵∽， ∴，即， ∴， ∴， ∵OA+OE<AC， ∴x+5，即x， ∴； （3）①当点P在线段AB上时，， ∵∽， ∴， ∵∽， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当点P在AB延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴． 过点E作，垂足是点G， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．此题还是一个综合性很强的题目，难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的能力． 12．（2020·上海崇明·一模）如图，中，．点D为斜边的中点，，交边于点E，点P为射线上的动点，点Q为边上的动点，且运动过程中始终保持． (1)求证：； (2)设．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； (3)连接，交线段于点F．当为等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，，即可得出结论； （2）先证明，求出，根据，得到，求出的长，进而求出的长，即可得出解析式，根据，，求出定义域即可； （3）先证明，得到也为等腰三角形，分三种情况进行讨论求解即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵点D为斜边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 由（1）得：， ∴， 即， 解得：， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形时，也为等腰三角形， ①若，过Q作于G，如图所示： 则， ∵， ∴， 解得：， 即； ②若，则， 解得：， 即； ③若，则， ∵，此种情况舍去； 综上：线段AP的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求函数解析式，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想进行求解． 13．（2020·上海黄浦·一模）如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长是或或． 【分析】（1）利用勾股定理计算和的长，再证明，列比例式可得的长； （2）如图1，先证明，得，再证明，得，分别表示，和的长，代入比例式计算即可；根据无限接近时，的值接近4，可得的取值； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别根据平行线分线段成比例定理列比例式，结合方程可解答． 【解析】（1）解：∵， ， ， ， 由勾股定理得：， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，∵， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ，， ，， 同理得：， ， ； 如图2，当点在直线上时，， ，， ， ， 的取值范围是； （3）解：分三种情况： ①当时，如图3，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ，即， ， ， ， ， ，（舍， ； ②当时，如图4， 由勾股定理得：， 由（2）同理得：， ∵， ， ，即， ， 解得：， ； ③当时，如图5，过点作于， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ∵， ， ，即， ， ， ， ， 综上，的长是或或． 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想解决问题，并与方程相结合，本题计算量大，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$