特训02 相似三角形 动态几何题（模型简化练+上海考点练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训02 相似三角形 动态几何题（模型简化练+上海考点练） 目录 01 1-13题基础过渡练（模型简化练） 02 14-26上海考点练 一、填空题 1．（2024·山东滨州·一模）矩形中，，，将边绕点逆时针旋转，点落在处，连接，若，则 ． 2．（22-23九年级上·天津·期末）如图，已知中，，将绕顶点C顺时针旋转90°得到，F是中点，连接，则的长为 ． 3．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图， 在等边中， 点D， E分别在边，上， 将沿直线翻折， 点B落在点处， ，分别交边于点 F，G． 若，，，， 则的长度为 ． 4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在菱形中，点在边上，连接，将沿折叠，使点落在同一平面内的点处，且，垂足为．若，，则的长为 ．    5．（2024·广东深圳·三模）已知等腰中，，，点D是边的中点，沿翻折，使点A落在同一平面的点E处，若，则 ． 6．（2023·浙江台州·三模）如图，一张矩形纸片中，（m为常数）．将矩形纸片沿折叠，使点A落在边上的点H处，点D的对应点为点M，与交于点P．当点H落在的中点时，且，则 ． 7．（2024·山东泰安·三模）将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形，点A、C、D的对应点分别为、、．如图，当过点C时，若，，则的长为 ． 8．（2024·广东深圳·二模）如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，若，，，则的面积是 ． 9．（2024·重庆江津·二模）如图，在矩形纸片中，将矩形纸片折叠，使点落在对角线上的点处，折痕．，，则 ． 10．（2023·重庆·模拟预测）如图，在纸片中，，，，点，分别在，上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上．若平分，则的长为 ． 11．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，中，、分别为，上两点，若四边形沿折叠，、分别落在上的点和上的点，连接交于点，且，若已知，，则 ． 12．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，旋转后的图形是，点的对应点落在的中线的处，与相交于点，则 ． 13．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，正方形的边长为8，M是的中点，N是上的动点，过点N作分别交，于点E，F．当取最小值时，则的长是 ．    14．（2024·山东菏泽·一模）如图，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，则线段长度的取值范围为 ． 15．（2024·上海普陀·一模）如图，矩形中，，，为边的中点，联结、，为边上一点，将沿翻折，如果点的对应点恰好位于内，那么的取值范围是 ． 16．（2024·上海虹口·模拟预测）如图，在矩形中，，是的中点，连接是边上一动点，过点的直线将矩形折叠，使点落在上的处，当是以为腰的等腰三角形时， ．    17．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在直角梯形中，，与的平分线恰好交于边上的点处，将绕点逆时针旋转至，点落在线段上的点处，点落在点处，、分别与交于、，，，那么的值为 ．    18．（21-22九年级上·上海青浦·期中）如图，平行四边形是由绕平行四边形ABCD点A逆时针旋转而得到的，其中点在BC边上，边与边CD交于点E，已知，，，线段 ． 19．（16-17九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ． 20．（2023·河南商丘·一模）折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片，其中，，，找出的中点，在上找任意一点，以为对称轴折叠，得到，点的对应点为点，小明发现，当点的位置不同时，与的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当时，的长为 ． 21．（2021·上海嘉定·二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4（如图），点E是边AB的中点，联结DE．将△DAE沿直线DE翻折，点A的对应点为A'，那么点A'到直线BC的距离为 ． 22．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）在菱形中，点E为边的中点．联结，将沿着所在的直线翻折得到，点B落在点F处，延长交边于点G．如果的延长线恰好经过点D，那么的值为 ． 23．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图，在矩形中，是对角线，点在边上，联结，将沿着直线翻折，点的对应点恰好落在内，那么线段的取值范围是 ． 24．（23-24九年级上·上海虹口·期中）将绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得，如图①，我们将这种变换记为，如图②，在中，，如果对作变换得，使点B，C，B′在同一直线上，且，那么 ．    25．（2023·上海·模拟预测）如图，在中，，，将绕边上点旋转，点、、所对应的点分别是点、、．如果恰好是与的比例中项，那么 ． 26．（2024·上海浦东新·三模）如图，在中，，，点D在边上（不与点B，点C重合），连接，点E在边上，．已知点H在射线上，连接交线段于点G，当，且时，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训02 相似三角形 动态几何题（模型简化练+上海考点练） 目录 01 1-13题基础过渡练（模型简化练） 02 14-26上海考点练 一、填空题 1．（2024·山东滨州·一模）矩形中，，，将边绕点逆时针旋转，点落在处，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】过A作，设，证明，根据相似三角形的性质得出，再运用勾股定理列方程解答即可； 【解析】将边绕点A逆时针旋转，如图所示，过A作， 则，， 设 ， ， ， ， ， ， ， 在中， ∴， （负值舍去）， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质，解答该题的关键是掌握以上知识点． 2．（22-23九年级上·天津·期末）如图，已知中，，将绕顶点C顺时针旋转90°得到，F是中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】作于H，如图，由旋转的性质可得，则，证明，求出，则，即可利用勾股定理得到． 【解析】解：作于H，如图， ∵将绕顶点C顺时针旋转90°得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵F是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 3．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图， 在等边中， 点D， E分别在边，上， 将沿直线翻折， 点B落在点处， ，分别交边于点 F，G． 若，，，， 则的长度为 ． 【答案】9 【分析】本题考查翻折变换(折叠问题)，等边三角形的性质，相似三角形的判定及性质， 首先利用折叠的性质得到，，进而推导出．证得，进而得到，解得，进而得到． 【解析】解：∵，， ∴． 由折叠的性质，得，， ∵， ∴ ∵是等边三角形， ∴． ∵，， ∴ ∴，即， ∴ ∴． 故答案为：9． 4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在菱形中，点在边上，连接，将沿折叠，使点落在同一平面内的点处，且，垂足为．若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质等知识点．过点作于点，由折叠的性质得出，，，由菱形的性质得出，，证明，得出，设，则，由求出，则可得出答案． 【解析】解：过点作于点，   将沿折叠， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（2024·广东深圳·三模）已知等腰中，，，点D是边的中点，沿翻折，使点A落在同一平面的点E处，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 记的交点为F，设，，则，，，由翻折的性质可知，，，，证明，则，即，可得，则，由勾股定理得，，即，整理得，；，即，整理得，；得，，可求，则，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解，，进而可求的值． 【解析】解：如图，记的交点为F，设，，则，，， 由翻折的性质可知，，，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 由勾股定理得，，即，整理得，； ，即，整理得，； 得，， ∴， ∴，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 6．（2023·浙江台州·三模）如图，一张矩形纸片中，（m为常数）．将矩形纸片沿折叠，使点A落在边上的点H处，点D的对应点为点M，与交于点P．当点H落在的中点时，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，根据，设，则，根据，得到①，在中，利用勾股定理可得到②，解①②即可求解 【解析】解：∵， 设，则， ∴点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∴ ∴， ∴， 即， ∴①， ∵，，， ∴， 在中，， ∴②， 解得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 7．（2024·山东泰安·三模）将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形，点A、C、D的对应点分别为、、．如图，当过点C时，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质．连接，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【解析】解：如图，连接， 由题意得，，， 由勾股定理得，， ， 由勾股定理得，， ，，， ， ，即， 解得，． 故答案为：． 8．（2024·广东深圳·二模）如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，若，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质．过作于，由，可得是等腰直角三角形，即得，根据是边上的中点，，可得，由把沿翻折，得到，可得，，即知，对应边成比例求出，进而利用三角形的面积即可解决问题． 【解析】解：过作于，如图： ， 是等腰直角三角形， ， ， 是边上的中点，， ， ， 把沿翻折，得到， ， ， ∴， ， ， 即， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（2024·重庆江津·二模）如图，在矩形纸片中，将矩形纸片折叠，使点落在对角线上的点处，折痕．，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与翻折，相似三角形的性质与判定，勾股定理，先根据翻折，得出，证明，再设，，代入勾股定理，进行计算即可作答． 【解析】解：∵将矩形纸片折叠，使点落在对角线上的点处， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 则设，， 在中，， 即， 即， 解得（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 10．（2023·重庆·模拟预测）如图，在纸片中，，，，点，分别在，上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上．若平分，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等，对应角相等来解决问题，通过相似三角形对应边成比例列方程是解决本题的关键．由翻折得出，，再根据平分，得出，可求证，根据线段比例关系即可求解． 【解析】解：在中，， 由勾股定理得：， 将沿翻折得， ，， 平分， ， ， ， ∴， ， 设，则， ， 解得，， ， 故答案为：． 11．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，中，、分别为，上两点，若四边形沿折叠，、分别落在上的点和上的点，连接交于点，且，若已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，能够熟练运用相关图形的性质是解题的关键．先求出，，设与交于点，，由，可得，，根据对应边成比例可以得到，，再证，利用对应边成比例可求出，从而解决问题． 【解析】解：四边形是平行四边形， ，， 四边形沿折叠，、分别落在上的点和上的点， ，，， ， 设与交于点，如图， 设， ， ，， ，， ，，， ，， ， 又， ， ，即， 解得（负值已舍）， ． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，旋转后的图形是，点的对应点落在的中线的处，与相交于点，则 ． 【答案】/ 【分析】过点作于．求解，证明，，可得，求解，，证明，，再进一步求解可得答案． 【解析】解：过点作于． ，，， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， 是由旋转得到 ，，，， ，，， ， ∴， ∴， ， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 13．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，正方形的边长为8，M是的中点，N是上的动点，过点N作分别交，于点E，F．当取最小值时，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，关键是通过平移变换确定取最小值的位置，根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得；过F作于G，证明得再将沿方向平移至，连接，当A、F、H三点共线时，的值最小，证明得到，再根据是等腰直角三角形,即可求出，根据即可求得答案． 【解析】解：过F作于G，则    ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将沿方向平移至，连接，则， 当A、F、H三点共线时，的值最小， 此时，且是等腰直角三角形， 根据平移的性质得四边形是平行四边形， ∴， ∴是等腰直角三角形, ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2024·山东菏泽·一模）如图，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，则线段长度的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，则，当与重合时，证得即，进而利用勾股定理得，当与重合时，，即可得解． 【解析】解：设，则， 当与重合时，如下图， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得，， ， ∴， ∴， ∴， ∴即， 解得， ∵， ∴即， 解得或（舍去）， 当与重合时，如下图， 此时， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，折叠的性质，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 15．（2024·上海普陀·一模）如图，矩形中，，，为边的中点，联结、，为边上一点，将沿翻折，如果点的对应点恰好位于内，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考矩形的折叠问题，相似三角形的性质，勾股定理； 根据翻折的性质、直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质，分别求得的最小值与最大值，当时，的值最小，当平分时，最长，分别画出图形进行计算即可． 【解析】解：如图1，当时，的值最小，此时点的对应点落在上， ， 四边形是矩形， ，即， ， ， ， 即 解得：； 如图，当平分时，最长，此时点的对应点落在上，连接， 由题意可知，， 在中，，， 由翻折可知， 设，则，， 在中，， 在中， 解得： 则此时， 综上所述，如果点的对应点恰好位于内，那么的取值范围是； 故答案为：． 16．（2024·上海虹口·模拟预测）如图，在矩形中，，是的中点，连接是边上一动点，过点的直线将矩形折叠，使点落在上的处，当是以为腰的等腰三角形时， ．    【答案】或 【分析】根据矩形的性质，勾股定理可得，根据折叠的性质可得，当是以为腰的等腰三角形，分类讨论：第一种情况，，过点作于点；第二种情况，；根据等腰三角形的性质，折叠的性质，运用相似三角形的判定和性质可得，找出线段之间的数量关系列式求解即可． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵点是中点， ∴， ∴在中，， ∵折叠， ∴， 当是以为腰的等腰三角形，分类讨论： 第一种情况，如图所示，，过点作于点，    ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即， 解得，，即， ∴； 第二种情况，如图所示，，    同理，可得， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，，（舍去）， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握折叠的性质，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形是解题的关键． 17．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在直角梯形中，，与的平分线恰好交于边上的点处，将绕点逆时针旋转至，点落在线段上的点处，点落在点处，、分别与交于、，，，那么的值为 ．    【答案】 【分析】如图所示，过点E作于H，先由角平分线的性质得到，则，利用勾股定理求出，再证明，进而证明，得到，求出，由旋转的性质可得，则，证明，求出，则，再证明，推出，则． 【解析】解：如图所示，过点E作于H， ∵与的平分线恰好交于边上的点处，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴由角平分线的定义可知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，平行线的性质与判定，勾股定理，旋转的性质等等，证明，然后通过证明三角形相似并利用相似三角形的性质求解是解题的关键． 18．（21-22九年级上·上海青浦·期中）如图，平行四边形是由绕平行四边形ABCD点A逆时针旋转而得到的，其中点在BC边上，边与边CD交于点E，已知，，，线段 ． 【答案】 【分析】过点C作，交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，由旋转可知，，得出 ，求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可求出答案． 【解析】解：如图，过点C作，交于点F，则， ∵， ∴， 又∵， 由三角形外角可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，，， 则， ∴， ∴， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题关键． 19．（16-17九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的重心的性质，相似三角形的性质与判定，根据题意得出，进而证明，根据向上三角形的性质得出，结合直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【解析】解：如图所示， 为的中点，为的重心， ∵在中，， ∴ ∴ ∵旋转， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴， ∴ 故答案为：． 20．（2023·河南商丘·一模）折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片，其中，，，找出的中点，在上找任意一点，以为对称轴折叠，得到，点的对应点为点，小明发现，当点的位置不同时，与的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】分情况讨论，于没有交点时和于有交点时，根据含角的直角三角形的性质，结合平行线分线段成比例，即可求解． 【解析】解：是直角三角形，，， ，， ①如图，当时，设的延长线交于点，则， ， ， 由翻折的性质可知，，， ， 又点是的中点， ， ，即， ； ②如图，当时，设交于点，则， 同理可得，， ， ，即， ； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折的性质，中点的性质，含角的直角三角形的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 21．（2021·上海嘉定·二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4（如图），点E是边AB的中点，联结DE．将△DAE沿直线DE翻折，点A的对应点为A'，那么点A'到直线BC的距离为 ． 【答案】 【分析】过A'作FG// BC交AB于F，交CD于G，过A'作A' H⊥BC于H，先证明△EFA∽△A'GD得它们对应边的比为，再设EF= 3m，FA' = 3n，则A'G = 4m，DG=4n，根据FA'+A'G=BC=4, AE+ EF= DG，列方程即可得到答案． 【解析】解：过A'作FG// BC交AB于F，交CD于G，过A'作A'H⊥BC于H，如图： 在矩形ABCD中，AB= 6，BC=4， E是边AB的中点 ∴∠A= 90°，AD= BC= 4，CD= AB= 6， AE= 3， ∵△DAE沿直线DE翻折，点A的对应点为A'， ∴∠DA'E=∠A= 90°，A'D= AD=4，A'E= AE=3, 又FG// BC， ∴∠A'DG= 90°－∠DA'G=∠EA'F， 而∠EFA'=∠A'GD= 90°， ∴△EFA∽△A'GD， ∴． 设EF= 3m， FA' = 3n，则A'G = 4m，DG = 4n， ∵FA'+A'G=BC=4，AE+ EF= DG， ∴，解得， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查矩形中的翻折问题，构造相似三角形列方程是解题的关键． 22．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）在菱形中，点E为边的中点．联结，将沿着所在的直线翻折得到，点B落在点F处，延长交边于点G．如果的延长线恰好经过点D，那么的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】 延长、交于点，由菱形的性质得，，，则，由折叠得，，则，，而，所以，推导出，可证明，得，则，所以，则，再证明，得，再证明，得，则，而，即可求得，于是得到问题的答案． 【解析】 解：延长、交于点， 四边形是菱形， ，，， ， 由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点为边的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值为． 故答案为： 【点睛】本题考查菱形的性质、轴对称的性质、同角的补角相等、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 23．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图，在矩形中，是对角线，点在边上，联结，将沿着直线翻折，点的对应点恰好落在内，那么线段的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质等，计算出点恰好落在边上，以及点恰好落在边上时的值，即可得出线段的取值范围． 【解析】解：当点的对应点恰好落在边上时，如图： 由折叠的性质知，，， 又矩形中，， 四边形是正方形， ， ； 当点的对应点恰好落在边上时，如图， 由折叠的性质知， ， 又矩形中，， ， ， 又， ， ，即， ， ， 线段的取值范围是． 故答案为：． 24．（23-24九年级上·上海虹口·期中）将绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得，如图①，我们将这种变换记为，如图②，在中，，如果对作变换得，使点B，C，B′在同一直线上，且，那么 ．    【答案】 【分析】先判定，得到，继而证明，设，在中，利用勾股定理得出，证明，得到，再在中，利用勾股定理得到，两式结合，利用加减消元法求出n值即可． 【解析】解：如图，连接    ∵，， ∴， ∴，且， ∵， ∴，即， ∴，则， 设， 在中，， 即， 整理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， 整理得：，代入中， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质解决问题． 25．（2023·上海·模拟预测）如图，在中，，，将绕边上点旋转，点、、所对应的点分别是点、、．如果恰好是与的比例中项，那么 ． 【答案】或 【分析】连接、过作于由旋转得，，，．故，，得，进而由恰好是与的比例中项得，，又证明得，从而证明，或，进而分两种情况讨论求解即可。 【解析】解∶连接、过作于 由旋转得，，，． ∴,, ∴，， ∴ 得∶即 ∵恰好是与的比例中项， ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴即， ∴， ∴， ∴，或， ∴当，、，重合， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∵面积， ∴， ∴ ∴， ∴． 当时， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，因式分解及有理数的乘法法则，掌握相似三角形的判定及性质是解题关键． 26．（2024·上海浦东新·三模）如图，在中，，，点D在边上（不与点B，点C重合），连接，点E在边上，．已知点H在射线上，连接交线段于点G，当，且时，则 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据点H在射线上，，有以下两种情况：①当点H在线段上时，过点A作交延长线于F，则，过点D作于M，证四边形为矩形得，证，推出，再证，由此可得的值；②当点H在的延长线上时，过点A作交延长线于F，同理可得的值． 【解析】解：∵点H在射线上，， ∴有以下两种情况： ①当点H在线段上时，过点A作交延长线于F，过点D作于M，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点H在的延长线上时，过点A作交延长线于F，如图2所示： 则， 同理可证：，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$