精品解析：湖南省汨罗市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

2024年秋季高二数学入学考试 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知向量，，且，则（ ） A. 6 B. C. D. 2. 若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数的方差最大的是（ ） A. 5，5，5，5，5，5，5，5，5 B. 4，4，4，5，5，5，6，6，6 C 3，3，4，4，5，6，6，6，7，7 D. 2，2，2，2，5，8，8，8，8 4. 已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 5. 若向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（ ） A. 圆台的母线长是20 B. 圆台的表面积是 C. 圆台高是 D. 圆台的体积是 7. 位于四川省乐山市的乐山大佛，又名“凌云大佛”，是世界文化与自然双重遗产之一．如图，已知PH为佛像全身高度，PQ为佛身头部高度（PQ约为15米）．某人为测量乐山大佛的高度，选取了与佛像底部在同一水平面上的两个测量基点A，B，测得米，米，，在点A处测得点Q的仰角为48.24°，则佛像全身高度约为（ ）（参考数据：取，，） A. 56米 B. 69米 C. 71米 D. 73米 8. 如图，已知正方形的边长为2，，分别是，的中点，平面，且，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中假命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，E，H分别在线段PA，PD上，C是线段AD的中点，F是线段EH的中点，，PC与EH交于点G，则（ ） A. B. C. D. 11. 在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知O为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 已知点B是点在坐标平面内的射影，则__________. 14. 已知平面向量的夹角为，则___________ 15. 已知三棱锥，底面，且是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球表面积是___________． 16. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是___________． 四．解答题（共6小题，共70分） 17. 已知，求下列各式的值. （1）； （2） 18. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取60个直播商家进行问询交流. （1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家利润状况时，工作人员对抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润中位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过470元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 19. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围． 20. 已知，，其中，函数的最小正周期为. （1）求函数的单调递增区间； （2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围. 21. 在锐角中，角的对边分别为，，，已知且． （1）求角A的大小； （2）若，求的面积； （3）求的取值范围． 22. 在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网可组卷网 2024年秋季高二数学入学考试 一.选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1.已知向量a=(m,4),6=(3,-2),且a16,则m=（) 8 A.6 B.6 C.3 D、8 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的共线定理，列出方程求出m的值 【详解】解：向量a=m,4),b=（3,-2,且a/b, .-2m-4×3=0, 解得m=-6. 故选：B 【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用问题，是基础题目。 2.若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是() A.90°-0 B.180°- C.270°-au D.- 【答案】C 【解析】 【分析】根据象限角的概念判断即可。 【详解】若是第一象限角，则k·360°<<90°+k·360°，k∈Z, 90°-k.360°<-0<-k.360°，k∈Z,则-0是第四象限角，故D错误； -k·360°<90°-a<90°-k·360°，k∈Z,则90°-0是第一象限角，故A错误； 90°-k.360°<180°-a<180°-k.360°，k∈Z,则180°-a是第二象限角，故B错误； 180°-k.360°<270°-0<270°-k·360°，k∈Z,则270°-4是第三象限角，故C错误 故选：C 3.下列各组数的方差最大的是() A5,5,5,5,5,5,5,5,5 B.4,4,4,5,5,5,6,6,6 第1页/共22页 可学科网可组卷网 kw.con C3,3,4,4,5,6,6,6,7,7 D.2,2,2,2,5,8,8,8,8 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、方差的公式逐一计算并比较即可得解 【详解】对于A,所有数都是5，所以方差为0， 对于B,该组数据的平均数为4+5+6)×3=5， 9 方差为4-5列+5-5列+6-5x32, 9 3 对于C,该组数据的平均数为3+4+7)×2+5×1+6×3 =5.1, 10 方差为[3-5.1+4-5.+(7-5.]x2+5-5.2x1+(6-512×3 =2.09’ 10 对于D,该组数据的平均数为2+8)×4+5 5, 9 方差为(2-5+(8-5)2]x4+(5-52 =8, 9 对比各个选项可知，D符合题意 故选：D. 4.已知m,n表示两条不同的直线，0，B表示两个不同的平面，则下列说法正确的是() A.若m‖，n∥a,则m∥n B.若a⊥B,m⊥B,则ml C.若a∥B,mca,ncB,则m∥n D.若mca,m⊥B,则o⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】由平行于同一平面的两直线的位置关系判定A;由面面垂直、线面垂直判定线面关系判断B;由两 平行平面内两直线的位置关系判断C;由平面与平面垂直的判定定理判断D. 第2页/共22页 可学科网命组卷网 【详解】若m‖a,n∥a,则m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误； 若a⊥B,m⊥B,则mla或mca,故B错误； 若a∥B,mcoa,ncB,则m∥n或m与n异面，故C错误； 若mca,m⊥B,由平面与平面垂直的判定可得a⊥B,故D正确. 故选：D 5若向量a，,万满足a=1,同=V2,a1(a+b),则a与万的夹角为() A B 3π 4 3 C. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直的数量积表示得āb,然后由向量夹角公式计算. 【详解】由已知得aa+b)=0,a.i=-1,cos0= ab-1V2 丽2 0∈[0，π]，所以0=37 4 故选：C. 6.圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是 () A.圆台的母线长是20 B.圆台的表面积是1100π C.圆台的高是10V2 D.圆台的体积是7000W5 3π 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，作出圆台侧面展开图，求出圆台的母线长和高，再利用表面积和体积公式求解判 断作答 【详解】依题意，圆台侧面展开图，如图， 第3页/共22页 学科网丽组卷网 B 设圆台的上底面周长为C,由扇环的圆心角为180°，得C=π·SA,又C=10×2π， 则SA=20,同理SB=40,于是圆台的母线AB=SB-SA=20,高h=VAB2-(20-10)2=10V3, 表面积S=π(10+20)×20+100π+400元=1100元， 体积/-=×10V5×102+10×20+20)=7000V5x, ，ABD正确，C错误， 3 故选：C 7.位于四川省乐山市的乐山大佛，又名“凌云大佛”，是世界文化与自然双重遗产之一.如图，己知PH为 佛像全身高度，PQ为佛身头部高度(PQ约为15米).某人为测量乐山大佛的高度，选取了与佛像底部在 同一水平面上的两个测量基点A,B,测得AB=40米，BH=20米，∠ABH=108°，在点A处测得点Q 的仰角为48.24°，则佛像全身高度约为()（参考数据：取tan48.24°=1.12，c0s108°=-0.31， V39=6.25) H A-- A.56米 B.69米 C.71米 D.73米 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理可得AH=8V59,再由∠04H=48.24°，1 AH =tan48.24°=1.12可求得0H,从 而可得结论 【详解】由余弦定理可得AH=√AB2+BH-2AB·BH·cos∠ABH=V1600+400+1600×0.31 第4项/共22页 可学科网可组卷网 =V2496=8√39 依题意得∠0AH=48.24°，则 =tan48.24°=1.12， H 所以0H=1.12AH=8.96√39=8.96×6.25=56， 则PH≈15+56=71， 故佛像全身高度约为71米. 故选：C 8.如图，己知正方形ABCD的边长为2，E,F分别是AB,AD的中点，GC⊥平面ABCD,且 GC=2,则BE与平面EFG所成角的正弦值为() G D A A E B v17 B V c v2 D 217 17 6 17 【答案】D 【解析】 【分析】连接BD、AC,且EF、BD分别交AC于H、O,证明BD/1平面EFG,再利用面面垂直的 判定得平面EFG⊥平面HCG,再作出OK⊥HG,利用面面垂直的性质有OK⊥平面EFG,最后根据 线面角的定义计算相关长度即可 【详解】如图，连接BD、AC,且EF、BD分别交AC于H、O 因为四边形ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点， 故EFI/BD,H为AO的中点，因为EFc平面EFG,BD平面EFG, 所以BD/平面EFG,所以BD到平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离. :BD⊥AC,EF//BD,.EF⊥AC,即EF⊥HC,GC⊥平面ABCD, EFc平面ABCD,∴.GC⊥EF,:HCnGC=C,HC,GCc平面HCG, .EF⊥平面HCG,:EFC平面EFG,∴.平面EFG⊥平面HCG, 作OK⊥HG交HG于点K,因为OKC平面HCG,平面EFGO平面HCG=HG, 第5页/共22页 可学科网组卷网 ∴.OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离 正方形BCD的盟长为2.GC=2,AC=2V2,H0=)2,HC、3月 2 ,GC⊥平面ABCD,HCC平面ABCD,所以GC⊥HC, ∴.在RtAHCG中，HG=VHC2+CG2 17 根据RtHKO∽RtAHCG, V2 有K-0,得0K=H0-GC_2万 CG HG HG 17 因为O∈BD,BD//平面EFG,所以OK的长即为点B到平面EFG的距离， OK=217,即8E与平面EFG成角的正弦值为27 BE 17 17 故选：D. G D F B 二.多选题（共4小题，每题5分，共20分) 9.对于两个平面a,B和两条直线m,n,下列命题中假命题是() A.若m⊥a,m⊥n,则n/o B.若m/1a,oa⊥B,则n/1β C.若m//a,n/1β，a⊥B,则m⊥n D.若m⊥0，n⊥B,0⊥B,则m⊥n 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解 【详解】对于A中，若m⊥，m⊥n,可得n/1a或nca,所以A是假命题； 对于B中，若m/1a,a⊥B,可得n/1B或ncB,所以B是假命题； 对于C中，由a⊥B,设a∩阝=1，当m/l,n/l且m丈a,n文B时， 可得m/1a,n/B,此时ml∥n,所以C是假命题； 对于D中，如图所示，过点P作PA/1m,PA/1n, 第6页/共22页 学科网丽组卷网 因为m⊥a,n⊥B,可得PA/1a,PA//B, 设a∩B=1,可得lca,lcB,所以1⊥PA,1⊥PB, 又因为PA∩PB=P,所以I⊥平面PAMB, 因为BM,AMC平面PAMB,所以I⊥BM,I⊥AM, 所以∠AMB为二面角-1-B的平面角，因为a⊥B,所以∠AMB=90°， 在矩形PAMB中，可得∠APB=90°，所以PA⊥PB,即m⊥n,所以D正确 故选：ABC B m B n D M 1O.如图，E,H分别在线段PA,PD上，C是线段AD的中点，F是线段EH的中点，AB=2BC,PC与 EH交于点G,则PG=() B C D APE+P B. PF+2PH C.PE+2PH D. 4 4 5 2pF+p 5 【答案】CD 【解析】 【分析】由题意，选定PA和PD作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，将PF和PG用基底表 示出来，比较系数即可求得 【详解】设PE=入PA,PF=uPD, 因为F是线段EH的中点，则有P所死+P功=P+号P历， 第7页/共22页 可学科网可组卷网 由AB=2BC,可得AB=AD, 3 设PF=1PB=t(PA+AB) =+写0)=m+P历-P网-Pm+{D, 3 [2_24 23 则由平面向量基本定理可得 ,解得2=2u, 23 又E,G,H三点共线， 故可设PG=mPE+Q-m)Pi=m入PA+1-m)uPD, 设PG=nPC,由C为AD中点可知P元=+而)， mi=n 2 将元=2μ代入可得m号 n (1-m)μ= 2 即PG=PE+P,C正确， 3 又G-号m+号历=华+PD. 3 3 所-A+号P历=uPm+PD, PH=uPD, 设PG=xPF+yPH, 则有2(PA+PD)=xuPa+PD)+uPD, 3 [2 X= 即 3 21 ’解得x 2+y= 3y 3 3 故元号开号丽，D正确： 3 故选：CD 11.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3,BD=2DC,则下列命题正确的是() 第8页/共22页 可学科网命组卷网 A0-写B+}AC B.AB.AD=12 c.AD=2V2 D.(AD+DC）AD-2DC）=0 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A正确；由ABAD=!AB°+ABAC,可判定B不正确； 而-而-写石+号C+64C,可判定c不正偏由+C=C,D-20c-丽. 0 结合数量积的运算公式，可判定D正确 【详解】如图所示，等腰直角ABC中，∠BAC=90°，AB=3,BD=2DC, 对干A中，由D=6+D=+号8c:+号4C-)=背丽+号C. 3 所以A正确； 对打B中，曲丽而=而丽号0)号丽+号丽C=,所以B不正装 3 3 对于C申.=而-写+号C+C=6×+×g5. 62,4 24 9 0 所以AD=V5,所以C不正确： 对于D中，由AD+DC=AC,AD-2DC=AD+DB=AB, 所以AD+DC(AD-2DC=AC·AB=AC 4Bcos0°=0，所以D正确 故选：AD B 12已知0为坐标原点，点R(eosa,sna,cosB.sin,片cosa+sina+ A1,0,则() A.OP -OF B.RR-BR 第9页/共22页 命学科网列组卷网 C.OA.OP =OP.OP. D.(op+0E0E≤2 【答案】ABD 【解析】 【分】AB选项，利用向量模长公式计算得到OP=OE=1,P=PB:C选项，由向量数量积公 式得到OAOE,OPOE,不一定相等；D选项，由向量数量积运算法则，和差化积公式计算出 (OP+09).0P=2cs8,B≤2，D正确 2 【详解】A选项， osa+sina1s+sin)=1. 故OP=O,A正确： B选项.P所=(cosa+p)-cosa,sna+1-sina co)-cosa in (a+B)-sina coeina sin -2-260s(a+-a-2-2c0s(-) BP=cos-(@+B)-cosB.sin-(@+B)-sinB, c-coB+inB)-sin) -cossin(B)sinB =2-2cos[5a+8l-8]-2-2cosa-B1. 由于cosB-a)=cosa-P),故Pg=R,B正确： c选项，0i-0丽-L0-cos2a+P1.sna+)=cosa+B1, 第10页/共22页