精品解析：湖南省汨罗市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

2024年秋季高二数学入学考试 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知向量，，且，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的共线定理，列出方程求出的值. 【详解】解：向量，，且， ， 解得. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用问题，是基础题目. 2. 若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据象限角的概念判断即可. 【详解】若是第一象限角，则， ，则是第四象限角，故D错误； ，则是第一象限角，故A错误； ，则是第二象限角，故B错误； ，则是第三象限角，故C错误. 故选：C. 3. 下列各组数的方差最大的是（ ） A. 5，5，5，5，5，5，5，5，5 B. 4，4，4，5，5，5，6，6，6 C. 3，3，4，4，5，6，6，6，7，7 D. 2，2，2，2，5，8，8，8，8 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、方差的公式逐一计算并比较即可得解. 【详解】对于A，所有数都是5，所以方差为0， 对于B，该组数据的平均数为， 方差为， 对于C，该组数据的平均数为， 方差为， 对于D，该组数据的平均数为， 方差为， 对比各个选项可知，D符合题意. 故选：D. 4. 已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由平行于同一平面的两直线的位置关系判定A；由面面垂直、线面垂直判定线面关系判断B；由两平行平面内两直线的位置关系判断C；由平面与平面垂直的判定定理判断D． 【详解】若，，则或m与n相交或m与n异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，，则或m与n异面，故C错误； 若，，由平面与平面垂直的判定可得，故D正确. 故选：D 5. 若向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直的数量积表示得，然后由向量夹角公式计算． 【详解】由已知得，，， ，所以. 故选：C． 6. 圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（ ） A. 圆台的母线长是20 B. 圆台的表面积是 C. 圆台的高是 D. 圆台的体积是 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，作出圆台侧面展开图，求出圆台的母线长和高，再利用表面积和体积公式求解判断作答. 【详解】依题意，圆台侧面展开图，如图， 设圆台的上底面周长为，由扇环的圆心角为，得，又， 则，同理，于是圆台的母线，高， 表面积， 体积，ABD正确，C错误. 故选：C 7. 位于四川省乐山市的乐山大佛，又名“凌云大佛”，是世界文化与自然双重遗产之一．如图，已知PH为佛像全身高度，PQ为佛身头部高度（PQ约为15米）．某人为测量乐山大佛的高度，选取了与佛像底部在同一水平面上的两个测量基点A，B，测得米，米，，在点A处测得点Q的仰角为48.24°，则佛像全身高度约为（ ）（参考数据：取，，） A. 56米 B. 69米 C. 71米 D. 73米 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理可得，再由，可求得，从而可得结论. 【详解】由余弦定理可得． 依题意得，则， 所以， 则， 故佛像全身高度约为71米． 故选：C. 8. 如图，已知正方形的边长为2，，分别是，的中点，平面，且，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，且、分别交于、，证明平面，再利用面面垂直的判定得平面平面，再作出，利用面面垂直的性质有平面，最后根据线面角的定义计算相关长度即可. 【详解】如图，连接、，且、分别交于、. 因为四边形是正方形，、分别为和的中点， 故为的中点，因为平面，平面， 所以平面，所以到平面的距离就是点到平面的距离. ，即，平面， 平面，，平面， 平面平面平面平面， 作交于点，因为平面，平面平面， 平面，所以线段的长就是点到平面的距离. 正方形的边长为. 平面，平面，所以， 在中，，根据， 有，得， 因为，平面，所以的长即为点到平面的距离， ，即与平面成角的正弦值为. 故选：D. 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中假命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，可得或，所以A是假命题； 对于B中，若，可得或，所以B是假命题； 对于C中，由，设，当且时， 可得，此时，所以C是假命题； 对于D中，如图所示，过点作， 因为，可得， 设，可得，所以， 又因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，因为，所以， 在矩形中，可得，所以，即，所以D正确. 故选：ABC. 10. 如图，E，H分别在线段PA，PD上，C是线段AD的中点，F是线段EH的中点，，PC与EH交于点G，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由题意，选定和作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，将和用基底表示出来，比较系数即可求得． 【详解】设，， 因为是线段的中点，则有， 由，可得， 设 ， 则由平面向量基本定理可得，解得， 又，，三点共线， 故可设， 设，由为中点可知， ，将代入可得， 即，正确； 又， ， ， 设， 则有， 即，解得，， 故，正确； 故选：CD． 11. 在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A正确；由，可判定B不正确； ，可判定C不正确；由，，结合数量积的运算公式，可判定D正确. 【详解】如图所示，等腰直角中，，， 对于A中，由， 所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，由， 所以，所以C不正确； 对于D中，由， 所以，所以D正确. 故选：AD. 12. 已知O为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB选项，利用向量模长公式计算得到，；C选项，由向量数量积公式得到不一定相等；D选项，由向量数量积运算法则，和差化积公式计算出，D正确. 【详解】A选项，，， 故，A正确； B选项，， 故 ， ， 故 ， 由于，故，B正确； C选项，， ， 因为不一定相等，故不一定相等，C错误； D选项，由和差化积可得 ， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：和差化积公式：， ， ， 积化和差公式：， ， ， . 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 已知点B是点在坐标平面内的射影，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据空间中点的对称关系得到B点的坐标，利用两点之间的距离公式得到结果． 【详解】∵点B是点在坐标平面内的正射影， ∴B在坐标平面上，横标和纵标与A相同，而竖标为0， ∴B的坐标是， ∴， 故答案为：. 14. 已知平面向量的夹角为，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由向量的数量积运算及运算律可求得答案. 【详解】， 所以． 故答案为：. 15. 已知三棱锥，底面，且是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球表面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，过点作平面，得到球心在上，过球心作，则球的半径为，求得，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】取三角形的中心，连接，过点作平面， 因为为边长为的等边三角形，所以球心在上,不妨设为三棱锥外接球球心， 过球心作，交于点，则球的半径为， 因为在三棱锥中，底面，且是边长为的等边三角形，, 所以， 因为，所以，所以， 所以球的半径， 所以该三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：. 16. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理以及面面平行判定定理，利用线面角的定义，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【详解】如图，取的中点，的中点M，连接AM，AN，MN，，， 由正方体，E，N分别为，的中点， 易知，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面BEF，平面BEF，所以平面BEF， 因为E，F分别为，的中点，由中位线性质可得，同理可知，所以， 又因为平面，平面，所以平面，又，平面AMN，所以平面平面， 因为P是底面上一点，且平面，所以点， 由分别为的中点，且，，则，，即， 由，则 在等腰中，底边上的高， 则AP的长度的取值范围为， 设与平面成角为，在正方体中，易知平面，且为垂足， 所以． 故答案为：. 【点睛】本题的解题关键在于面面平行的性质定理以及线面角定义的理解，利用正方体的几何性质，得以解题. 四．解答题（共6小题，共70分） 17. 已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，将要求的表达式转化只含的形式，由此求得表达式的值. （2）利用“”的代换的方法求得表达式的值. 【小问1详解】 由于，所以， 所以. 【小问2详解】 . 18. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取60个直播商家进行问询交流. （1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过470元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 【答案】（1）小吃类21家，生鲜类9家. （2）（i）中位数为元，平均数为440元；（ii）256. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可； （2）（i）根据中位数和平均数的定义计算即可； （ii）根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可. 【小问1详解】 根据分层抽样知： 应抽取小吃类家，生鲜类家， 所以应抽取小吃类21家，生鲜类9家. 【小问2详解】 （i）根据题意可得，解得， 设中位数为x，因为，， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的中位数为元. 平均数为, 所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元. （ii）， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为256. 19. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由实部为且虚部不为列式求解； （2）由实部与虚部均小于得到不等式组，求出的取值范围． 【小问1详解】 是纯虚数， 故，解得 【小问2详解】 因为在复平面内对应的点在第三象限， 所以，解得， 故的取值范围为． 20. 已知，，其中，函数的最小正周期为. （1）求函数的单调递增区间； （2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示可知，由最小正周期为可得，即可知，再利用三角函数单调性即可求得的单调递增区间为，； （2）根据三角形形状可得，再由正弦定理得，又，所以. 【小问1详解】 因为，， 则， ， 故， 因为最小正周期为，所以，所以，故， 由，，解得，， 所以的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）及，即，又， 所以，解得， 又为锐角三角形，即，即， 解得； 由正弦定理得，又，则， 所以. 21. 在锐角中，角的对边分别为，，，已知且． （1）求角A的大小； （2）若，求的面积； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换运算求解； （2）先利用余弦定理求得，进而可求面积； （3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性运算求解. 【小问1详解】 因为， 且，则，可得， 整理得，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，即， 解得或（舍去）， 所以的面积. 【小问3详解】 由正弦定理，可得， 则 ， 因为为锐角三角形，且，则，解得， 则，可得， 则， 所以的取值范围为. 22. 在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果； （2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果. 【详解】 （1）连 以为轴建立空间直角坐标系，则 从而直线与所成角的余弦值为 （2）设平面一个法向量为 令 设平面一个法向量为 令 因此 【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季高二数学入学考试 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知向量，，且，则（ ） A. 6 B. C. D. 2. 若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数的方差最大的是（ ） A. 5，5，5，5，5，5，5，5，5 B. 4，4，4，5，5，5，6，6，6 C. 3，3，4，4，5，6，6，6，7，7 D. 2，2，2，2，5，8，8，8，8 4. 已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 5. 若向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（ ） A. 圆台的母线长是20 B. 圆台的表面积是 C. 圆台的高是 D. 圆台的体积是 7. 位于四川省乐山市的乐山大佛，又名“凌云大佛”，是世界文化与自然双重遗产之一．如图，已知PH为佛像全身高度，PQ为佛身头部高度（PQ约为15米）．某人为测量乐山大佛的高度，选取了与佛像底部在同一水平面上的两个测量基点A，B，测得米，米，，在点A处测得点Q的仰角为48.24°，则佛像全身高度约为（ ）（参考数据：取，，） A. 56米 B. 69米 C. 71米 D. 73米 8. 如图，已知正方形的边长为2，，分别是，的中点，平面，且，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中假命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，E，H分别在线段PA，PD上，C是线段AD的中点，F是线段EH的中点，，PC与EH交于点G，则（ ） A. B. C. D. 11. 在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知O为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 已知点B是点在坐标平面内的射影，则__________. 14. 已知平面向量的夹角为，则___________ 15. 已知三棱锥，底面，且是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球表面积是___________． 16. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是___________． 四．解答题（共6小题，共70分） 17. 已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 18. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取60个直播商家进行问询交流. （1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过470元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 19. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围． 20. 已知，，其中，函数的最小正周期为. （1）求函数的单调递增区间； （2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围. 21. 在锐角中，角的对边分别为，，，已知且． （1）求角A的大小； （2）若，求的面积； （3）求的取值范围． 22. 在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $