精品解析：陕西省2024-2025学年高三上学期开学校际联考数学试题

2025届高三第一次校际联考 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟． 2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 为全面普及无人机知识，激发青少年探索航空未来创造力与想象力，提升青少年科学素养和创新能力，培养航空后备人才．某省于2024年4月中旬举办了第8届全国青少年无人机大赛某校为下一届大赛做准备，在校内进行选拔赛，10名学生成绩依次为：．则这组数据的分位数为（ ） A. 90 B. 92.5 C. 85 D. 95 5. 函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ） A. 288种 B. 360种 C. 480种 D. 504种 7. 由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于函数和，下列说法正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最值 C. 与有相同的周期 D. 的图象与的图象有相同的对称轴 10. 已知数列满足，其中，设为数列的前n项和，则下列选项正确的有（ ） A. 为等差数列 B. C. D. 当时，有最大值 11. 已知圆的圆心为E，抛物线的焦点为F，准线为l，动点P满足，则（ ） A. 曲线E与C仅有一个公共点 B. 点P的轨迹为椭圆 C. 的最小值为1 D. 当点P在l上时， 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则实数_______． 13. _______． 14. 中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，则正四棱台的体积为_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角C的大小； （2）求的值． 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的值域． 17. 如图，四棱锥中，底面，四边形是正方形，分别是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 18. 已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，． （1）求双曲线C的标准方程； （2）设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值． 19. 如图，一质点在大小随机的外力作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为p，移动2个单位的概率均为． （1）记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点； （2）若，记质点从原点0运动到n的位置的概率为． （i）求； （ii）证明：是等比数列，并求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三第一次校际联考 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟． 2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义直接求解即可. 【详解】因为，， 所以，故A正确. 故选：A 2. 若复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念和复数模的计算公式即可. 【详解】. 故选：C. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊余弦值的通式表示，结合必要不充分条件的判断即可求解. 【详解】可得,故充分性不成立， 当可得，故必要性成立 故选：B 4. 为全面普及无人机知识，激发青少年探索航空未来创造力与想象力，提升青少年科学素养和创新能力，培养航空后备人才．某省于2024年4月中旬举办了第8届全国青少年无人机大赛某校为下一届大赛做准备，在校内进行选拔赛，10名学生成绩依次为：．则这组数据的分位数为（ ） A. 90 B. 92.5 C. 85 D. 95 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】10名学生成绩从低到高依次为：，且， 故第60百分位数为第6个数和第7个数的平均数. 故选：B. 5. 函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇偶性定义判断A、B，求判断C，结合排除法确定答案. 【详解】由，且定义域为R，为奇函数，A不符； 由，且定义域为R，为奇函数，B不符； 由与图象不符，C不符. 故选：D 6. 亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ） A. 288种 B. 360种 C. 480种 D. 504种 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案. 【详解】先安排甲乙以外的个人，然后插空安排甲乙两人， 所以不同的传递方案共有种. 故选：C 7. 由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可. 【详解】由圆的方程，得圆心，半径， 如图，切线长，当最小时，最小， 最小值为圆心到直线的距离， 所以切线长的最小值. 故选：C. 8. 已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，恒成立，参变分离可得，恒成立，结合函数的单调性求出的最大值，即可得解. 【详解】依题意，恒成立， 即，恒成立， 所以，恒成立， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以当时， 所以，即的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据数列的单调性得到，恒成立，再参变分离得到，恒成立. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于函数和，下列说法正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最值 C. 与有相同的周期 D. 的图象与的图象有相同的对称轴 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然有相同零点，A选项正确； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的一个周期为，显然也是的一个周期，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：ABC 10. 已知数列满足，其中，设为数列的前n项和，则下列选项正确的有（ ） A. 为等差数列 B. C. D. 当时，有最大值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义判断出为等差数列，求出、逐项判断可得答案. 【详解】由得， 且， 所以是以首项为公差为的等差数列，故A正确； 所以，故B错误； ，故C错误； ， 因为时，所以当时有最大值，为，故D正确. 故选：AD. 11. 已知圆的圆心为E，抛物线的焦点为F，准线为l，动点P满足，则（ ） A. 曲线E与C仅有一个公共点 B. 点P的轨迹为椭圆 C. 的最小值为1 D. 当点P在l上时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，利用椭圆的定义，得到点P的轨迹为椭圆，其方程为，以及联立方程组，结合椭圆的几何性质，两点减距离公式和二次函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，圆的圆心， 抛物线的焦点为，准线， 因为，所以点P的轨迹为椭圆， 其中，可得，所以， 所以椭圆的方程为，所以B正确； 联立方程组其中，整理得， 解得或（舍去），所以曲线和只有一个公共点，所以A正确； 设点是椭圆上的任意一点，则，其中， 则， 当时，取得最小值，最小值为，即取得最小值为，所以C正确； 联立方程组，解得，即点， 可得，所以D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则实数_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 13. _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角差的正切公式计算即可. 【详解】. 故答案为：. 14. 中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，则正四棱台的体积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，求出棱台的高，结合给定条件求出上下两个底面的面积，利用棱台体积公式求解即可. 【详解】如图，作，，， 因为正四棱台，， 所以，，而在面中， 所以，故四边形是平行四边形， 同理可得四边形是平行四边形， 而，所以平行四边形是矩形， 所以，，由题意得， 所以，故， 因为，所以，解得， 由勾股定理得，所以， 同理可得，因为四边形是平行四边形， 所以，故，由勾股定理得， 所以，设正方形面积为， 正方形面积为，四棱台体积为， 所以，， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是作出辅助线，然后利用几何关系求出高，结合给定条件求出两个底面的面积，得到所要求的体积即可． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角C的大小； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算即可； （2）利用正弦定理结合（1）的结论计算即可. 【小问1详解】 ， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， ． 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的值域． 【答案】（1）递增区间为，递减区间为和 （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域后求导数，令导数大于0得到单调递增区间；令导数小于0得到单调递减区间；（2）由（1）的单调性可得函数的极值，再求出端点处的函数值与极值进行比较即可得到最值. 【小问1详解】 函数的定义域为R， ， 由，得；由，得或， 故函数的递增区间为，递减区间为和． 【小问2详解】 由（1）可得在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值即最小值， ， 又 , 函数在上的值域为． 17. 如图，四棱锥中，底面，四边形是正方形，分别是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 分别为的中点， ， 四边形为正方形， ，则， 平面不在平面内， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，进而得，即可证明平面； （2）证明两两垂直，以A为原点建立空间直角坐标系，求出、、和点的坐标，求出，和，求出平面的法向量，进而求得直线与平面所成角的正弦值，最后求出直线与平面所成角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形为正方形，， 平面平面， 两两垂直， 故以A为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则即得 令，则，则， 设直线与平面所成角为，， 由，故直线与平面所成角的大小为． 18. 已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，． （1）求双曲线C的标准方程； （2）设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】（1） （2） 设，则， 为双曲线C上的两点， 两式相减得，整理得， 则， 故为定值，定值为4． 【解析】 【分析】（1）设双曲线C的半焦距为，利用双曲线的定义结合勾股定理计算即可； （2）设的坐标，利用中点坐标公式表示Q，再利用点差法计算即可. 【小问1详解】 不妨设双曲线C的半焦距为， ， ， 解得， 则， 故双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 略 19. 如图，一质点在大小随机的外力作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为p，移动2个单位的概率均为． （1）记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点； （2）若，记质点从原点0运动到n的位置的概率为． （i）求； （ii）证明：是等比数列，并求． 【答案】（1）， （2）（i），；（ii）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意可知质点5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位，根据二项分布的概率计算公式计算即可得到概率，再利用导数研究单调性，进而得到最值点及最值； （2）（i）根据及求出；（ii）由题意，通过变形，构造出数列，进而求出数列的通项，再由累加法求出数列即可. 【小问1详解】 由已知可得，5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位， ， ， 令得，令得， 在上单调递增，在上单调递减， ，此时． 【小问2详解】 （i）， 则． （ii）证明：由题意，， ， 是首项为，公比为的等比数列， 故， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $