专题4.2 一元二次方程中求值问题八大类型（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版）

专题4.2 一元二次方程中求值问题八大类型 【苏科版】 【类型1 根据一元二次方程的定义求值】 1 【类型2 已知一元二次方程的解直接代入求值】 1 【类型3 已知一元二次方程的解，整体思想求值（直接代入）】 2 【类型4 已知一元二次方程的解，整体思想求值（变系数）】 2 【类型5 已知一元二次方程的解，整体思想求值（降次）】 2 【类型6 由根与系数关系求代数式的值】 3 【类型7 一元二次方程的解与根与系数关系综合求值】 4 【类型8 由根与系数关系构造方程求值】 4 【类型1 根据一元二次方程的定义求值】 1．（2023秋•辉县市校级月考）当m 　 　时，方程（m2﹣m﹣2）x2﹣mx+3＝0为关于x的一元二次方程． 2．（2023秋•信阳期末）方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　 ． 3．（2024春•启东市校级月考）若方程（m+1）x|m﹣1|+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　． 4．（2023秋•河池期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值． 5．（2023秋•船营区校级月考）关于x的方程． （1）m取何值时，它是一元二次方程？ （2）m取何值时，它是一元一次方程？ 【类型2 已知一元二次方程的解直接代入求值】 1．（2024春•历下区期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则a+b+c的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．不能确定 2．（2024春•海阳市期末）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．±1 3．（2023秋•成武县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是 　 　． 4．（2024•任城区一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为 　 　． 【类型3 已知一元二次方程的解，整体思想求值（直接代入）】 1．（2024•九龙坡区二模）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则a2﹣2a+2024的值为 　 　． 2．（2024•宿迁三模）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2023＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m+n+1的值是 　 ． 3．（2024春•太湖县期末）若m是关于x的方程x2﹣2024x﹣1＝0的根，则（m2﹣2024m﹣4）（m2﹣2024m+4）的值为（　　） A．﹣15 B．15 C．﹣16 D．16 4．（2024春•泰兴市期末）若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．0 【类型4 已知一元二次方程的解，整体思想求值（变系数）】 1．（2024春•滨江区校级期末）若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣3a2+9a﹣5的值为 　 　． 2．（2024春•柯城区校级期中）若m是方程4x2﹣2x﹣7＝0的一个根，则代数式m﹣2m2+3的值是 　　． 3．（2024春•大观区校级期末）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 4．（2023秋•北京期末）若x＝2是关于x的方程ax2+bx﹣4＝0的解，则多项式2024﹣4a﹣2b的值是（　　） A．1010 B．1014 C．2020 D．2028 5．（2023秋•光山县期中）已知m是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的一个根，则的值是（　　） A．﹣1 B．4 C．1 D．﹣5 【类型5 已知一元二次方程的解，整体思想求值（降次）】 1．（2023秋•思明区校级月考）已知m为方程x2+3x﹣2023＝0的根，那么m3+2m2﹣2026m+2023的值为（　　） A．﹣2023 B．0 C．2023 D．4046 2．（2024春•淄川区期末）已知k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根，则代数式的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 3．（2024•顺庆区二模）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根，则m2（m﹣3）+2m1的值为（　　） A．2 B． C． D． 4．（2024•泉港区三模）若a是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根，则代数式a3+2a2﹣5a的值为 　 　． 5．（2024•通州区二模）若m是方程x2+x﹣4＝0的一个实数根，则代数式m3﹣5m+2024的值为 　 　． 6．（2024•南岸区自主招生）已知m为方程x2+x﹣3＝0的一个根，则代数式m3+2m2﹣2m+6的值为 　 　． 7．（2023秋•漳州期末）已知a是方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，则的值是 　 　． 8．（2023秋•邻水县期末）已知a是方程x2﹣2024x+1＝0一个根，则a2﹣2023a的值为 　 　． 【类型6 由根与系数关系求代数式的值】 1．（2024•临淄区二模）若m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的两个根，则m2n+mn2的值是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6 2．（2024春•沙坪坝区校级期末）已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•牟平区期末）已知m，n是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则（m2﹣1）（n2﹣1）的值是（　　） A．0 B．﹣6 C．﹣7 D．6 4．（2024春•海曙区期末）已知x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•霍邱县月考）若一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0的两个实数根分别为α，β，则的值为（　　） A． B．2024 C． D．±2024 6．（2024春•鼓楼区校级期末）若m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2022x+2023＝0的两根，则代数式（m2﹣2021m+2022）（n2﹣2021n+2022）的值是 　 　． 【类型7 一元二次方程的解与根与系数关系综合求值】 1．（2024•大冶市模拟）若m，n是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则m2+3m+n的值为（　　） A．2023 B．﹣2022 C．2024 D．2022 2．（2023秋•曲阳县期末）已知α、β是方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则α2﹣4α﹣2β﹣2的值是（　　） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 3．（2024春•庐阳区校级期中）已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是（　　） A．2023 B．2025 C．2026 D．2027 4．（2024春•杭州月考）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣11＝0的两个实数根，则代数式的值是 　 　． 5．（2024春•鹿城区校级期中）已知一元二次方程8x2﹣2x﹣15＝0的解为x1，x2，则的值为 　 ． 6．（2024春•昆明校级期末）已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣3m+n+2024的值是 　 　． 7．（2024•成都模拟）若a，b是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则的值为 　 　． 【类型8 由根与系数关系构造方程求值】 1．（2024春•宁阳县期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝13，则m的值为（　　） A．2 B．4 C．2或﹣4 D．﹣2或4 2．（2024•金乡县三模）已知关于x的方程3x2﹣5x+k＝0的两根分别为x1和x2，若6x1+x2＝0，则k的值为（　　） A．﹣2 B． C． D． 3．（2024春•芝罘区期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣3＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）15，求k的值． 4．（2024春•沂源县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0 （1）若该方程有两个实数根，求m的取值范围． （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2﹣10m＝2，求m的值． 5．（2024春•双流区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 6．（2024春•海阳市期末）关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根分别为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若（x1﹣x2）2＝|x1|+|x2|，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 一元二次方程中求值问题八大类型 【苏科版】 【类型1 根据一元二次方程的定义求值】 1 【类型2 已知一元二次方程的解直接代入求值】 2 【类型3 已知一元二次方程的解，整体思想求值（直接代入）】 3 【类型4 已知一元二次方程的解，整体思想求值（变系数）】 5 【类型5 已知一元二次方程的解，整体思想求值（降次）】 6 【类型6 由根与系数关系求代数式的值】 10 【类型7 一元二次方程的解与根与系数关系综合求值】 12 【类型8 由根与系数关系构造方程求值】 15 【类型1 根据一元二次方程的定义求值】 1．（2023秋•辉县市校级月考）当m 　 　时，方程（m2﹣m﹣2）x2﹣mx+3＝0为关于x的一元二次方程． 【分析】根据一元二次方程的定义可得：m2﹣m﹣2≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：m2﹣m﹣2≠0， （m﹣2）（m+1）≠0， 解得m≠﹣1且m≠2． 故答案为：≠﹣1且m≠2． 2．（2023秋•信阳期末）方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义（一个未知数且未知数的最高次数是2的方程）解决此题． 【解答】解：由题意得，a﹣2≠0且a2﹣2＝2． ∴a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 3．（2024春•启东市校级月考）若方程（m+1）x|m﹣1|+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　． 【分析】根据一元二次方程的定义及绝对值的性质进行列式、求解． 【解答】解：由题意得|m﹣1|＝2， ∴m﹣1＝±2， 解得m＝3或m＝﹣1， ∵m+1≠0，即m≠﹣1， ∴m＝3， 故答案为：3． 4．（2023秋•河池期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值． 【分析】常数项为0，即m2﹣3m+2＝0，再根据方程是一元二次方程，须满足m﹣1≠0，问题可求． 【解答】解：由题意，得：m2﹣3m+2＝0①，m﹣1≠0②， 解①得：m＝2或1；解②得：m≠1，∴m＝2． 5．（2023秋•船营区校级月考）关于x的方程． （1）m取何值时，它是一元二次方程？ （2）m取何值时，它是一元一次方程？ 【分析】（1）根据方程中含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程是一元二次方程，可得答案； （2）根据方程中含有一个未知数，且未知数的最高次是一次的方程是一元一次方程，可得答案． 【解答】解：（1）是一元二次方程， m+1≠0，m2+1＝2， m＝1， 当m＝1时，方程是一元二次方程； （2）是一元一次方程， ①m+1≠0，m2+1＝1， m＝0； ②m+1＝0，解得m＝﹣1； ③m2+1＝0且m﹣3≠0， 方程无解． 故当m＝0或m＝﹣1时，方程是一元一次方程． 【类型2 已知一元二次方程的解直接代入求值】 1．（2024春•历下区期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则a+b+c的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．不能确定 【分析】把x＝1代入方程计算求出a+b+c的值． 【解答】解：把x＝1代入方程得：a+b+c＝0， 故选：A． 2．（2024春•海阳市期末）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．±1 【分析】先把x＝0代入一元二次方程得到|a|﹣1＝0，解方程得到a＝1或a＝﹣1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值． 【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0得|a|﹣1＝0， 解得a＝1或a＝﹣1， ∵a﹣1≠0， ∴a＝﹣1． 故选：C． 3．（2023秋•成武县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是 　 　． 【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得关于m的方程，然后解关于m的方程后利用一元二次方程的定义确定m的值． 【解答】解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m1＝1，m2＝﹣1， 而m﹣1≠0， 所以m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 4．（2024•任城区一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为 　 　． 【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程求得a的值即可． 【解答】解：把x＝1代入（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0，得 a﹣1+a2﹣a＝0， 解得：a1＝1，a2＝﹣1， ∵a﹣1≠0， ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【类型3 已知一元二次方程的解，整体思想求值（直接代入）】 1．（2024•九龙坡区二模）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则a2﹣2a+2024的值为 　 　． 【分析】根据a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，可以得到a2﹣2a＝1，然后代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根， ∴a2﹣2a﹣1＝0， ∴a2﹣2a＝1， ∴a2﹣2a+2024＝1+2024＝2025， 故答案为：2025． 2．（2024•宿迁三模）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2023＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m+n+1的值是 　 ． 【分析】先把x＝1代入一元二次方程得到m+n＝2023，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：把x＝1代入一元二次方程mx2+nx﹣2023＝0得m+n﹣2023＝0， 所以m+n＝2023， 所以m+n+1＝2023+1＝2024． 故答案为：2024． 3．（2024春•太湖县期末）若m是关于x的方程x2﹣2024x﹣1＝0的根，则（m2﹣2024m﹣4）（m2﹣2024m+4）的值为（　　） A．﹣15 B．15 C．﹣16 D．16 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2024m﹣1＝0，变形得出m2﹣2024m＝1，然后整体代入的方法计算即可． 【解答】解：根据题意可得：m2﹣2024m﹣1＝0， ∴m2﹣2024m＝1， ∴（m2﹣2024m﹣4）（m2﹣2024m+4） ＝（1﹣4）（1+4） ＝﹣3×5 ＝﹣15． 故选：A． 4．（2024春•泰兴市期末）若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．0 【分析】根据一元二次方程的解的定义求得m2﹣3m＝2；然后把m2﹣3m＝2代入化简后的进行计算即可． 【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根， ∴m2﹣3m﹣2＝0． ∴m2﹣3m＝2． ∴m（m﹣3）＝2． ∴ •（m﹣3）• ＝1． 故选：B． 【类型4 已知一元二次方程的解，整体思想求值（变系数）】 1．（2024春•滨江区校级期末）若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣3a2+9a﹣5的值为 　 　． 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2﹣3a＝6，则﹣3a2+9a﹣5＝﹣3（a2﹣3a）﹣5，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根， ∴a2﹣3a﹣6＝0， ∴a2﹣3a＝6， ∴﹣3a2+9a﹣5＝﹣3（a2﹣3a）﹣5＝﹣3×6﹣5＝﹣23． 故答案为：﹣23． 2．（2024春•柯城区校级期中）若m是方程4x2﹣2x﹣7＝0的一个根，则代数式m﹣2m2+3的值是 　　． 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到4m2﹣2m﹣7＝0，则2m2﹣m，再把m﹣2m2+3变形为﹣（2m2﹣m）+3，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m是方程4x2﹣2x﹣7＝0的一个根， ∴4m2﹣2m﹣7＝0， ∴2m2﹣m， ∴m﹣2m2+3＝﹣（2m2﹣m）+33． 故答案为：． 3．（2024春•大观区校级期末）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 【分析】把x＝a代入3x2﹣x﹣1＝0，得3a2﹣a＝1，然后把所求式子化为2024﹣2（3a2﹣a）代入计算即可作答． 【解答】解：∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根， ∴3a2﹣a＝1， ∴2022﹣6a2+2a＝2024﹣2（3a2﹣a）＝2024﹣2×1＝2022， 故选：D． 4．（2023秋•北京期末）若x＝2是关于x的方程ax2+bx﹣4＝0的解，则多项式2024﹣4a﹣2b的值是（　　） A．1010 B．1014 C．2020 D．2028 【分析】先把x＝2代入一元二次方程可得4a+2b＝4，再把2024﹣4a﹣2b变形为2024﹣（4a+2b），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：把x＝2代入方程ax2+bx﹣4＝0得4a+2b﹣4＝0， ∴4a+2b＝4， ∴2024﹣4a﹣2b＝2024﹣（4a+2b）＝2024﹣4＝2020． 故选：C． 5．（2023秋•光山县期中）已知m是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的一个根，则的值是（　　） A．﹣1 B．4 C．1 D．﹣5 【分析】把x＝m代入一元二次方程得到x2+3x﹣6＝0，然后利用代数式变形可得到代数式m2﹣m的值，最后整体代入即可． 【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的一个根， ∴m2+3m﹣6＝0， ∴m2+3m＝6， ∴原式（m2+3m）+36+3＝1． 故选：C． 【类型5 已知一元二次方程的解，整体思想求值（降次）】 1．（2023秋•思明区校级月考）已知m为方程x2+3x﹣2023＝0的根，那么m3+2m2﹣2026m+2023的值为（　　） A．﹣2023 B．0 C．2023 D．4046 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2＝﹣3m+2023，再用m表示m3得到m2（m+2）﹣2026m﹣2023，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2023＝0的一个根， ∴m2+3m﹣2023＝0， ∴m2＝﹣3m+2023，m2+3m＝2023， ∴m3＝﹣3m2+2023m， m3+2m2﹣2026m+2023 ＝﹣m2﹣3m+2023 ＝﹣（m2+3m）+2023 ＝﹣2023+2023 ＝0， 故选：B． 2．（2024春•淄川区期末）已知k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根，则代数式的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【分析】由k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根可得k2+3k与的值，然后整体代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根， ∴k2+3k﹣2＝0，显然k≠0，两边同时除以k，得：， ∴k2+3k＝2，， ∴， 故选：B． 3．（2024•顺庆区二模）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根，则m2（m﹣3）+2m1的值为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】先根据一元二次解的定义得到m2＝2m+1，然后利用降次的方法化简计算即可． 【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根， ∴m2﹣2m﹣1＝0， 即m2＝2m+1， ∴m2（m﹣3）+2m1 ＝（2m+1）（m﹣3）+2m1 ＝2m2﹣5m4 ＝2（2m+1）﹣3m2 ＝m ＝2． 故选：A． 4．（2024•泉港区三模）若a是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根，则代数式a3+2a2﹣5a的值为 　 　． 【分析】先根据一元二次方程的定义得到a2＝a+2，再用a表示a3得到a3＝3a+2，然后利用降次的方法计算． 【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根， ∴a2﹣a﹣2＝0， ∴a2＝a+2， ∴a3＝a（a+2）＝a2+2a＝a+2+2a＝3a+2， ∴a3+2a2﹣5a＝3a+2+2（a+2）﹣5a＝3a+2+2a+4﹣5a＝6． 故答案为：6． 5．（2024•通州区二模）若m是方程x2+x﹣4＝0的一个实数根，则代数式m3﹣5m+2024的值为 　 　． 【分析】把x＝m代入方程x2+x﹣4＝0，得出关于m的一元二次方程，再整体代入． 【解答】解：当x＝m时，方程x2+x﹣4＝0为m2+m﹣4＝0， 即m2+m＝4，m2＝4﹣m， 所以，m3﹣5m+2024 ＝m（4﹣m）﹣5m+2024 ＝4m﹣m2﹣5m+2024 ＝﹣（m2+m）+2024 ＝﹣4+2024 ＝2020， 故答案为：2020． 6．（2024•南岸区自主招生）已知m为方程x2+x﹣3＝0的一个根，则代数式m3+2m2﹣2m+6的值为 　 　． 【分析】先根据方程解的定义，化简关于m的方程，然后整体代入求值． 【解答】解：∵m为方程x2+x﹣3＝0的一个根， ∴m2+m﹣3＝0． ∴m2+m＝3． ∴m3+2m2﹣2m+6 ＝m3+m2+m2+m﹣3m+6 ＝m（m2+m）+（m2+m）﹣3m+6 ＝3m+3﹣3m+6 ＝9． 故答案为：9． 7．（2023秋•漳州期末）已知a是方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，则的值是 　 　． 【分析】将原方程的根a代入可得a2﹣2023a＝﹣1，a，再将所求代数式转化为a（a2﹣2023a）+a＝﹣a+a即可得到结果． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2023x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2023a+1＝0， ∴a2﹣2023a＝﹣1，a， ∴a（a2﹣2023a）+a＝﹣a+a＝0． 故答案为：0． 8．（2023秋•邻水县期末）已知a是方程x2﹣2024x+1＝0一个根，则a2﹣2023a的值为 　 　． 【分析】根据题意可得：把x＝a代入方程x2﹣2024x+1＝0中得：a2﹣2024a+1＝0，从而可得a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，a﹣20240，进而可得a2024，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：把x＝a代入方程x2﹣2024x+1＝0中得：a2﹣2024a+1＝0， ∴a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，a﹣20240， ∴a2024， ∴a2﹣2023a2024a﹣1﹣2023aa﹣12024﹣1＝2023， 故答案为：2023． 【类型6 由根与系数关系求代数式的值】 1．（2024•临淄区二模）若m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的两个根，则m2n+mn2的值是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6 【分析】根据根与系数的关系，可得出mn＝﹣1，m+n＝6，再代入即可． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的两个根， ∴mn＝﹣1，m+n＝6 ∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×6＝﹣6． 故选：C． 2．（2024春•沙坪坝区校级期末）已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】判断出m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，可得m+n，mn，利用整体代入的思想解决问题即可． 【解答】解：∵实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0， ∴m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根， ∴m+n，mn， ∴． 故选：B． 3．（2024春•牟平区期末）已知m，n是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则（m2﹣1）（n2﹣1）的值是（　　） A．0 B．﹣6 C．﹣7 D．6 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：∵m，n是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根， ∴m+n＝3，mn＝﹣4， ∴（m2﹣1）（n2﹣1） ＝m2n2﹣m2﹣n2+1 ＝（mn）2﹣（m+n）2+2mn+1 ＝（﹣4）2﹣32+2×（﹣4）+1 ＝16﹣9+2×（﹣4）+1 ＝16﹣9+（﹣8）+1 ＝0． 故选：A． 4．（2024春•海曙区期末）已知x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2和x1x2，再利用整体思想即可解决问题． 【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根， ∴，， ∴． 故选：B． 5．（2024春•霍邱县月考）若一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0的两个实数根分别为α，β，则的值为（　　） A． B．2024 C． D．±2024 【分析】判断出α+β＝2024，αβ＝1，再利用整体代入的思想解决问题． 【解答】解：∵一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0的两个实数根分别为α，β， ∴α+β＝2024，αβ＝1， ∴． 故选：A． 6．（2024春•鼓楼区校级期末）若m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2022x+2023＝0的两根，则代数式（m2﹣2021m+2022）（n2﹣2021n+2022）的值是 　 　． 【分析】根据一元二次方程的解得出m2﹣2022m+2023＝0，n2﹣2022n+2023＝0，继而得到m2﹣2021m+2022＝m﹣1，n2﹣2021n+2022＝n﹣1，再根据根与系数的关系得到m+n＝2022，mn＝2023，再代入化简即可得解． 【解答】解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2022x+2023＝0的两根， ∴m2﹣2022m+2023＝0，n2﹣2022n+2023＝0，m+n＝2022，mn＝2023， ∴m2﹣2021m+2022＝m﹣1，n2﹣2021n+2022＝n﹣1， ∴（m2﹣2021m+2022）（n2﹣2021n+2022）＝（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1＝2023﹣2022+1＝2， 故答案是：2． 【类型7 一元二次方程的解与根与系数关系综合求值】 1．（2024•大冶市模拟）若m，n是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则m2+3m+n的值为（　　） A．2023 B．﹣2022 C．2024 D．2022 【分析】利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出m2+2m﹣2024＝0，m+n＝﹣2，将其代入原式中即可求出结论． 【解答】解：∵m，n是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根， ∴m2+2m﹣2024＝0，m+n＝﹣2， ∴m2+2m＝2024， ∴m2+3m+n ＝m2+2m+m+n ＝2024﹣2 ＝2022． 故选：D． 2．（2023秋•曲阳县期末）已知α、β是方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则α2﹣4α﹣2β﹣2的值是（　　） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 【分析】利用一元二次方程的解，可得出α2﹣2α＝2022，利用根与系数的关系，可得出α+β＝2，再将其代入α2﹣4α﹣2β﹣2＝（α2﹣2α）﹣2（α+β）﹣2中，即可求出结论． 【解答】解：∵α是方程x2﹣2x﹣2022＝0的实数根， ∴α2﹣2α﹣2022＝0， ∴α2﹣2α＝2022． ∵α、β是方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根， ∴α+β＝2， ∴α2﹣4α﹣2β﹣2＝（α2﹣2α）﹣2（α+β）﹣2＝2022﹣2×2﹣2＝2016． 故选：A． 3．（2024春•庐阳区校级期中）已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是（　　） A．2023 B．2025 C．2026 D．2027 【分析】利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4，将其代入原式中即可求出结论． 【解答】解：∵m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根， ∴m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4， ∴m2+4m＝3， ∴m2+5m+n+2024 ＝m2+4m+m+n+2024 ＝3﹣4+2024 ＝2023． 故选：A． 4．（2024春•杭州月考）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣11＝0的两个实数根，则代数式的值是 　 　． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及整体思想即可解决问题． 【解答】解：因为x1，x2是方程x2﹣x﹣11＝0的两个实数根， 所以， 则， 所以 ＝12﹣2×（﹣11） ＝1+22 ＝23． 故答案为：23． 5．（2024春•鹿城区校级期中）已知一元二次方程8x2﹣2x﹣15＝0的解为x1，x2，则的值为 　 ． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出两个之和，再将x＝x1代入原方程，利用整体思想即可解决问题． 【解答】解：因为一元二次方程8x2﹣2x﹣15＝0的解为x1，x2， 所以，， 所以15． 故答案为：． 6．（2024春•昆明校级期末）已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣3m+n+2024的值是 　 　． 【分析】利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出m2+m﹣3＝0，m+n＝﹣1，将其代入原式中即可求出结论． 【解答】解：∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根， ∴m2+m﹣3＝0，m+n＝﹣1， ∴m2＝﹣m+3， ∴﹣m2＝m﹣3． ∴m3＝m2•m＝﹣m2+3m＝m﹣3+3m＝4m﹣3， ∴m3﹣3m+n+2024 ＝4m﹣3﹣3m+n+2024 ＝m+n+2021 ＝﹣1+2021 ＝2020． 故答案为：2020． 7．（2024•成都模拟）若a，b是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则的值为 　 　． 【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出a2+a﹣2020＝0，a+b＝﹣1，求出a2+a＝2020，再代入求出即可． 【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根， ∴a+b＝3，a2﹣3a﹣2＝0． ∴a2＝3a+2． 则a+b＝3． 故答案为：3． 【类型8 由根与系数关系构造方程求值】 1．（2024春•宁阳县期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝13，则m的值为（　　） A．2 B．4 C．2或﹣4 D．﹣2或4 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1•x2的值，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2（m+1），x1•x2＝m2+2， ∵（x1+1）（x2+1）＝13， ∴x1•x2+x1+x2+1＝13，即x1•x2+（x1+x2）﹣12＝0， ∴m2+2+2（m+1）﹣12＝0， ∴（m﹣2）（m+4）＝0， 解得m1＝2，m2＝﹣4． 检验：当m＝2时，原方程可化为x2﹣6x+6＝0， ∵Δ＝36﹣4×1×6＝36﹣24＝12＞0， ∴方程有实数根，符合题意； 当m＝﹣4时，原方程可化为x2+6x+18＝0， ∵Δ＝62﹣4×1×18＝36﹣72＝﹣36＜0， ∴方程无实数根，不符合题意． 故选：A． 2．（2024•金乡县三模）已知关于x的方程3x2﹣5x+k＝0的两根分别为x1和x2，若6x1+x2＝0，则k的值为（　　） A．﹣2 B． C． D． 【分析】利用根与系数的关系求出两根之和，再由6x1+x2＝0可求出x1，进而得出x2，最后用k表示出两根之积即可解决问题． 【解答】解：因为关于x的方程3x2﹣5x+k＝0的两根分别为x1和x2， 所以，； 又因为6x1+x2＝0， 所以， 解得， 所以， 所以， 解得k＝﹣2． 故选：A． 3．（2024春•芝罘区期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣3＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）15，求k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根得到22﹣4（k﹣3）≥0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣3，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【解答】解：（1）解：∵一元二次方程x2+2x+k﹣3＝0有实数根． ∴Δ≥0，即22﹣4（k﹣3）≥0， 解得k≤4； （2）∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣3， ∵， ∴， ∴k﹣3+2+1+（k﹣3）2＝15， 解得k＝6或k＝﹣1， ∵k≤4， ∴k＝﹣1 4．（2024春•沂源县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0 （1）若该方程有两个实数根，求m的取值范围． （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2﹣10m＝2，求m的值． 【分析】（1）根据判别式即可求出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）≥0， ∴﹣4m+5≥0， ∴m； （2）由题意可知：x1+x2＝1﹣2m，x1x2＝m2﹣1， ∵（x1﹣x2）2﹣10m＝2， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2﹣10m＝2， ∴（1﹣2m）2﹣4（m2﹣1）﹣10m＝2， 解得：m； 5．（2024春•双流区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【分析】（1）由关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根，得到判别式非负，解不等式即可得到答案； （2）根据根与系数关系得到x1+x2＝2，x1x2＝k﹣1，代入，解方程得k＝2或5，再由（1）中k≤2即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得a＝1，b＝﹣2，c＝k﹣1， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＝8﹣4k≥0， 解得k≤2； （2）由根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝k﹣1，x2x1+k﹣1＝0， ∴x2x1﹣k+1， ∵， ∴， ∴， 解得k＝2或5， 由（1）知k≤2，则k＝2． 6．（2024春•海阳市期末）关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根分别为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若（x1﹣x2）2＝|x1|+|x2|，求m的值． 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+3）≥0，然后解不等式即可； （2）先利用根与系数的关系得x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+3，再利用m＞1得到x1+x2＞0，x1x2＞0，从而得到x1＞0，x2＞0，则去绝对值和利用完全平方公式变形得到（x1+x2）2﹣4x1x2＝x1+x2，所以4（m+1）2﹣4（m2+3）＝2（m+1），然后解关于m的方程得到满足条件的m的值． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+3）≥0， 解得m≥1， 即m的取值范围为m≥1； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+3， ∵m≥1， ∴x1+x2＝2（m+1）＞0，x1x2＝m2+3＞0， ∴x1＞0，x2＞0， ∵（x1﹣x2）2＝|x1|+|x2|， ∴（x1﹣x2）2＝x1+x2， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝x1+x2， 即4（m+1）2﹣4（m2+3）＝2（m+1）， 解得m， ∵m≥1， ∴m的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$