第07讲 估算（2个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第07讲 估算（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点2．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 题型强化 题型一．实数大小比较 1．（2024春•寻乌县期末）比较大小： 　　4．（填“”、“ ”或“”号） 2．（2023秋•湖南期末）已知，，，那么，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•顺义区期末）如表是与的几组对应值： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 1 100 （1）表格中　　，　　； （2）借助表格解决下列问题： ①若，则　　； ②若，，则　　（用含有的代数式表示； ③当时，直接写出与的大小关系． 题型二．估算无理数的大小 4．（2024春•浦东新区期中）已知，则以下对的估算正确的　　 A． B． C． D． 5．（2024•美兰区校级一模）、是连续的两个整数，若，则的值为 　　． 6．（2024春•光山县期末）已知的平方根为，的立方根为2， （1）求的算术平方根； （2）若是的整数部分，求的平方根． 分层练习 一、单选题 1．估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．估算的运算结果应在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 3．下列选项中的整数，与最接近的是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 5．下列关于的描述错误的是（    ） A．面积为15的正方形的边长 B．15的算术平方根 C．在整数3和4之间 D．方程中未知数x的值 6．已知与为两个连续的自然数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 7．定义：不大于实数的最大整数部分，记作．例如：，，按此规定，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．估计的值（   ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 9．已知，则的整数部分是（    ） A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 10．若是的算术平方根，是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．[新视角结论开放题]写出一个小于的正无理数： ． 12．的值在 和 中间． 13．若的整数部分是a，小数部分是b，则的值为 ． 14．直角三角形两条直角边的长分别是和，则斜边是有理数吗？ （是或不是），那么它的整数部分是 15．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，那么n的值是 ． 16．已知，则与的最接近的两个整数的和为 ． 17．已知小数部分为m，小数部分为n，则 ． 18．把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 三、解答题 19．试写出两个在 和 之间的无理数． 20．已知直角三角形的两直角边长分别是和，斜边长是．试估计x在哪两个连续整数之间． 21．设边长为4的正方形的对角线长为x． (1)x是有理数吗？说说你的理由； (2)请你估计一下x在哪两个相邻整数之间． 22．水是生命的源泉，我们应该珍惜每一滴水．据不完全统计，某市至少有个水龙头和个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头一个月漏水，一个漏水的抽水马桶一个月漏水，那么一个月该市造成的水流失量至少为多少立方米？若挖一个底面半径等于高的圆柱形水池来存放这些漏掉的水，则这个水池至少挖多深？(结果精确到取) 23．观察例题：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： （1）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 24．阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)___________，_________；________，__________． (2)如果，，求的立方根． 25．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小燕用来表示的小数部分．理由是：对于正无理数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为的整数部分为1，所以的小数部分为． 参考小燕同学的做法，解答下列问题： (1)写出的小数部分为 ； (2)已知与的小数部分分别为和，求的值； (3)如果，其中是整数，，那么 ； (4)设无理数为正整数）的整数部分为，那么的小数部分为 （用含，的式子表示）． 26．在没有带开方功能的计算器的情况下，我们可以用下面的方法得到（为正整数）的近似值（为正整数），并通过迭代逐渐减小的值来提高的精确度，以求的近似值为例，迭代过程如下： ① 先估计的范围并确定迭代的初始值． ， ，取． ② 通过计算和得到精确度更高的近似值． 请根据以上信息，完成下面的问题（此题中记，以下结果都要求写成小数形式）： (1)当时，____，________，______； (2)当时，求（精确到 0.001）、的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 估算（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点2．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 题型强化 题型一．实数大小比较 1．（2024春•寻乌县期末）比较大小： 　　4．（填“”、“ ”或“”号） 【分析】先把化为的形式，再比较出与的大小即可． 【解答】解：，，， ，即． 故答案为：． 【点评】本题考查的是实数的大小比较，先根据题意把化为的形式是解答此题的关键． 2．（2023秋•湖南期末）已知，，，那么，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】利用平方差公式，进行分子有理化，将分子全部化为1，三个同分子的正分数比较大小，分母大的反而小． 【解答】解： ， ， ， ， ， 即， 故选：． 【点评】这道题主要考查平方差公式，利用分子有理化比较二次根式的大小，需要注意三个同分子的正分数比较大小，分母大的反而小． 3．（2023秋•顺义区期末）如表是与的几组对应值： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 1 100 （1）表格中　0.1　，　　； （2）借助表格解决下列问题： ①若，则　　； ②若，，则　　（用含有的代数式表示； ③当时，直接写出与的大小关系． 【分析】（1）根据立方根的定义解答即可； （2）①根据表格中立方根的规律解答即可； ②根据表格中立方根的规律解答即可； ③分情况讨论：当时；当时；当时；分别比较即可． 【解答】解：（1），， 故答案为：0.1，10； （2）①若，则； 故答案为：25.2； ②若，，则； 故答案为：； ③， 当时，； 当时，； 当时，． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握被开方数和立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 题型二．估算无理数的大小 4．（2024春•浦东新区期中）已知，则以下对的估算正确的　　 A． B． C． D． 【分析】先化简的值可得，然后再估算出的值的范围，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ． ， 故选：． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，正确得出的值的范围是解题关键． 5．（2024•美兰区校级一模）、是连续的两个整数，若，则的值为 　5　． 【分析】先确定的范围，再确定、的值，最后求出． 【解答】解：， ． ，． ． 故答案为：5． 【点评】本题考查了实数的比较，掌握实数比较大小的方法是解决本题的关键． 6．（2024春•光山县期末）已知的平方根为，的立方根为2， （1）求的算术平方根； （2）若是的整数部分，求的平方根． 【分析】（1）根据平方根的定义可求出、的值，代入计算的值，再求其算术平方根即可； （2）估算无理数的大小，确定的值，进而求出的值，再求其平方根即可． 【解答】解：（1）的平方根为，的立方根为2， ，， 解得，， ， 的算术平方根为， 的算术平方根是6； （2）， 的整数部分为3， 即， 由（1）得，， ， 而25的平方根为， 的平方根． 【点评】本题考查算术平方根、平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 分层练习 一、单选题 1．估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】根据进行判断即可． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题考查了一个数的算术平方根的估值，解题关键是掌握估值方法，即确定它的整数部分． 2．估算的运算结果应在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，先得，则，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：B 3．下列选项中的整数，与最接近的是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的估算．估算出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴与最接近的是3． 故选：A 4．估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】此题考查了无理数的估算能力，运用算术平方根知识进行变形、估算，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解． 【详解】解：∵， ， ， 的值在3和4之间， 故选：A． 5．下列关于的描述错误的是（    ） A．面积为15的正方形的边长 B．15的算术平方根 C．在整数3和4之间 D．方程中未知数x的值 【答案】D 【分析】根据每个选项所述分别计算出结果，并判断对错即可． 【详解】解：A、面积为15的正方形的边长为，故正确，不符合题意； B、15的算术平方根为，故正确，不符合题意； C、，故在整数3和4之间，故正确，不符合题意； D、，则，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平方根，算术平方根的计算，算术平方根的取值范围，能够数量掌握算术平方根的运算是解决本题的关键． 6．已知与为两个连续的自然数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算和代数式求值问题．根据无理数的估算，即可求得，，据此即可解答． 【详解】解：，，而， ， 又，是两个连续整数，且满足， ，， ， 故选：C． 7．定义：不大于实数的最大整数部分，记作．例如：，，按此规定，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，负整数指数幂的计算，先根据新定义以及无理数的估算得出a，b的值，然后再计算负整数指数幂的计算． 【详解】解：， ∴ ， ， ∴ ， ， 故选B． 8．估计的值（   ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 【答案】B 【分析】利用完全平方数进行估算，即可解答． 【详解】解：， ， 估计的值在和之间， 故选：B． 【点睛】本题考查了估算无理数大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键． 9．已知，则的整数部分是（    ） A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 【答案】B 【分析】本题考查对无理数整数部分的估算，利用先平方再开方的方法对式子进行变形，即可判断的整数部分． 【详解】解：由题知，， 又， 则的整数部分是， 故选：B． 10．若是的算术平方根，是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的概念和无理数的估算，根据算术平方根的概念和无理数的估算求出，即可，熟练掌握算术平方根的概念和无理数的估算是解题的关键． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 11．[新视角结论开放题]写出一个小于的正无理数： ． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】此题主要考查了无理数及其大小估算，解答此题的关键是要明确：无限不循环小数叫做无理数．由于无理数是无限不循环小数，根据此定义即可找出一个比小的无理数． 【详解】解：一个小于的正无理数是（答案不唯一）， 故答案为： （答案不唯一）． 12．的值在 和 中间． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 由无理数的估算可知，进而问题可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴的值在1和2之间． 故答案为：1，2． 13．若的整数部分是a，小数部分是b，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了无理数的估算，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键． 首先对估算出大小，从而求出其整数部分，再进一步表示出其小数部分，最后代入中计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵的整数部分是a，小数部分是b， ∴， ∴． 故答案为：． 14．直角三角形两条直角边的长分别是和，则斜边是有理数吗？ （是或不是），那么它的整数部分是 【答案】 不是 【分析】本题考查了勾股定理的应用与有理数的定义．解题的关键是会运用勾股定理求斜边长．此题根据勾股定理，直角三角形的斜边长是两直角边长平方和的算术平方根，由题意即可列式求出斜边长； 接下来根据无理数的定义进行判断，问题即可解答． 【详解】①解：斜边不是有理数，理由如下： ∵直角三角形两条直角边的长分别是和， ∴斜边长为： ∵不是有理数， ∴斜边不是有理数； 故答案为：不是； ②解：∵， ∴斜边的整数部分是：． 故答案为：． 15．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，那么n的值是 ． 【答案】3 【分析】先计算三角形的面积为，再估算的范围可得：，从而可得答案． 【详解】解：三角形的三边长分别为2，3，3，则， ∴其面积 ， ∵， ∴n的值为3． 故答案为3． 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 16．已知，则与的最接近的两个整数的和为 ． 【答案】7 【分析】本题考查无理数的估算，根据与10最接近，与6最接近，且，得到与a的最接近的两个整数是3和4，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， 与的最接近的两个整数是3和4， ∴． 故答案为：． 17．已知小数部分为m，小数部分为n，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了无理数的估算，找出整数部分为2，则小数部分为，的整数部分为2，则小数部分为． 【详解】， ， 整数部分为2，则小数部分为，的整数部分为2，则小数部分为． ，， ， 故答案为：1． 18．把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小即可得出答案，估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：∵，∴不符合题意， ∵，∴符合题意， ∵，∴不符合题意， ∵，∴不符合题意， 故答案为：． 三、解答题 19．试写出两个在 和 之间的无理数． 【答案】，，（它的位数无限且相邻两个“”之间是依次增大的自然数），等 【分析】实数的大小比较是本题的考点，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键，比较实数大小的方法：法则法、平方法、数形结合法、估算法、倒数法、作商法、作差法、放缩法． 根据用平方法比较实数大小的依据，写出符合题意的无理数即可． 【详解】解：∵，， ∴只要写被开方数在9和16之间，如：，， 或小数例如（它的位数无限且相邻两个“”之间是依次增大的自然数），等（答案不唯一）． 20．已知直角三角形的两直角边长分别是和，斜边长是．试估计x在哪两个连续整数之间． 【答案】x在10和11之间 【分析】本题考查勾股定理和确定实数的取值范围，先利用勾股定理求出x，再根据确定算术平方根的取值范围的方法即可得解． 【详解】解：由勾股定理得，． 因为，，且， 所以， 即x在10和11之间． 21．设边长为4的正方形的对角线长为x． (1)x是有理数吗？说说你的理由； (2)请你估计一下x在哪两个相邻整数之间． 【答案】(1)x不是有理数．理由见解析 (2)x在5和6之间 【分析】本题考查了有理数和无理数的概念，估算无理数的大小，正方形的面积，估算无理数的大小要用“夹逼法”思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． （1）直接利用勾股定理得出的值，再分排除它是整数和分数即可； （2）利用利用“夹逼法”即可得出的取值范围； 【详解】（1）解：不是有理数． 理由：由勾股定理可知，， 首先不可能是整数，32不是任何整数的平方， 其次也不可能是分数(因为若是最简分数，则，仍是一个分数，不等于， 综上可知：既不是整数，也不是分数，所以不是有理数； （2）∵， ∴，即， ∴x在5和6之间． 22．水是生命的源泉，我们应该珍惜每一滴水．据不完全统计，某市至少有个水龙头和个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头一个月漏水，一个漏水的抽水马桶一个月漏水，那么一个月该市造成的水流失量至少为多少立方米？若挖一个底面半径等于高的圆柱形水池来存放这些漏掉的水，则这个水池至少挖多深？(结果精确到取) 【答案】一个月造成的水流矢量至少是；这个水池至少挖深 【分析】此题考查了立方根， 熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 根据水龙头与抽水马桶浪费的水量之和计算即可；设底面半径为，水池深，根据圆柱体体积公式列出方程，求出方程的解得到的值，即为所求． 【详解】解：根据题意得：， 一个月造成的水流矢量至少是； 设底面半径为，则水池深， 根据题意得：，即， ， 解得：． 则这个水池至少深． 23．观察例题：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： （1）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 【答案】（1）1；（2）±4 【分析】（1）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可； （2）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可． 【详解】（1） 即 ， 的整数部分为1，小数部分为，的小数部分是， ， ； （2） 即 的整数部分为1，的小数部分为 ， ， 的平方根为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握数的平方根是解题的关键． 24．阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)___________，_________；________，__________． (2)如果，，求的立方根． 【答案】(1)1，，3， (2)2 【分析】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义，求一个数的立方根，能够估算出无理数的范围是解决问题的关键． （1）先估算出和的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可； （2）先估算出，的范围，即可求出，的值，进一步即可求出结果． 【详解】（1）解：，， ，，，， 故答案为：1，，3，； （2）解：，， ，， ， 的立方根是2． 25．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小燕用来表示的小数部分．理由是：对于正无理数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为的整数部分为1，所以的小数部分为． 参考小燕同学的做法，解答下列问题： (1)写出的小数部分为 ； (2)已知与的小数部分分别为和，求的值； (3)如果，其中是整数，，那么 ； (4)设无理数为正整数）的整数部分为，那么的小数部分为 （用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2)1 (3)9 (4) 【分析】本题主要考查立方根、无理数的估算及代数式的值，熟练掌握立方根、无理数的估算及代数式的值是解题的关键． （1）由题意易得，则有的整数部分为3，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，，然后可得，然后根据完全平方公式可进行求解； （3）由题意易得，则有的小数部分为，然后可得，进而问题可求解； （4）根据题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为：； （2）解：∵， ∵， ∴，， ∵与的小数部分分别为a和b， ∴， ∴； （3）解：由可知， ∵， ∴， ∴的小数部分为， ∵x是整数，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：9； （4）解：∵无理数（m为正整数）的整数部分为n， ∴的小数部分为， ∴的小数部分即为的小数部分，为； 故答案为：． 26．在没有带开方功能的计算器的情况下，我们可以用下面的方法得到（为正整数）的近似值（为正整数），并通过迭代逐渐减小的值来提高的精确度，以求的近似值为例，迭代过程如下： ① 先估计的范围并确定迭代的初始值． ， ，取． ② 通过计算和得到精确度更高的近似值． 请根据以上信息，完成下面的问题（此题中记，以下结果都要求写成小数形式）： (1)当时，____，________，______； (2)当时，求（精确到 0.001）、的值． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，正确理解题干所给信息是解此题的关键． （1）将带入即可求得，再将、代入求出的值，然后将代入计算即可； （2）参照（1）中的方法将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题干所给的信息分析可得： 当时，将带入得， ∴，； （2）解：当时，将代入得， ∴，． 学科网（北京）股份有限公司 $$