第07讲 图形的旋转（6个知识点+6种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第07讲 图形的旋转（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点4．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 知识点5．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 知识点6．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 题型强化 题型一．生活中的旋转现象 1．（2022秋•杭州期中）下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•玉环市三模）如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为 　　． 3．（2023•南浔区二模）2023年是癸卯兔年，“瑞兔呈祥”，小明同学查阅资料后得知，兔子的耳朵有很多功能，其中包括通过竖起耳朵利用风来散热，起到调节体温的功能．小明用图1中的七巧板拼成图2所示的一只奔跑中的兔子，已知小正方形的边长为1，点是边的中点，通过旋转“耳朵”这块七巧板，可以将“耳朵”耷拉的状态转到竖直（如图，在旋转过程中，耳朵尖的点离小兔子的前脚掌尖的距离的最大值为　　 A． B． C． D． 题型二．旋转的性质 4．（2024•玉环市模拟）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2023•南湖区校级一模）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到△，则阴影部分的面积为 　　． 6．（2023秋•玉环市期末）如图，中，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 题型三．旋转对称图形 7．（2023秋•苍南县月考）如图是一个等边三角形，若将它绕着它的中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是　　 A． B． C． D． 8．（2022秋•临海市校级期中）已知是等边三角形，为的三条中线的交点，以为旋转中心，按顺时针方向至少旋转　　与原来的三角形重合． 9．（2020秋•沂南县期中）如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母），则至少旋转　　度后能与原来图形重合． 题型四．坐标与图形变化-旋转 10．（2022秋•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，把点绕原点顺时针旋转，所得到的对应点的坐标为 　　． 11．（2024•温州模拟）如图，已知点，，与关于轴对称，连结，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 12．（2021秋•诸暨市月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点逆时针旋转至线段，连接，设点的纵坐标为． （1）求点的坐标（用含的式子表示）； （2）求线段长度的最小值． 题型五．作图-旋转变换 13．（2024•拱墅区二模）如图，在边长为10的正方形内部（不含边界）有一点，连结．过点作，且．连结，将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在点上，则的长为 　　． 14．（2023秋•湖州期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）作出关于原点对称的△； （2）作出绕点逆时针旋转后的△； （3）点的对应点的坐标为 　　． 15．（2024•余姚市校级四模）作图题：如图，在方格纸中，请按要求画出以为边的格点四边形． （1）在图1中画出一个，使得格点为的对称中心； （2）在图2中画出一个，使得的周长为整数且邻边不垂直． 题型六．利用旋转设计图案 16．（2023秋•温州期末）如图是海上风力发电装置，相同的三个转子叶片呈均匀分布．若图案绕中心旋转后能与原图案重合，则可以取　　 A．90 B．120 C．150 D．180 17．（2023秋•东阳市期中）剪纸是我国民间艺术，入选“人类非物质文化遗产”，如图剪纸图案是一个中心对称图形，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个角度不可以是　　 A． B． C． D． 18．（2023•金华模拟）在平面直角坐标系中，依次连结点，，，形成图案①． （1）求图案①的面积； （2）将图案①绕原点逆时针旋转得到图案②，画出图形②． 分层练习 一、单选题 1．把图中的风车图案绕着中心O旋转，旋转后的图案与原来的图案重合，旋转角的度数至少为（　　）    A． B． C． D． 2．如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到的图形是（   ）      A．    B．   C．   D．   3．下列图形绕某点旋转后，能与原来图形重合的是（    ） A． B． C． D． 4．美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，，将绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 6．如图所示，在中，，．将绕点B逆时针方向旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，平面直角坐标系的原点是正方形的中心，顶点，的坐标分别为、，把正方形绕原点逆时针旋转45°得到正方形，则正方形与正方形重叠部分形成的正八边形的边长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于 两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 10．已知等边△ABC，顶点B（0，0），C（2，0），规定把△ABC先沿x轴绕着点C顺时针旋转，使点A落在x轴上，称为一次变换，再沿x轴绕着点A顺时针旋转，使点B落在x轴上，称为二次变换，…经过连续2017次变换后，顶点A的坐标是（　　） A．（4033，) B．（4033，0） C．（4036，) D．（4036，0） 二、填空题 11．已知点A的坐标为，O为坐标原点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得，则点的坐标为 ． 12．将绕点按逆时针方向旋转到的位置，斜边和相交于点，则的度数等于 度．    13．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点在直线上，连接，将线段绕O逆时针旋转，点A的对应点B恰好落在直线上，则 ． 14．如图，点A是反比例函数上一动点，点的坐标为，过点作轴，垂足为点，以、为边作矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，在点运动的过程中，点的对应点坐标为，则与满足的关系式为 ． 15．如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ． 16．定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换． 如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形． 若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推…… △An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ（n，180°）变换后得△AnBnCn，则点A1的坐标是 ，点A2018的坐标是　． 三、解答题 17．如图，点是正方形边上一点，过作交的延长线于点，连接．    (1)可以由通过旋转变换得到，则旋转中心是__________，旋转方向是__________，旋转角是__________度． (2)若，，求的长． 18．如图， 在等腰三角形中， 是边上一点， 把点绕点按逆时针方向旋转到点 ，连接 ， （1）求证： ． （2）当点 在同一条直线上时， 求证： ． 19．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．    (1)将绕点逆时针旋转后对应得到，请写出点，，的坐标． (2)请在图中画出绕点顺时针旋转后的，并求出旋转过程中点所经过的路径长（结果保留根号和． 20．如图，在下列的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，例如，，都是格点． (1)将绕点B逆时针旋转得到，在网格中画出； (2)在（1）的变换中，若中有点，则点P的对应点的坐标是＿＿＿＿． 21．的顶点都在正方形网格格点上，如图所示． (1)将绕点A顺时针方向旋转得到(点对应点)， 画出． (2)请找出过三点的圆的圆心， 标明圆心的位置． 22．在中，，以点为中心，将顺时针旋转，得到；再以点为中心，将顺时针旋转，得到；连结，    (1)如图，若，，求的长； (2)如图，，探究与的位置关系，并说明理由． 23．今后你将大量遇到用坐标的方法研究图形的运动变换． 如图1，在已建立直角坐标系的方格纸中，图形的顶点为A，B，C，要将它平移旋转到图（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）． 例如：将图形作如下变换（见图． 第一步：平移，使顶点移至点，得图； 第二步：绕着点旋转，得图； 第三步：平移，使点移至点，得图． (1)写出，两点的坐标； (2)从A，B，C，三点中选取你要的点，仿照例题格式描述出另一种与上例不同的路线的图形变换． 24．【问题背景】（1）如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：将绕A点逆时针旋转得到，连接， ①求证：G，D，F，三点共线； ②之间的数量关系为 ． 【探索延伸】（2）如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】（3）如图3，在四边形中，，E是边上一点，当时，求的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 图形的旋转（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点4．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 知识点5．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 知识点6．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 题型强化 题型一．生活中的旋转现象 1．（2022秋•杭州期中）下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是　　 A． B． C． D． 【分析】能否构成旋转，关键是看有没有旋转中心、旋转方向和旋转角度． 【解答】解：根据旋转的性质，分析图可知不是旋转，它是轴对称的关系． 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质和轴对称的定义： （1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． （2）轴对称的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 2．（2024•玉环市三模）如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为 　　． 【分析】根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解． 【解答】解：与地面的夹角为， ， 即旋转角为， 箕面绕点旋转的度数为． 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由角的和差关系得到的度数．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3．（2023•南浔区二模）2023年是癸卯兔年，“瑞兔呈祥”，小明同学查阅资料后得知，兔子的耳朵有很多功能，其中包括通过竖起耳朵利用风来散热，起到调节体温的功能．小明用图1中的七巧板拼成图2所示的一只奔跑中的兔子，已知小正方形的边长为1，点是边的中点，通过旋转“耳朵”这块七巧板，可以将“耳朵”耷拉的状态转到竖直（如图，在旋转过程中，耳朵尖的点离小兔子的前脚掌尖的距离的最大值为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据小正方形的边长为1，结合等腰直角三角形以及勾股定理可求出七巧板中各个边的长度，根据题意可知耳朵尖（平行四边形）的点绕点旋转，当、、点三点共线时，耳朵尖点离前脚掌尖的距离有最大值，再分别求出、，问题得解． 【解答】解：根据小正方形的边长为1，结合等腰直角三角形以及勾股定理可求出七巧板中各个边的长度，如图所示： 耳朵尖（平行四边形）的点绕点旋转， 当、、点三点共线时，耳朵尖点离前脚掌尖的距离有最大值， 如图， 点是边的中点， ， ， 如图，连接，过点作， 根据等腰直角三角形的性质可知：， 即， 利用勾股定理可得：， ， 故选：． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及旋转的性质等知识，明确题意，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出各边是解答本题的关键． 题型二．旋转的性质 4．（2024•玉环市模拟）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：将绕点逆时针旋转，得到， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 5．（2023•南湖区校级一模）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到△，则阴影部分的面积为 　4　． 【分析】根据旋转的性质得到△，，所以△是等腰三角形，，然后得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积． 【解答】解：如图，过点作于， 在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到△， △， ， △是等腰三角形，， ， ， 又， ， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．运用面积的和差解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 6．（2023秋•玉环市期末）如图，中，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【分析】（1）由旋转的性质可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，根据三角形内角和定理可得出答案． 【解答】（1）证明：是由绕点按顺时针方向旋转得到的， ，，， ，即， ， ， 可由绕点按顺时针方向旋转得到， ； （2）解：可由绕点按顺时针方向旋转得到， ， ， 设与相交于， ， ． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 题型三．旋转对称图形 7．（2023秋•苍南县月考）如图是一个等边三角形，若将它绕着它的中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】由于是等边三角形，那么，所以要使等边三角形旋转后与自身重合，那么它们就是旋转角，而它们的和为，由此即可求出绕中心旋转的角度． 【解答】解：如图， 是等边三角形， ， 它们都是旋转角，而它们的和为， 至少将它绕中心顺时针旋转，才能使等边三角形旋转后与自身重合． 故选：． 【点评】此题主要考查了旋转对称图形的性质，解答此题的关键是找到对应点，进而判断出将它绕中心旋转的最小角度． 8．（2022秋•临海市校级期中）已知是等边三角形，为的三条中线的交点，以为旋转中心，按顺时针方向至少旋转　　与原来的三角形重合． 【分析】根据等边三角形的性质可得点是等边三角形的中心，再根据旋转对称图形的性质，用除以3计算即可得解． 【解答】解：为的三条中线的交点， 点是的中心， ， 以为旋转中心，按顺时针方向至少旋转与原来的三角形重合． 故答案为：． 【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 9．（2020秋•沂南县期中）如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母），则至少旋转　72　度后能与原来图形重合． 【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【解答】解：， 该图形绕中心至少旋转72度后能和原来的图案互相重合． 故答案为：72． 【点评】本题考查了旋转角的定义及求法．对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角． 题型四．坐标与图形变化-旋转 10．（2022秋•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，把点绕原点顺时针旋转，所得到的对应点的坐标为 　　． 【分析】作轴于，如图，把点绕原点顺时针旋转得到点看作把绕原点顺时针旋转得到△，利用旋转的性质得到，，，，从而可确定点的坐标． 【解答】解：作轴于，如图， ， ，， 点绕原点顺时针旋转得到点相当于把绕原点顺时针旋转得到△， ，，，， 点的坐标为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，． 11．（2024•温州模拟）如图，已知点，，与关于轴对称，连结，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据对称的性质得出点的坐标，再根据旋转的性质结合全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：点的坐标为，点和点关于轴对称， 点的坐标为， ． 点坐标为， ． 过点作轴的垂线，垂足为， 由旋转可知， ，， ， ． 在△和△中， ， △△， ，， ， 点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形性质旋转及关于轴、轴对称的点的坐标，熟知图形旋转的性质及关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 12．（2021秋•诸暨市月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点逆时针旋转至线段，连接，设点的纵坐标为． （1）求点的坐标（用含的式子表示）； （2）求线段长度的最小值． 【分析】（1）过点作轴，垂足为点，证明，推出，，可得点的坐标为； （2）推出点的运动轨迹是直线，根据垂线段最短解决问题即可． 【解答】解：（1）过点作轴，垂足为点， ， ， 线段绕着点按逆时针方向旋转至线段， ，， ， ， 在和中， ， ，， 点，点， 点的坐标为； （2）点的坐标为； 的运动轨迹是直线， 直线交轴于，交轴于， ，， 过点作于．则， 根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为． 方法二： 点的坐标为， ， 当时，的最小值为， 最小值为． 【点评】本题考查坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型． 题型五．作图-旋转变换 13．（2024•拱墅区二模）如图，在边长为10的正方形内部（不含边界）有一点，连结．过点作，且．连结，将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在点上，则的长为 　　． 【分析】设，将绕着点顺时针旋转 到，连接、，则，，，，，，，由旋转的性质可知，，，证明四边形是正方形，则，，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【解答】解：设，如图，将绕着点顺时针旋转 到，连接、， ，，，， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又：，， 四边形是正方形， ，， ，， 由勾股定理得，， 解得，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，余弦等知识．熟练掌握旋转的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，余弦是解题的关键． 14．（2023秋•湖州期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）作出关于原点对称的△； （2）作出绕点逆时针旋转后的△； （3）点的对应点的坐标为 　　． 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）由图可得答案． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． （2）如图，△即为所求． （3）点的对应点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查作图旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 15．（2024•余姚市校级四模）作图题：如图，在方格纸中，请按要求画出以为边的格点四边形． （1）在图1中画出一个，使得格点为的对称中心； （2）在图2中画出一个，使得的周长为整数且邻边不垂直． 【分析】（1）连接并延长，取，连接并延长，取，依次连接，，即可求解； （2）根据题意，，即可求解． 【解答】解：（1）连接并延长，取，连接并延长，取， 依次连接，，，如图1所示： ，， 四边形为平行四边形， 故边形即为所求． （2）如图2所示： 由图得：，， ，， 四边形为平行四边形，且周长，且邻边不垂直， 故四边形即为所求． 【点评】本题考查了作图—旋转变换，中心对称图形及平行四边形的判定及性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 题型六．利用旋转设计图案 16．（2023秋•温州期末）如图是海上风力发电装置，相同的三个转子叶片呈均匀分布．若图案绕中心旋转后能与原图案重合，则可以取　　 A．90 B．120 C．150 D．180 【分析】由于该图形被平均分成三部分，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】解：该图形被平均分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为120， 故选：． 【点评】本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，旋转的角度叫做旋转角． 17．（2023秋•东阳市期中）剪纸是我国民间艺术，入选“人类非物质文化遗产”，如图剪纸图案是一个中心对称图形，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个角度不可以是　　 A． B． C． D． 【分析】利用旋转变换的性质判断即可． 【解答】解：由图形知，该图形是旋转对称图形， 则旋转，，都可以与自身重合， 故选：． 【点评】本题主要考查了旋转对称图形的特征，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解题的关键． 18．（2023•金华模拟）在平面直角坐标系中，依次连结点，，，形成图案①． （1）求图案①的面积； （2）将图案①绕原点逆时针旋转得到图案②，画出图形②． 【分析】（1）判断出四边形是正方形，可得结论； （2）根据要求作出图形即可． 【解答】解：（1），，，， 四边形是正方形， ， 图案①的面积； （2）如图，图形②即为所求． 【点评】本题考查作图利用旋转设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 分层练习 一、单选题 1．把图中的风车图案绕着中心O旋转，旋转后的图案与原来的图案重合，旋转角的度数至少为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，用除以4计算即可． 【详解】解：∵， ∴旋转的角度是的整数倍， ∴旋转的角度至少是． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解答本题的关键． 2．如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到的图形是（   ）      A．    B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据旋转角度、旋转中心、旋转方向即可作出判断． 【详解】根据旋转的定义可得：旋转后AD与AB重合，故C选项符合题意.故选C. 【点睛】本题考查生活中的旋转现象，解题的关键是掌握旋转的性质. 3．下列图形绕某点旋转后，能与原来图形重合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转对称图形的概念解答． 【详解】解：A、绕它的中心旋转能用原来图形重合，故本选项不合题意； B、绕它的中心旋转能用原来图形重合，故本选项合题意； C、绕它的中心旋转能用原来图形重合，故本选项不合题意； D、绕它的中心旋转能用原来图形重合，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了旋转对称图形的知识，如果某一个图形绕某一点旋转一定的角度后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． 4．美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的对称性，用除以6计算即可得解． 【详解】∵， ∴旋转角是的整数倍， ∴这个角的度数可以是， 故选：C 【点睛】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 5．如图，在平面直角坐标系中，，将绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点D，利用直角三角形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查坐标与图形变化—旋转，旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质和直角三角形的有关性质是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点D， ∵，绕点逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是，    故选D． 6．如图所示，在中，，．将绕点B逆时针方向旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，由旋转的性质得，，可知是等腰三角形，可得，从而可得． 【详解】解：在中，，， ， 将绕点B逆时针方向旋转得到，旋转过程中角的大小和边的长度不变， ，， 是等腰三角形， ， ， 故选：A． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题关键是掌握旋转的性质． 7．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握旋转的性质．根据旋转的性质，可以得到，，再根据等腰三角形性质得出，然后由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转后，得到， ，， ， ． 故选：C． 8．如图，平面直角坐标系的原点是正方形的中心，顶点，的坐标分别为、，把正方形绕原点逆时针旋转45°得到正方形，则正方形与正方形重叠部分形成的正八边形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图（见解析），连接OA，先根据正方形的得出OA的长，再根据旋转的性质得出的长、以及的度数，然后根据等腰直角三角形的性质、线段的和差即可得． 【详解】如图，连接OA ，四边形ABCD为正方形 由旋转的性质得： 是等腰直角三角形，且 是等腰直角三角形 同理： 即所求的正八边形的边长为 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质等知识点，理解题意，掌握并灵活运用正方形和旋转的性质是解题关键． 9．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于 两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由点的运动确定的运动轨迹是与轴垂直的一段线段 ，当线段与垂直时，线段的值最小； 【详解】解：将绕点 逆时针旋转 得到 ，则点 在线段上；如图： 两点是直线与坐标轴的交点 ∴ ∴ 是等腰直角三角形 ∵ ∴ ， ， 所在的直线为： 的最小值为点到的距离： 故选：B． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系动点问题，找出点的运动轨迹是解题的关键． 10．已知等边△ABC，顶点B（0，0），C（2，0），规定把△ABC先沿x轴绕着点C顺时针旋转，使点A落在x轴上，称为一次变换，再沿x轴绕着点A顺时针旋转，使点B落在x轴上，称为二次变换，…经过连续2017次变换后，顶点A的坐标是（　　） A．（4033，) B．（4033，0） C．（4036，) D．（4036，0） 【答案】D 【详解】解：由题意可得：点A（1，）、B（0，0）、C的坐标是（2，0），经过一次变换后点A1（4，0）、B1（3，），C（2，0），经过第二次变换后点A2（4，0）、B2（6，0）、C2（5，），经过第三次变换后，点A3（7，）、B3（6，0）、C3（8，0），则此时△ABC应是向右平移了6个单位长度，依次类推，则2017 3＝672……1，即为向平移672 6＝4032个单位长度后[点A672（4033，）、B672（4032，0）、C（4034，0）]，再变换一次即为2017次变换，则点A的坐标为(4036，0) 故选D 二、填空题 11．已知点A的坐标为，O为坐标原点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】把点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，如图，作轴，则，，，把绕点按逆时针方向旋转得到，再根据旋转的性质，得出，，，进而即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，作轴，则，，， 把绕点按逆时针方向旋转得到，则，，， ∴点的坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化—旋转、旋转的性质，利用数形结合思想解答是解本题的关键． 12．将绕点按逆时针方向旋转到的位置，斜边和相交于点，则的度数等于 度．    【答案】20 【分析】根据旋转的性质可得，，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转到的位置， ，， 与相交所形成的对顶角相等， ， 故答案为：20． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，掌握相关图形的性质是解题的关键． 13．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点在直线上，连接，将线段绕O逆时针旋转，点A的对应点B恰好落在直线上，则 ． 【答案】1 【分析】先把点关于x轴的对称点代入直线，得出n的值，然后得出点B的坐标，再代入直线解答即可． 【详解】解：由题意，知：点关于x轴的对称点坐标为， 把点代入直线，可得， 解得， ∴， 过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， ∴，， ∴， 又线段绕O逆时针旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为， 把点B代入直线，可得：， 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-旋转，求得A、B的坐标是解题的关键． 14．如图，点A是反比例函数上一动点，点的坐标为，过点作轴，垂足为点，以、为边作矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，在点运动的过程中，点的对应点坐标为，则与满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，旋转的性质，由点坐标为，点的坐标为，得出，，根据旋转的性质得到，，进一步得到，于是得到，于是得到，即． 【详解】解：点坐标为，点的坐标为， 则，， 矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ，， ， ， 在此反比例函数图象上， ， ． 故答案为：． 15．如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】数形结合，根据动点的运动情况判断点的运动轨迹，再根据角度以及勾股定理求解最大值． 【详解】解：如图旋转，连接 以为直径作，以为半径作 过点作的切线交于点 在和中 ∴点共圆，点共圆， 点在上运动 ，的半径为 ∴ 又∵， ∴当点运动到点时，到直线距离的最大， 过点作，过点作，， ∴四边形是矩形，   是圆心， 设 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆动点的最值问题。熟练运用四点共圆性质以及勾股定理解直角三角形是解决本题的关键． 16．定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换． 如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形． 若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推…… △An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ（n，180°）变换后得△AnBnCn，则点A1的坐标是 ，点A2018的坐标是　． 【答案】（﹣，﹣），（﹣，）． 【分析】分析图形的γ（a，θ）变换的定义可知：对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．向右平移n个单位变换就是横坐标加n，纵坐标不变，关于原点作中心对称变换就是横纵坐标都变为相反数．写出几次变换后的坐标可以发现其中规律． 【详解】解：根据图形的γ（a，θ）变换的定义可知： 对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换． △ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，A1 坐标（﹣，﹣） △A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，A2坐标（﹣，） △A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，A3坐标（﹣，﹣） △A3B3C3经γ（4，180°）变换后得△A4B4C4，A4坐标（﹣，） 依此类推横坐标为，，，，，，… 可以发现规律： An横坐标：当n为奇数则横坐标为， n为偶数时，横坐标为， 纵坐标为（-1）n， 所以，A2018横坐标是：﹣，纵坐标为：， 故答案为（﹣，﹣），（﹣，）． 【点睛】本题是规律探究题，又是材料阅读理解题，关键是能正确理解图形的γ（a，θ）变换的定义后运用，关键是能发现连续变换后出现的规律，该题难点在于点的横纵坐标各自存在不同的规律，需要分别来研究． 三、解答题 17．如图，点是正方形边上一点，过作交的延长线于点，连接．    (1)可以由通过旋转变换得到，则旋转中心是__________，旋转方向是__________，旋转角是__________度． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，顺时针，90 (2) 【分析】（1）利用证明，结合图形可得； （2）由勾股定理先求出的长，得到的长，推出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转90度得到． 答案：，顺时针，90； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，证明． 18．如图， 在等腰三角形中， 是边上一点， 把点绕点按逆时针方向旋转到点 ，连接 ， （1）求证： ． （2）当点 在同一条直线上时， 求证： ． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析． 【分析】（1）由旋转得到，根据SAS得到两个三角形全等； （2）由全等得到对应讲相等，进而得到，再证明，可以得到结论． 【详解】（1）证明：∵点绕点按逆时针方向旋转到点 ，， ∴，， ∴ 在△ABD和△ACD’中 ∴（SAS）； （2）证明：∵， ∴BD＝CD’， ， ∵中， 中， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查旋转、全等三角形的性质与判定和等腰三角形的性质与判定，熟练应用三角形全等的性质进行角的等量代换是解决本题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．    (1)将绕点逆时针旋转后对应得到，请写出点，，的坐标． (2)请在图中画出绕点顺时针旋转后的，并求出旋转过程中点所经过的路径长（结果保留根号和． 【答案】(1)，，． (2)见解析， 【分析】本题考查作图旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质可得答案． （2）先利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，； （2）解：如图，即为所求．   ， 由勾股定理得，， 旋转过程中点所经过的路径长为． 20．如图，在下列的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，例如，，都是格点． (1)将绕点B逆时针旋转得到，在网格中画出； (2)在（1）的变换中，若中有点，则点P的对应点的坐标是＿＿＿＿． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，解题关键是熟练掌握相关知识． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点即可得到； （2）利用网格特点和旋转的性质即可求解； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：观察图象可知，点P的对应点的坐标， 故答案为：． 21．的顶点都在正方形网格格点上，如图所示． (1)将绕点A顺时针方向旋转得到(点对应点)， 画出． (2)请找出过三点的圆的圆心， 标明圆心的位置． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）根据旋转的性质画出对应的图形即可得到答案； （2）过三点的圆的圆心，就是到三点距离相等的点，也就是线段和线段的垂直平分线的交点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：作线段和线段的垂直平分线，交点标为点O，点O就是要所求作的点，如图所示： 【点睛】本题主要考查了旋转作图和线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 22．在中，，以点为中心，将顺时针旋转，得到；再以点为中心，将顺时针旋转，得到；连结，    (1)如图，若，，求的长； (2)如图，，探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)平行，理由见详解 【分析】（1）通过旋转的性质得，和，证明四边形为正方形，再根据正方形的性质即可求出． （2）过点作交于点，由旋转的性质和平行线的性质可得，易证，因为，所以四边形为平行四边形，故可得出． 【详解】（1）解：根据旋转性质可得当时，， ∴四边形为矩形， ∵旋转的性质可得， ∴四边形为正方形， ∴． ∴的长为． （2）与的位置关系是平行． 理由：如图，过点作交于点，    则， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∴与的位置关系是平行． 【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，旋转的性质，平行线的性质的判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23．今后你将大量遇到用坐标的方法研究图形的运动变换． 如图1，在已建立直角坐标系的方格纸中，图形的顶点为A，B，C，要将它平移旋转到图（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）． 例如：将图形作如下变换（见图． 第一步：平移，使顶点移至点，得图； 第二步：绕着点旋转，得图； 第三步：平移，使点移至点，得图． (1)写出，两点的坐标； (2)从A，B，C，三点中选取你要的点，仿照例题格式描述出另一种与上例不同的路线的图形变换． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据坐标轴的特征可得到，两点的坐标 （2）根据平移和旋转可得到另外一种变换方式，但是答案不唯一 【详解】（1）根据图1可知：点的横坐标是4，纵坐标是6， ∴点的坐标是 点的横坐标是6，纵坐标是4， ∴点的坐标是 （2）第一步：平移，使顶点移至点； 第二步：绕着点旋转； 第三步：平移，使点移至点． 【点睛】本题考查图形的平移变换和旋转变换，关键是要懂得左右平移点的时候，纵坐标不变，上下移动点的时候，横坐标不变 24．【问题背景】（1）如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：将绕A点逆时针旋转得到，连接， ①求证：G，D，F，三点共线； ②之间的数量关系为 ． 【探索延伸】（2）如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】（3）如图3，在四边形中，，E是边上一点，当时，求的长度． 【答案】（1）①见解析②（2）成立，理由见解析（3）5 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定结合求解的综合题．解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解． （1）①证明，得到，结合，得出结论； ②由得到，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）过点C作交的延长线于点G，利用勾股定理求得的长． 【详解】（1）①证明：将绕A点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴G，D，F，三点共线； ②解：．理由如下： 由①知， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：结论仍然成立；理由如下： 如图2，延长到点G．使．连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图3，过点C作，交的延长线于点G， 由【探索延伸】可知：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得． ∴． 故答案为：5. 学科网（北京）股份有限公司 $$