3.3.1 垂径定理-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件(浙教版)

数 学 九年级全一册 ZJ 1 2 3 第3章 圆的基本性质 4 3.3 垂径定理 课时1 垂径定理 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 圆的轴对称性 1.下列说法中，不正确的是( ) B A.圆有无数条对称轴 B.圆的每一条直径都是它的对称轴 C.圆的直径把圆的周长和面积均二等分 D.经过圆心的直线是圆的对称轴 【解析】圆是轴对称图形，过圆心的所有直线都是它的对称轴，因此圆有无数条 对称轴，圆的直径把圆的周长和面积均二等分，但不能说直径是圆的对称轴，因 为对称轴是一条直线，而直径是一条线段，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 知识点2 垂径定理 （第2题图） 2.【2024浙江金华金东区期中】如图，线段是 的直径， 于点，若，，则 的长是( ) A A.8 B.7 C.6 D.5 【解析】如图，连结 线段是的直径，于点 ， ， ， ，， ，故 选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 （第3题图） 3.【2023浙江绍兴新昌期末】如图，是的弦， 于点 ，连结，点是半径上任意一点，连结.若 ， ，则 的长不可能是( ) D A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】连结，如图.于点C，， ， ， , ， 的长度不可能是9.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （第4题图） 4.【2024浙江杭州西湖区质检】如图， 的半径为10，弦 ，点是弦上的动点且点不与点，重合，若 的 长为整数，则这样的点 有( ) C A.4个 B.5个 C.7个 D.9个 【解析】如图，过点作于点，连结 ， .， 点 是弦 上的动点且点不与点A，B重合， 的长为 整数，的长可为6，7，8，9，其中使的长为7，8，9的点 各有2个，即 这样的点 有7个，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 （第5题图） 5.【2024浙江温州瑞安质检】如图，的半径 弦 于点 ，是上一点，，的最大值为18，则 的长为___. 2 【解析】 如图，连结的半径 弦于点 ， ，.当在的延长线上时 取得最大值18. 设半径为，则.在中， ，即 ，解得， ， .故答案为2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 （第6题图） 6.如图，已知的半径为10，，垂足为 ，且 ，则 _____． 【解析】 过点作交于点，作交于点 ， 连结，，如图，则， ， .又的半径为10，，垂足为 ， 且， ，，， 四边 形是矩形，.同理可得， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 知识点3 垂径定理的应用 7.【2024浙江杭州上城区期中】如图是一个半圆形桥洞的截面 示意图，圆心为，直径是河底线，弦 是水位线，连结 ,，米，于点， . （1）求 的长； 【解】米，米. ， ，.设米，则 米.在 中，由勾股定理得，解得 （负值已舍去）， 米， 米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 （2）若水位以0.4米/时的速度上升，则经过多长时间桥洞会被灌满？ 【解】 由（1）得米.如图，延长交半圆于点 ， （米）， （时）. 答：经过5小时桥洞会被灌满. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 刷易错 易错点 忽略分类讨论而漏解 8.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知半径为，油面宽 为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升了______ . 1或7 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 【解析】 如图，当油面没超过圆心，油面宽为时，过 作于，交于，连结，，则 ， ，.半径为 ， 易错警示 已知圆的弦（非直径）长，其在圆中的位置不能唯一确定，需根据题目条件分类 讨论，不要漏解. ， ， ， ，即当油 面没超过圆心时，油面上升了；当油面超过圆心 时，同理得 ，则，即当油面超过圆心时，油面 上 升了 .故答案为1或7. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 提升 （第1题图） 1.［中］如图，将沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心 ．若弦 ，则 的半径长为( ) B A.2 B.4 C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 【解析】如图，作交于D，连结 ， ，.由折叠得，设 ，则 .在中，， ， （负值已舍去），，即 的半径长为4.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （第2题图） 2.［中］如图，在中， ，， ，以点 为圆心，长为半径的圆与，分别交于点，，则 的长 为( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 【解析】过C作，交于点.由垂径定理可得为 的中点.在 中,， ， ，且， ， ，.在中，根据勾股定理得 ，即 ，解得， .故选C. 关键点拨 根据题意作出辅助线，构造出 是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 3.【2024河北邯郸质检，中】如图，在中，半径 弦于点，为 的中点，为上的点，且.若，，则 的半径为___. （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 【解析】 连接，，延长交于，过作于 ， 如图.设的半径为，， ， .又, , 四边形 是矩形，，.在 中，，①在 中， ，得 ，解得 ，即的半径为.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 4.［中］已知的直径，是的弦，，垂足为 ，且 ，则 的长为____________． 或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】 连结，如图.， .在 中，， .当如图（1）时， ，在 中， ；当如图（2）时， ，在 中， .故答案为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 连结，由，根据垂径定理得到 ，再根据勾股定理计算出 ，然后分类讨论：当如图（1）时，；当如图（2）时， ， 再利用勾股定理分别计算即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 5.【2023四川成都期末，中】如图，在平面直角坐标系中，过上， 两 点作直线，且点在轴上，则弦 的长为_____. （第5题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 【解析】 设直线交轴于，过作于 ，如图.对于 ，令，得,,则 ；令 ，得,解得,,则 .在 中，由勾股定理得， ， ,易得 ， 中， ,由勾股定理得，.， ， .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 6.【2024江苏南京鼓楼区调研，中】如图，是 的弦，半 径，垂足为，，交延长线于点 . （1）求证：是 的中点； 【证明】如图，连结是的弦，半径 ， ，， ， ， ， ， ，，，即为 的中点. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （2）若，，求 的半径长. 【解】如图，连结 半径，垂足为， ， 是的中点，， ， .设，则.在 中， ，，，即的半径长为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 刷素养 走向重高 7.思想方法 数形结合【2023湖北武汉质检，较难】如图，在中， 是直 径，为上一点，过点作弦， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （1）若，，求 的长； 【解】如图，作于，连结，， ， ，.在中， ， . 在中，， ， .， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （2）若，，求 的长； 【解】 作于，连结，则， ， ，，.在中， ， .在中，， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （3）当在上运动时（ 不变）， 的值是否发生变化？若 不变，请求出其值；若变化，请求出其范围. 【解】 的值不发生变化，为定值.作于 ，连结 ，则.设的半径为.在 中， .在中， ， ， . 又，, 的值不发生变化， 为定值 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 【解析】 思路分析 （1）作于，连结，先求出，的长，再利用勾股定理求出 的长，最后根据垂径定理得到,则 ； （2）作于，连结，得出，先求出 的长，再利用勾股定 理求出的长，最后根据得出 的长； （3）设的半径为，在 中，利用勾股定理得到 .在中，，则 ，得到 ，再将 代入计算即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 $$