广东省河源市紫金县佑文中学2024-2025学年高二上学期开学摸底考试数学试题

紫金县佑文中学2024-2025学年第一学期高二级开学摸底考试（数学） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则CRA（    ） A． B． C． D． 2．已知复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D．3 3．“”是“”成立的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，用，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 5．设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．在中，内角所对的边分别为，若，则的形状一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 7．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 8．已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列命题成立的是（    ） A． B． C．最大内角是最小内角的2倍 D．为直角三角形 10．某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则（    ） A．两人均获得满分的概率 B．两人至少一人获得满分的概率 C．两人恰好只有甲获得满分的概率 D．两人至多一人获得满分的概率 11．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（   ） A．平面 B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面的夹角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，则 . 13．若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是 . 14．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°，此时气球的高是46m，河流的宽度约等于 m. （参考数据：，，，，） 四、解答题 15．设的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求B；(2)若，求的面积. 16．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式．(2)求函数的单调区间． 17．如图，在三棱柱中，侧面底面，，分别为的中点，点在上，且. （1）求证：//平面；（2）求证：平面. 18．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市"知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的上第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 19．已知函数． (1)若不等式的解集为R，求m的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案： 1．A 【分析】解一元二次不等式求出集合，然后由补集运算可得. 【详解】解不等式，得或，所以， 所以. 故选：A 2．C 【分析】根据复数化简，再根据模长公式计算. 【详解】因为, 所以. 故选：C. 3．B 【分析】利用充分性与必要性的定义，结合对数函数性质可得结果. 【详解】利用对数函数性质可知：， 则，即，故必要性成立； ，当不全大于0时，或无意义， 故不能推出，故充分性不成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B． 4．C 【分析】根据向量减法，将用表示，然后整理可得. 【详解】因为， 所以，整理得. 故选：C 5．C 【分析】对ABD举出反例即可，对C根据线面垂直的性质即可判断. 【详解】对A，若，，则或与异面，故A错误； 对B，若，，则与可能相交、平行或，故B错误； 对C，若，，则，又因为，则，故C正确； 对D，若，，，当 都与的交线平行时，满足题设条件，此时，故D错误. 故选：C. 6．A 【分析】利用余弦定理将化为，然后化简可得答案. 【详解】， 由余弦定理可得，则， 则，所以为直角三角形. 故选：A. 7．D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 8．D 【分析】由平移知识得出是奇函数，进而由单调性画出函数，的简图，结合图像解不等式即可. 【详解】因为函数关于点对称，所以函数关于点对称，是奇函数， 则等价于. 函数简图如下图所示：    由平移变换可知，函数的简图如下图所示：    等价于或. 由图可知，的解集为. 故选：D 9．AD 【分析】A中，由正弦定理可得A选项的真假；B，D中，由，，的三边的关系，可得该三角形为直角三角形，判断出B，D的真假；C中，由B选项分析，可得，而，判断出C的真假． 【详解】解：A．由正弦定理可得，所以正确，符合题意； B，D中，因为，所以该三角形为直角三角形，，角的余弦值不能比，所以B不正确，D正确； C中，由B选项的分析，可得最大内角为，最小内角为A，因为与不相等，所以角不为，所以C不正确； 故选：AD． 10．ACD 【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式逐一求解即得. 【详解】设“甲获得满分”， “乙获得满分”，则, 对于A，“两人均获得满分”可表示为,因两人能否获得满分相互独立， 故,  即A正确； 对于B，因“两人至少一人获得满分”的对立事件为 “两人都没获得满分”, 则“两人至少一人获得满分”的概率为：，故B错误； 对于C，“两人恰好只有甲获得满分”可表示为，其概率为：，故C正确； 对于D，因“两人至多一人获得满分”的对立事件为“两人都获得满分”， 则“两人至多一人获得满分”为：,故D正确. 故选：ACD . 11．ABD 【分析】选项A由线面平行的判定定理可证；选项B由线面垂直可证线线垂直；选项CD可由空间向量法可得. 【详解】选项A： 如图连接交于，连接， 由题意可知为的中点，又为的中点，故， 又平面，平面，故平面，故A正确； 选项B：由题意为等边三角形，为的中点， 故, 又棱柱为直三棱柱，故， 又，平面，平面， 故平面，又平面，故，故B正确； 选项C： 如图建立空间直角坐标系，则，，， 因，故， 所以，， 设异面直线与所成角为，则 故C错误； 选项D：由题意平面的一个法向量为， ，，， 设平面的法向量为，则 ，即，设，则，， 故， 设平面与平面的夹角为，则， 故， 故，故D正确， 故选：ABD 12．/ 【分析】利用对表达式化简为并代入，即可得到结果， 【详解】. 故答案为：. 13．-1 【分析】转化为在上有解，即，配方后得到，从而求出，实数可取的最小整数值. 【详解】命题“，”为真命题， 则在上有解， 只需 ，故当时，取得最小值， ， 所以，故实数可取的最小整数值为-1. 故答案为：-1 14．60 【分析】先作辅助线，过点作垂直于的延长线于点，先解求出，再在中利用正弦定理即可求. 【详解】 如图，过点作垂直于的延长线于点， 在中，，， 所以， 在中，，，， 由正弦定理可得： 可得：， 所以河流的宽度约等于， 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理可得，即可得结果； （2）利用余弦定理可得，再结合面积公式运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 且，则，可得，即， 且，所以. （2）由余弦定理可得：， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积. 16．(1) (2)单调增区间为，单调减区间为 【分析】（1）由图象可得，由周期公式可得，代入点计算可得值，进而可得函数的解析式； （2）根据正弦函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由图可知，， 所以，所以， 所以， 又，所以， 所以，则， 又，所以， 所以； （2）令，得， 令，得， 所以函数的单调增区间为， 单调减区间为. 17．（1）；（2） 【详解】试题分析： （1）利用三角形的中位线的性质，证明， 利用线面平行的判定定理证明； （2）利用等腰三角形三线合一证明，利用平面与平面垂直的性质证明，利用线面垂直的判定定理证明． 试题解析： （1）E，F分别为的中点， , 又， . （2），D为AB的中点， ， 又,, ， 又, ， 而， 又， . 考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 18．(1)0.03 (2)84 (3)总平均数是62，总方差是37． 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解； （2）由频率分布直方图求第75百分位数的计算公式即可求解； （3）根据平均数和方差的计算公式即可求解． 【详解】（1）每组小矩形的面积之和为1， ， ． （2）成绩落在，内的频率为， 落在，内的频率为， 设第75百分位数为， 由，得，故第75百分位数为84； （3）由图可知，成绩在，的市民人数为， 成绩在，的市民人数为， 故． 所以两组市民成绩的总平均数是62， ， 所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37． 19．(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果； （2），对，与分类讨论，可分别求得其解集 （3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围． 【详解】（1）根据题意，当，即时，，不合题意； 当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 即，故时，或. 故 ． （2），即， 即， 当，即时，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或. （3），即， 恒成立， ， 设则， ， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 当时，， ． 【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题. 学科网（北京）股份有限公司 $$