精品解析：江苏省泰州市兴化市2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题

2022-2023学年江苏省泰州市兴化市九年级（下）开学数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 一列数20，16，19，25，19，23的众数是（　　） A. 16 B. 19 C. 25 D. 20 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A B. C. D. 4. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将半径为的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱，当圆柱的侧面面积最大时，圆柱的底面半径是（　　） A. B. C. 1cm D. cm 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分） 7. 已知的半径长7 cm，P为线段的中点，若点P在上，则的长是___ cm． 8. 如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为_____． 9. 某型号电动汽车，第一年充满电可行驶500km，第三年充满电可行驶405km，则该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为_______． 10. 某初中学校为了更好地落实教育部“双减”政策，了解学生做书面家庭作业时间，随机调查了40名同学每天做书面家庭作业的时间，情况如下表．则这40名同学每天做书面家庭作业的平均时间是______分钟． 书面家庭作业时间（分钟） 70 80 90 100 110 学生人数（人） 4 7 20 8 1 11. 如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为______． 12. 2022年国庆长假期间七天的气温如图所示，这七天最高气温的方差为，最低气温的方差为，则______（填“＞”、“＜”或“＝”）． 13. 人体上半身长和下半身长的黄金比为0.618∶1，这时人的身长比例看上去更美观．妈妈的身长情况如下图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．依据“黄金比”，这双高跟鞋的高度（ ），（填“偏高、合适、偏低、无法判断”） 14. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为______． 15. 已知函数使使成立的的值恰好只有2个时，则满足的条件是___________． 16. 如图，在中，，，，点是边上一动点不与、重合，以为直径的交于点，连接交于点，连接，当点在边上移动时，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共102.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 18. 为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．越味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：④结合统计图分析数据并得出结论． （1）请对张老师的工作步骤正确排序______． （2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是______． A．随机抽取八年级三班的40名学生 B．随机抽取八年级40名男生 C．随机抽取八年级40名女生 D．随机抽取八年级40名学生 （3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图，假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班． 19. 如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接． （1）求B，C及顶点D坐标， （2）求三角形的面积； 20. 如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 21. 小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，（点A、B、C、D在同一平面内） （1）求点D与点A的距离； （2）求隧道的长度．（结果保留根号） 22. 如图，两个边长为的等边三角形和，点，，在同一直线上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图不写作法，保留作图痕迹： （1）在图中作出的中点； （2）在图中作出的一个三等分点，连接，求的值． 23. 如图，在矩形中，，，点是边上任一点不包括端点，，过点作交的延长线于点，设． （1）求的长用含的代数式表示； （2）如图，连接交于点，连接，当时，求的值． 24. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）当该商品的销售价为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 25. 如图，与直线相离，过圆心作直线垂线，垂足为，且交于、两点（在、之间）．我们把点称为关于直线的“远点”，把的值称为关于直线的“远离数”． （1）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．半径为的与两坐标轴交于点、、、． ①过点画垂直于轴的直线，则关于直线的“远点”是点______（填“”、“”、“”或“D”），关于直线的“远离数”为______； 若直线的函数表达式为．求关于直线的“远离数”； （2）在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作．若与直线相离，点是关于直线的“远点”．且关于直线的“远离数”是，求直线的函数表达式． 26. 如图，已知抛物线经过点，过点的直线平行于轴，横坐标分别，的点、在抛物线上，且位于在直线异侧，连接，，，线段与直线相交于点． （1）求的值； （2）若，． 求的值； 试判断是否平分，并说明理由； （3）若平分，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年江苏省泰州市兴化市九年级（下）开学数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 一列数20，16，19，25，19，23的众数是（　　） A. 16 B. 19 C. 25 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数的定义判断即可． 【详解】这组数据中19出现了2次，出现的次数最多， 这组数据中的众数是19， 故选：B． 【点睛】本题考查众数的定义，一组数据中出现次数最多的数叫做众数，解题的关键是理解众数的定义． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由比例的性质可得． 【详解】∵ ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查比例的性质，熟记比例的性质是解题的关键． 3. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数平移的性质，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线的解析式为． 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移规律．二次函数的平移规律：左加右减、上加下减． 4. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，直径所对的圆周角是直角，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再由三角形内角和定理求出，据此根据圆内角四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出，然后根据余弦定义求解． 详解】解：，，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握余弦的定义是解决问题的关键． 6. 如图，将半径为的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱，当圆柱的侧面面积最大时，圆柱的底面半径是（　　） A. B. C. 1cm D. cm 【答案】C 【解析】 【分析】先求出扇形的弧长，除以得到圆锥的底面半径，利用勾股定理即可求得圆锥的高，利用相似可求得圆柱的高与母线的关系，表示出侧面积，根据二次函数求出相应的最值时自变量的取值即可． 【详解】解：扇形的弧长， ∴圆锥的底面半径， ∴圆锥的高为． 设圆柱的底面半径为，高为，如图，， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴圆柱的侧面积， ∴当时，圆柱的侧面积有最大值． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，弧长公式，相似三角形的判定和性质，圆柱体的侧面积．根据题意，将圆周的侧面积转化为二次函数求最值，是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分） 7. 已知的半径长7 cm，P为线段的中点，若点P在上，则的长是___ cm． 【答案】14 【解析】 【分析】根据点和圆的位置关系求出，再根据中点定义解答即可． 【详解】因为点P在上，且半径是， 所以． 因为点P是的中点， 所以． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握d和r之间的数量关系是判断点和圆的位置关系的关键．即时，点在圆上，时，点在圆外，时，点在圆内．（d是点和圆心的距离，r是圆的半径） 8. 如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为_____． 【答案】1：16 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得． 【详解】∵两个相似三角形的相似比为1：4， ∴它们的面积比为1：16． 故答案是：1：16． 【点睛】考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 9. 某型号电动汽车，第一年充满电可行驶500km，第三年充满电可行驶405km，则该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为_______． 【答案】10% 【解析】 【分析】设该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为为x,根据题意列出方程式即可求解． 【详解】设该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为x，根据题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去） ∵ 故答案为：10%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出电动汽车续航里程衰减的方程，解方程即可求解． 10. 某初中学校为了更好地落实教育部“双减”政策，了解学生做书面家庭作业的时间，随机调查了40名同学每天做书面家庭作业的时间，情况如下表．则这40名同学每天做书面家庭作业的平均时间是______分钟． 书面家庭作业时间（分钟） 70 80 90 100 110 学生人数（人） 4 7 20 8 1 【答案】 【解析】 【分析】利用加权平均数公式即可求解． 【详解】解：这40名同学每天做书面家庭作业的时间是 （分） 故答案为： 【点睛】本题考查了加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键． 11. 如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，连接对应点，进而得出位似中心的位置． 【详解】解：如图所示， 位似中心点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键． 12. 2022年国庆长假期间七天的气温如图所示，这七天最高气温的方差为，最低气温的方差为，则______（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据气温统计图可知：这七天最低气温比最高气温的波动要小，由方差的意义知，波动越小，数据越稳定，即方差越小． 【详解】解：观察气温统计图可知：这七天最低气温比较稳定，波动较小；故最低气温的方差小． 所以． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 13. 人体上半身长和下半身长的黄金比为0.618∶1，这时人的身长比例看上去更美观．妈妈的身长情况如下图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．依据“黄金比”，这双高跟鞋的高度（ ），（填“偏高、合适、偏低、无法判断”） 【答案】偏高 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，进行计算可以解答． 【详解】解：设高跟鞋的高度为合适，由题意得： ， 解得：， ， ∴偏高， 故答案为：偏高． 【点睛】本题考查列比例式方程解题，熟练掌握解比例式时内项积等于外项积是解题的关键． 14. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，勾股定理，平行线的性质，先作交格点于点，连接，然后根据平行线的性质可以得到，再根据勾股定理可以得到、和的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，即可求得的值，从而可以得到的值． 【详解】解：作交格点于点，连接，如图所示， ， ， 设每个小正方形的边长为， 由图可知：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 故答案为：． 15. 已知函数使使成立的的值恰好只有2个时，则满足的条件是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象．画出图象，使成立的的值恰好只有2个．即函数图象与这两个条直线有2个交点，据此观察图象求解． 【详解】解：画出函数解析式的图象， 使成立的的值恰好只有2个即函数图象与这两个条直线有2个交点， 由图象及解析式可知，当或时，函数图象与这两个条直线恰好有2个交点． 故答案为：或． 16. 如图，在中，，，，点是边上一动点不与、重合，以为直径的交于点，连接交于点，连接，当点在边上移动时，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、含角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 连，，，得为定角，由此可得在以为弦所对圆心角为的圆弧上运动，设该圆圆心为，连，，，，由两点之间线段最短知：，进而可求的最小值． 【详解】解：在中，，， ，，， 连，，， 为的直径， ， ， 为定角， 在以为弦所对圆心角为的圆弧上运动， 设该圆圆心为，连，，，，则，， 为等边三角形， ，， ， ， 又， 由两点之间线段最短知：， ， 当、、在一直线时．有最小值为：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共102.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）1；（2），． 【解析】 【分析】（1）利用特殊角的三角函数值、零次幂、乘方先化简，然后算乘法，最后算加减法即可； （2）根据配方法可以解答本题． 本题考查实数的运算、解一元二次方程，熟练掌握运算法则和配方法解一元二次方程是解答本题的关键． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ， ， ，． 18. 为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．越味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：④结合统计图分析数据并得出结论． （1）请对张老师的工作步骤正确排序______． （2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是______． A．随机抽取八年级三班的40名学生 B．随机抽取八年级40名男生 C．随机抽取八年级40名女生 D．随机抽取八年级40名学生 （3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图，假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班． 【答案】（1）①③②④ （2）D （3）估计该校八年级至少应该开设5个趣味数学班． 【解析】 【分析】（1）根据正确的工作步骤填空即可； （2）根据抽样调查的可靠性解答可得； （3）用八年级的总人数分别乘以选择趣味数学班的学生所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：张老师的工作步骤，先抽取40名学生作为调查对象；收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：整理数据并绘制统计图；最后结合统计图分析数据并得出结论． 故答案为：①③②④； 【小问2详解】 解：取样方法中，合理的是：D．随机抽取八年级40名学生， 故选：D； 【小问3详解】 解：1000名学生选择B．越味数学的人数有：1000×=200（名）， 200÷40=5(个) 估计该校八年级至少应该开设5个趣味数学班． 【点睛】本题考查条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 19. 如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接． （1）求B，C及顶点D的坐标， （2）求三角形的面积； 【答案】（1）B坐标为，C坐标，D坐标 （2）15 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图象与性质，求解即可； （2）连接，作于点E，于点F，可得，求解即可． 【小问1详解】 解： 当时， ∴ ∴B坐标为 当时， ∴C坐标 ∵ ∴D坐标； 【小问2详解】 解：连接，作于点E，于点F ∵D坐标，B坐标为，C坐标 ∴ ∴ ． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，涉及了三角形面积的求解，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 20. 如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】解：若选①， 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 选择②，不能证明． 若选③， 证明：∵， ∴，∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 21. 小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，（点A、B、C、D在同一平面内） （1）求点D与点A的距离； （2）求隧道的长度．（结果保留根号） 【答案】（1）点D与点A的距离为300米 （2）隧道的长为米 【解析】 【分析】（1）根据方位角图，易知，，解即可求解； （2）过点D作于点E．分别解，求出和，即可求出隧道的长 【小问1详解】 由题意可知：， 在中， ∴（米） 答：点D与点A的距离为300米． 【小问2详解】 过点D作于点E． ∵是东西走向 ∴ 在中， ∴ 在中， ∴ ∴（米） 答：隧道的长为米 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 22. 如图，两个边长为的等边三角形和，点，，在同一直线上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图不写作法，保留作图痕迹： （1）在图中作出的中点； （2）在图中作出的一个三等分点，连接，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】（1）连接交于点，点即所求，理由：证明≌，即可求解； （2）延长，交于点，连接，，与交于点，接，并延长交于点，连接交于点，点即为所求，理由：证明是等边三角形，可得，再证得四边形是菱形，可得，点是的中点，从而得到，再由点为的中点，可得，从而得到点为的中点，继而得到，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接交于点，点即为所求； 理由：和为两个全等等边三角形， ，， ， ，， ， 即点为的中点； 【小问2详解】 解：如图，延长，交于点，连接，，与交于点，连接，并延长交于点，连接交于点，点即为所求， 理由：和为两个全等的等边三角形， ，，， ，，， 四边形是平行四边形， 是等边三角形． ， ， 四边形是菱形， ，点是的中点， ， 类比（1）得：点为的中点， ， 即点为的中点， ， ：：：， ：：， 点为的三等分点． 连接，过点作， ，， ，， ， ， ，，， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、勾股定理，菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、熟练掌握等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，，，点是边上的任一点不包括端点，，过点作交的延长线于点，设． （1）求的长用含的代数式表示； （2）如图，连接交于点，连接，当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，结合题干可得，进而可得，进而可得，利用相似三角形的性质可得的长度； （2）先根据，进而可得四边形是平行四边形，通过勾股定理可得． 本题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质、勾股定理，解直角三角形等知识点．利用三角形相似的性质是解决本题的难点和关键． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， 即， ； 【小问2详解】 解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）当该商品的销售价为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）当售价为326元时，获利最大，最大为10580元 （2）每件降价60元 【解析】 【分析】（1）设每件商品应降价x元，则售价为元，此时销量为：件，设利润为W，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质即可作答； （2）设每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系“每件商品的利润×商品的销售数量=总利润”列出方程，解方程即可解决问题． 【小问1详解】 设每件商品应降价x元，则售价为元，此时销量为：件，设利润为W， 根据题意有：， 整理，得：， 即当降价34元时，所获的利润最大，且最大利润为：10580元， 此时售价为（元）， 即当售价为326元时，获利最大，最大为10580元； 【小问2详解】 设每件商品应降价x元，则销售量为：件， 由题意得， 整理，得：， 解得， ， 当时，销售量为：（件）； 当时，销售量为：（件）； 要更有利于减少库存，则， 即要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及列一元二次方程解实际问题的知识，解答时，明确题意，根据销售问题的数量关系建立函数关系式和一元二次方程是关键． 25. 如图，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，且交于、两点（在、之间）．我们把点称为关于直线的“远点”，把的值称为关于直线的“远离数”． （1）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．半径为的与两坐标轴交于点、、、． ①过点画垂直于轴的直线，则关于直线的“远点”是点______（填“”、“”、“”或“D”），关于直线的“远离数”为______； 若直线的函数表达式为．求关于直线的“远离数”； （2）在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作．若与直线相离，点是关于直线的“远点”．且关于直线的“远离数”是，求直线的函数表达式． 【答案】（1）①；；②关于直线的“远离数”为 （2） 【解析】 【分析】（1）①利用“远点“和“远离数”的定义解答即可； 利用函数的解析式求得与坐标轴的交点坐标，再利用直角三角形的边角关系定理和含角的直角三角形的性质求得线段，进而得到线段，的长度，用“远离数”的定义解答即可； （2）设直线的函数表达式为，利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：当时，过点作于点，过点作轴于点，利用“远离数”的定义求得线段的长度，得到为等腰直角三角形，过点作轴于点，的延长线交的延长线于点，过点作轴于点，则，设，利用全等三角形的判定与性质得到，，进而得到，，列出关于，的方程组，解方程组得到点的坐标，再利用待定系数法解答即可得出结论；当时，利用中的方法解答即可． 【小问1详解】 解：①由题意得：关于直线的“远点”是点， 点的坐标为，的半径为， ，，， ， ， 关于直线的“远离数”为． 故答案为：；； 设直线分别交轴，轴于点，， 令，则， ， ． 令，则， 解得：， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 关于直线的“远离数”为； 【小问2详解】 设直线的函数表达式为， 当时， 由题意得：，，， ． 过点作于点，过点作轴于点，如图， ，， ，，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形． 过点作轴于点，的延长线交的延长线于点，过点作轴于点，则，设， 四边形为矩形，四边形为矩形， ，，，． ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 解得：， ， ， ， 直线的函数表达式为； 当时， 由题意得：，，， ． 由知：， ， ， 为等腰直角三角形． 过点作轴于点，过点作轴于点，的延长线交的延长线于点，过点作轴于点，则，，，设， 四边形为矩形，四边形为矩形， ，，，． ． ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 直线的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解决此类问题常用的方法． 26. 如图，已知抛物线经过点，过点的直线平行于轴，横坐标分别，的点、在抛物线上，且位于在直线异侧，连接，，，线段与直线相交于点． （1）求的值； （2）若，． 求的值； 试判断是否平分，并说明理由； （3）若平分，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由． 【答案】（1）的值为 （2）①的值为；②平分，理由见解析 （3）的值不变化，这个值为 【解析】 【分析】（1）把代入可得的值为； （2）当，时，，；由，得直线解析式为，即可得，； 过作于，过作交延长线于，由，，；可得，，故，从而平分； （3）过作于，过作交延长线于，由平分，可得，即，故；由，得直线解析式为，，有，而，故． 【小问1详解】 解：把代入得： ， 解得， 的值为； 【小问2详解】 解：由（1）知， 当，时，，； 设直线为， ∵，， ∴， 解得， 直线解析式为， 在中，令得：， 解得， ， ， ， 的值为； 平分，理由如下： 过作于，过作交延长线于，如图： ，，； ，，，， ，， ， ， 平分； 【小问3详解】 解：的值不变化，理由如下： 过作于，过作交延长线于，如图： 平分， ， ， ， ，横坐标分别，， ，； ， ，，，； ， ， ； 由，得直线解析式为， 在中，令得：， 解得， ， ， ， ， ， ． 的值不变化，这个值为． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，角平分线的判定，锐角三角函数的应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $