精品解析：陕西省西安市陕西师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

高三年级开学检测数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题8分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：求出集合后可求. 【详解】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】判断两个等式的、关系，利用充分必要条件判断即可. 【详解】，由等价于；若等价于； 所以，则“”是“”的充分必要条件. 故选：C 3. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析命题、的真假，进而分析选项，可得答案. 【详解】当时，，所以命题为假命题，则命题为真命题； 当时，，所以命题为真命题，则命题为假命题； 所以和都是真命题. 故选：C 4. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案. 【详解】因为，所以，定义域为； 因为，所以， 故，所以为奇函数，排除B， 当逼近于，逼近于，排除D， 由，，则，排除C， 故选：A. 6. 若为函数（其中）的极小值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意易得，令，得或；分和讨论，即可得出选项. 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故； 由，令，解得或； ①当时，若为极小值点，则需满足：，故有； ②当时，若为极小值点，则需满足：，故有，故A，C选项错误； 综合①②有：，故B正确； 故选：B 7. 已知函数有唯一的零点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析出函数的图象关于直线对称，可得出，由此可解得实数的值. 【详解】， 所以，， 所以，函数的图象关于直线对称， 若，则函数的零点必成对出现，即函数的零点个数为偶数，不合乎题意. 由于函数有唯一零点，则，解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题利用函数有唯一零点求参数值，解题的关键在于分析出函数的单调性，通过分析出函数的零点成对出现而得出，从而求解，在解题时要注意对函数的基本性质进行分析，从而找到问题的突破点. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对，的大小作出判定，对于与，与的大小关系，将换成,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括的较小范围内的单调性，结合,即可得出与，与的大小关系. 【详解】因为,所以； 下面比较与的大小关系. 记,则,， 由于 所以当时，,即,, 所以在上单调递增， 所以,即,即； 令,则,, 由于，在时,, 所以,即函数在上单调递减，所以,即,即；综上，． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:) A. B. 经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C. 经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D. 若年后，样本中氚元素的含量为，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出，再判断D即可. 【详解】由题意得，故有， 左右同时取对数得，故得，故A错误， 当时，，故B错误， 而当时，， 得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确， 由题意得，化简得， ， 将代入其中，可得，故D正确. 故选：CD 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 方程有3个解 C. 当时， D. 曲线有且仅有一条过点的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】直接验证可判断A，对表达式进行变换，可判断B和C，直接给出两条符合条件的切线，可判断D. 【详解】对于A，由于，从而 ，故A正确； 对于B，由于当时有， 当时有， 故方程在上无解； 而当时有，故在上递增，从而方程在上至多有一个解. 所以方程总共至多有一个解，不可能有3个解，故B错误； 对于C，当时，由有， 且由有， 从而，故C正确； 对于D，由于，故，. 而，，故曲线在和处的切线分别是和，这两条切线均过点，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于从多种角度研究三次函数的性质. 11. 已知定义在上不为常数的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用赋值法依次验证各个选项. 【详解】对于A，令，则，即， 又函数不为常数，，即，故A正确； 对于B，令，则， 令，则，得， 令，则，得，故B正确； 对于C，令，则，所以，即，故C错误； 对于D，令，则，所以， 则，又， ， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项，解题关键是先证明，结合，利用基本不等式证明. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是偶函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数可得，代入即可求解； 【详解】由题可得函数的定义域为，定义域关于原点对称； 因为函数是偶函数， 所以，即，所以； 故答案为： 13. 已知且，则______． 【答案】64 【解析】 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 14. 若函数在单调递增，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，将问题转化为在恒成立即可求解》 【详解】由题可得 即， 因为函数在单调递增，所以在上恒成立， 因为当时，，则在上恒成立， 则，因为时，，所以， 综上，的取值范围为； 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【小问1详解】 ，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 16. 设函数， （1）判断函数的奇偶性； （2）解不等式 【答案】（1） 函数为奇函数，证明如下： 由题意可得：，解得， 所以函数的定义域为， 又因为 ， 即，所以函数为奇函数. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求的定义域，结合奇函数的定义分析证明； （2）利用导数求出在上的单调性，结合单调性和奇偶性，将不等式转化为：即可求解》 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 所以， 所以在上单调递减， 因为函数为奇函数.，所以不等式等价于， 由于，，函数在上单调递减， 所以等价于，解得：， 所以不等式的解集为， 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 18. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3） 【解析】 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【小问1详解】 时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 19. 若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”． （1）已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合； （2）已知函数，设集合． （i）求集合中元素的个数； （ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间 ，使得 是的一个“封闭区间”． 【答案】（1） （2）（i）2； （ii）证明：由（i）得，假设长度为的闭区间是的一个“封闭区间”， 则对，， 当时，由（i）得在单调递增， ，即，不满足要求； 当时，由（i）得在单调递增， ， 即，也不满足要求； 当时，闭区间，而显然在单调递增， ， 由（i）可得，， ，满足要求． 综上，存在唯一的长度为的闭区间，使得 是的一个“封闭区间”． 【解析】 【分析】（1）根据“封闭区间”的定义，对函数求导并求出其值域解不等式可得的取值集合； （2）（i）对求导得出函数的单调性，利用零点存在定理即可求得集合中元素的个数为2个； （ii）根据区间长度的定义，对参数 进行分类讨论得出的所有可能的“封闭区间”即可得出证明. 【小问1详解】 由题意，，， 恒成立，所以在上单调递增， 可得的值域为， 因此只需， 即可得，即， 则的取值集合为． 【小问2详解】 （i）记函数， 则， 由得或；由得； 所以函数在和上单调递增，在上单调递减． 其中，因此当时，，不存在零点； 由在单调递减，易知，而， 由零点存在定理可知存在唯一的使得； 当时，，不存在零点． 综上所述，函数有0和两个零点，即集合中元素的个数为2． （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“封闭区间”的定义，结合导函数判断出各函数的单调性和对应的单调区间，再结合区间长度的定义分类讨论即可得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级开学检测数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题8分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若为函数（其中）的极小值点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有唯一的零点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:) A. B. 经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C. 经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D. 若年后，样本中氚元素的含量为，则 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 方程有3个解 C. 当时， D. 曲线有且仅有一条过点的切线 11. 已知定义在上不为常数的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是偶函数，则________． 13. 已知且，则______． 14. 若函数在单调递增，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 16. 设函数， （1）判断函数的奇偶性； （2）解不等式 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 18. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 19. 若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”． （1）已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合； （2）已知函数，设集合． （i）求集合中元素的个数； （ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间 ，使得 是的一个“封闭区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $