第七章 概率知识归纳与题型突破（10知识点+7题型）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

第七章 概率知识归纳与题型突破（10知识点+7题型） 知识点一：确定性现象与随机现象 1. 确定性现象：在一定条件下必然出现的现象. 2. 随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象. 知识点二：样本空间 1. 在概率与统计中，把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，一般用E来表示，把观察结果或实验结果称为试验结果. 2. 把一个试验所有可能的结果一一列举出来的方法叫作列举法. 该方法是计数问题中最基本的方法. 3. 一般地，将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间，记作Ω. 样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点，记作ω. 如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间. 知识点三：随机事件、必然事件与不可能事件 1. 随机事件：一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示. 2. 必然事件：样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件. 3. 不可能事件：空集⌀也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称⌀为不可能事件. 知识点四：各事件之间的关系及符号和图形表示 名称 定义 符号表示 图形表示 交事件(或积事件) 一般地，由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB)   并事件(或和事件) 一般地，由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A+B)   互斥事件 一般地，不能同时发生的两个事件A与B(A∩B=⌀)称为互斥事件 A∩B=⌀   对立事件 若A∩B=⌀，且A∪B=Ω，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作 A∪B=Ω，且 A∩B=⌀   知识点五：斥事件与对立事件 1. (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生； (2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. 2. 判断两个事件是不是互斥事件、对立事件的方法 (1)判断两个事件是不是互斥事件，先对样本点进行逻辑划分，再看它们在一次试验中能否同时发生. 若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件；若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件. (2)判断两个事件是不是对立事件，先对样本点进行逻辑划分，再看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生. 如果这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件；如果这两个条件中有一个不成立，那么这两个事件就不是对立事件. (3)利用Venn图进行分析，类比集合的关系进行判断. (4)对于关系较难判断的两个事件，可考虑列出全部样本点，再进行分析. 知识点六：事件的符号表示及其运算 1. 事件的符号及其表示的含义 符号 事件方面 集合方面 Ω 必然事件 全集 ⌀ 不可能事件 空集 事件A的对立事件 集合A的补集 A+B(或A∪B) 事件A与事件B的和事件(或并事件) 集合A与集合B的并集 AB(或A∩B) 事件A与事件B的积事件(或交事件) 集合A与集合B的交集 AB=⌀(或A∩B=⌀) 事件A与事件B互斥 集合A与集合B的交集为空集 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 2. 事件的混合运算 同数的加法、乘法混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算. 知识点七：古典概型的概率计算公式 1. 一般地，若试验E具有如下特征： (1)有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限，即样本空间Ω为有限样本空间; (2)等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等. 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型. 2. 对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)= = . 3. 互斥事件的概率加法公式 （1）在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)=P(A)+P(B). 特别地，P(A∪)=P(A)+P()，即P(A)+P()=1，所以P()=1-P(A). （2）一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 4、古典概型的概率的求解 （1）求古典概型的概率的关键是求样本空间包含的样本点总数和所求事件A包含的样本点个数，这就需要正确列出该试验包含的所有的样本点，样本点的表示方法通常采用列举法，具体应用时可根据需要灵活选择合适的列举方法. （2）解决古典概型实际问题的步骤 知识点八：频率的概念 1. 定义：在相同的条件下重复n次试验，观察某事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数m为事件A出现的频数，称为事件A出现的频率. 范围：事件A出现的频率的范围是0≤≤1. 2.概率的统计定义及性质 （1）统计定义：在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性. 这时，把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A). 我们通常用频率来估计概率. （2）性质：事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1. 当A是必然事件时，P(A)=1；当A是不可能事件时，P(A)=0. 3. 用频率估计概率 （1） 频率与概率的关系 ①频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率. ②频率本身是随机的，在试验前不能确定. ③概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关. （2）频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的频率. 频率本身是随机变化的，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率. 因此可以用频率估计概率. 知识点九：随机事件的独立性 1. 定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件. 2. 概率公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)=P(A)P(B). 3. 性质：(1)如果事件A与事件B相互独立，则A与与B， 与也相互独立. (2)如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An). 并且此式中任意多个事件Ai(i=1，2，…，n)换成其对立事件后等式仍成立. 4. “相互独立事件”与“互斥事件”的区别 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件是否发生对另一个事 件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生，即A∩B=⌀ 概率公式 A与B相互独立等价于P(A∩B)=P(A)·P(B) 若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，反之不成立 5. 判断事件的独立性 判断两个事件是否相互独立的方法 1. 直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率. 2. 定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，即两个事件同时发生的概率是否等于两个事件发生的概率的乘积. 3. 转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与 或 与B或 与 是否相互独立. 知识点十：相互独立事件与互斥事件的综合应用 　　已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率(A，B互斥) 概率(A，B相互独立) A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1-P()P()或 P(A)+P(B)-P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 P() 1-[P(A)+P(B)] P()P() A，B中恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A)P()+P()P(B) A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) P(A)或P(B) 1-P(A)P(B) 题型一 ：随机现象和样本空间 例1．下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【分析】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A 例2．向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用列举法表示即可. 【详解】依题意，事件表示两次点数和为6， 因此件用样本点表示为. 故选：A 例3．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 【答案】C 【分析】列出样本空间，进而可得到事件A与事件B，根据事件的运算求解即可. 【详解】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间． 其中事件A包含的样本点有：，，，共4个． 事件包含的样本点有：，共2个． 所以事件包含的样本点有：，，，，共5个； 事件包含的样本点有：共1个． 故选：C 巩固训练 1．下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【答案】C 【分析】根据现象的分类逐项分析判断. 【详解】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误； 对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误； 对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确； 对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误； 故选：C. 2．若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 【答案】D 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可. 【详解】随机试验的样本空间为， 则事件是随机事件，故A正确； 事件是必然事件，故B正确； 事件是不可能事件，故C正确； 事件是不可能事件，故D错误. 故选：D 题型二 ：事件运算及互斥和对立 例1．对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据事件关系，即可判断选项. 【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确. 故选：B 例2．某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲、乙、丙恰有两人中奖 B．甲、乙、丙都不中奖 C．甲、乙、丙至少有一人不中奖 D．甲、乙、丙至多有一人不中奖 【答案】C 【分析】根据题设及对立事件的定义写出A事件的对立事件即可. 【详解】事件“甲、乙、丙三名同学都中奖”的对立事件是“甲、乙、丙三名同学至少有一人不中奖”. 故选：C 例3．从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的含义分析即可得解. 【详解】从装口袋内一次取出2个球，按照取到白球数量分类有： 两球都不是白球；两球恰有一个白球；两球都是白球. 所以①②与事件“两球都为白球”互斥而不对立， 当“两球都为白球”时，③一定发生，所以③与事件“两球都为白球”不互斥. 故选：D 巩固训练 1．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 【答案】B 【分析】根据事件的关系与运算的概念进行判断. 【详解】由题可知，“向上的点数是1或3”为事件，“向上的点数是1或5”为事件， 所以事件不等于事件，故A错误； 事件表示“向上的点数是1或3或5”，故B正确，C错误； 事件表示“向上的点数是1”，故D错误； 故选：B. 2．在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（　　） A．与是互斥事件，也是对立事件 B． 与是互斥事件，也是对立事件 C． 与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 【答案】D 【分析】根据互斥事件的定义和对立事件的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】A中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与不是对立事件，故A错误； B中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与不是对立事件，故B错误； C中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与是对立事件，故C错误； D中，因为彼此互斥，故与互斥事件， 而，故与是对立事件，故D正确； 故选：D. 3．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（    ） A．为对立事件 B．为互斥不对立事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件 【答案】D 【分析】根据事件之间的关系，可得答案. 【详解】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确； 点数大于2与点数小于2不可能同时发生，且不是必有一个发生，G，H为互斥且不对立事件，选项B正确； 点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确； 点数大于2与点数为3可能同时发生，G，R为不互斥事件，选项D不正确. 故选：D. 4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，先将事件等价求出，再结合事件之间的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意得，事件第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中 ，事件恰有一枚击中或两枚都击中， 对于A中，由事件两炮弹都击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得，正确； 对于B中，由事件两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得事件与事件是互斥事件，所以，正确； 对于C中，由事件两炮弹都击中飞机，两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得不是必然事件，为必然事件，所以，不正确； 对于D中，事件两炮弹都击中飞机，恰有一炮弹击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得至少有一炮弹击中飞机，所以，正确. 5．对空中移动的目标连续射击两次，设{两次都击中目标}，{两次都没击中目标}，{恰有一次击中目标}，{至少有一次击中目标}，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据事件之间的关系与运算对每个选项进行判断即可. 【详解】对于选项A，事件包含于事件，故A正确； 对于选项B，由于事件，不能同时发生，故，故B正确； 对于选项C，由题意知，故C错误； 对于选项D，由于至少有一次击中目标，恰有一次击中目标，所以两次都击中目标，故D正确． 故选：ABD. 题型三 ：古典概型 例1．抛掷2枚质地均匀的骰子，在掷出的两枚骰子点数之和为6点的条件下，点数均为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法，利用古典概型计算公式，即可求解. 【详解】掷出的两枚骰子的点数之和为6点包含，共5种情况，其中点数均为奇数的有，共3种情况， 所以概率. 故选：A 例2．在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设3个红球为A,B,C,2个黑球为,分别列出试验的样本空间和所求事件含的基本事件，利用古典概型概率公式计算即得. 【详解】设3个红球为A,B,C,2个黑球为. 因为试验为“从中依次不放回地随机抽取出2个球”， 故试验的样本空间为：， 记“两次取到的球颜色相同”,则， 由古典概型概率公式，可得. 故选：B. 例3．将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次，则朝上面的两个点数之积为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列出样本空间，根据古典概型的概率公式计算即可. 【详解】将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次，样本空间 ， 共有36个样本点， 记“朝上面的两个点数之积为偶数”为事件， 则事件 ，有27个样本点， 所求概率为， 故选：D． 巩固训练 1．在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5，6的6个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出标注的数字之差的绝对值为2或4的小球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法得到总的基本事件与满足条件的基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式即可得解. 【详解】从6个小球中任取2个小球有， ，共15种情况， 其中数字之差的绝对值为2或4的有，共6种情况， 则所求概率. 故选：C. 2．已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527   0293   7140   9857   0347   4373   8636   6947   7610   4281 1417   4698   0371   6233   2616   8045   6011   3661   9597   7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（   ） A．0.852 B．0.7 C．0.8 D．0.75 【答案】D 【分析】根据给定的随机数表，求出只击中1次或2次的频数，再求出古典概率. 【详解】由已知的数表知，射击运动员射击4次，只击中1次或2次的有7140，7610，1417，0371，6011，共5组， 因此该射击运动员射击4次，至少击中3次的有15组， 所以该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为. 故选：D 3．若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，则关于 的一元二次方程有实根的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取出数字，，先列举出所有可能结果，进而结合找到一元二次方程有实根的所有结果，由古典概型的概率计算公式得出答案. 【详解】由题意，是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数， 则总的基本事件为：，，，共有12个， 因为一元二次方程有实根，则，即， 满足条件的有，，，共9个. 所以方程有实根的概率为 . 故选：B. 4．大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带分别为，列出随机试验的样本空间，列出随机事件的样本点，利用古典概型概率公式求结论. 【详解】设大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带分别为， 则随机试验从三个文化带中随机选取两个文化带的样本空间为， 随机事件所选的两个文化带中包含大运河文化带包含样本点， 所以随机试验所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率. 故选：C. 5．某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案. 【详解】这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为. 故选：A 6．在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，5和7等.从不超过20的素数中随机抽取2个，则这2个数是孪生素数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出基本事件总数，再求出符合题意的基本事件数，利用古典概型公式即可求出答案. 【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个， 从中随机抽取2个，有种情况， 其中孪生素数有，，，共4种情况， 则这2个奇数是孪生素数的概率为. 故选：A. 7．某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分．现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为 [ 40,50），[ 50,60），[ 60,70），[ 70,80），[ 80,90），[ 90,100 ]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求m的值，并求这100名学生成绩的平均数和中位数（保留一位小数）； (2)现采用分层抽样的方式从 [ 50,60）和 [ 70,80）的学生中抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者分数差大于10分的概率． 【答案】(1)，平均数为72分 ，中位数为 分 (2) 【分析】（1）利用个小矩形面积之和为1求解，再利用平均数和中位数的公式求解即可； （2）先求出每个区间抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】（1），解得， 平均数为， 中位数为 分； （2）在[ 50，60）中抽取人，记为； 在[ 70，80）中抽取人，记为. 所有的取法为：共15种. ，满足条件的有共8种. 所求概率为. 8．某校为了解学生对安全知识的重视程度，进行了一次安全知识答题比赛.随机抽取的100名学生的笔试成绩（满分200分），分成共五组后，得到的频率分布图表如下所示： (1)求这100名参赛者得分的第85百分位数； (2)估计这100名学生的成绩的平均数. (3)为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3､4､5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率. 【答案】(1)178.75 (2)172 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图，结合百分位数的定义运算求解即可； （2）根据频率分布直方图，结合平均数的公式运算求解即可； （3）根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）因为频率分布直方图中，位于最后一组的频率为， 位于的频率为，且 所以得分的第85百分位数位于内，设为， 则由，解得：， 所以这100名参赛者得分的第85百分位数为178.75. （2）估计这100名学生的成绩的平均数 . （3）因为第组的频率分别为：，共计0.6， 所以第3､4､5组共有60名选手，利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为： 第3组：人，第4组：人，第5组：人， 所以第组分别抽取3人､2人､1人进入第二轮面答. 设第3组的3位学生为，第4组的2位学生为，第5组的1位学生为， 则从这6位学生中抽取2位学生有： ，，，共15种情况. 抽到的2位学生不同组的有： ，，，共11种情况. 所以抽到的2位学生不同组的概率为. 题型四 ：频率与概率 例1．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．20万件 【答案】C 【分析】确定这类产品的合格率是95%，然后利用样本估计总体的思想，即可求出该厂这20万件产品中合格品的件数． 【详解】因为某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格， 所以合格的有95件， 所以合格率为， ∴估计该厂这20万件产品中合格品约为万件， 例2．从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 【答案】C 【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在之间的频率，用频率估计概率，可得结果. 【详解】在所给的数据中，在之间的数据有498,501,500,501,499共5个， 所以数据在之间的频率为：. 用频率估计概率，则所求概率为. 故选：C 例3．一记者采访某大学的学生群体，在购物时采用现金支付还是非现金支付的情况，其中只用现金支付的概率为0.2，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3，则不用现金支付的概率为（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【分析】利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】该群体中的成员不用现金支付的概率为. 故选：B. 巩固训练 1．盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 . 【答案】 【分析】依题意由事件代表的随机数计算出符合题意的随机数组数，由古典概型公式计算可得结果. 【详解】根据题意可知“联”、“盟”两个字都抽取到，代表三个数字中同时出现数字2和3， 观察发现组随机数中有233，320，231，231，132，123，023，230，321，232，共10组， 再由古典概型公式计算可得事件发生的概率为. 故答案为： 2．在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 【答案】D 【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据20组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解. 【详解】表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432， 334，151，314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为. 故选：D 3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．213石 B．152石 C．169石 D．196石 【答案】C 【分析】根据抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，可计算出夹谷的频率，从而可解． 【详解】根据题意，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则样本中夹谷的频率为， 则这批米内夹谷约为（石， 故选：C 4．某企业有A，B两个车间生产同一种型号的产品，检验小组对两个车间各生产的100件产品均随机抽取6件检测、获得质量指标值（满分值为10，8分为合格品），如下表所示： A车间产品质量指标 10 9 7 8 10 10 B车件产品质量指标 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计A，B两车间生产该批次产品的合格率； (2)分别求出6件产品的平均数与方差，以此为依据，判断哪个车间生产质量更好？ 【答案】(1) (2)B车间,理由见解析 【分析】（1）根据题意算出频率，以频率作为概率即可求解； （2）根据平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）从数据可知，在随机抽取6件产品中， A车间生产该批次产品的合格量为，频率为，B车间生产该批次产品的合格量为，频率为， 以频率作为概率，A，B两车间生产该批次产品的合格率均为； （2）A车间生产随机抽取6件产品的平均数为， 方差为， B车间生产随机抽取6件产品的平均数为， 方差为， 因为，所以A车间生产的产品质量比B车间生产的产品质量更稳定，故选A车间生产的产品更好. 5．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率； (2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 【答案】(1) (2)新养殖法更加优于旧养殖法. 【分析】（1）通过计算旧养殖法的箱产量低于50kg的频率来估计其概率； （2）利用平均数进行比较判断即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 ， 所以事件A的概率估计值为； （2）由频率分布直方图可得 旧养殖法100个网箱的箱产量的平均数为 ， 新养殖法100个网箱的箱产量的平均数为 ， 因为， 所以新养殖法更加优于旧养殖法. 题型五 ：事件的独立性 例1．为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛.已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，，，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先结合对立事件概率公式，利用独立事件乘法公式求得没有一人成功的概率，再由对立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，，， 则甲、乙、丙三位同学在比赛中都不能成功包制一个粽子的概率为， 则在比赛中至少一人成功的概率为. 故选：C 例2．从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从乙袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从两袋中有放回的各摸两次球且每次摸出一个球，则是（    ） A．4个球不都是红球的概率 B．4个球都是红球的概率 C．4个球中恰有3个红球的概率 D．4个球中恰有1个红球的概率 【答案】C 【分析】由独立事件乘法公式及互斥事件计算公式即可求解 【详解】4个球都是红球的概率为，故B错误； 4个球不都是红球的概率为，故A错误； 4个球中恰有3个红球的概率为，故C正确； 4个球中恰有1个红球的概率，故D错误. 故选：C. 例3．2023年11月26日丽江至香格里拉铁路（丽香铁路）正式开通运营，至此，平均海拔高度3380米的云南省迪庆藏族自治州结束不通铁路的历史，正式迈入“动车时代”.若甲、乙、丙三位同学在寒假期间从香格里拉坐动车到丽江游玩的概率分别为，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内恰好有1人从香格里拉坐动车到丽江游玩的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的和事件、相互独立事件同时发生的概率公式求解即得. 【详解】记事件“甲从香格里拉坐动车到丽江游玩”， “乙从香格里拉坐动车到丽江游玩”，“丙从香格里拉坐动车到丽江游玩”，事件“恰好有1人从香格里拉坐动车到丽江游玩”， 则由题意可知，事件相互独立，， 且事件两两互斥，其中， 则有， 故由互斥事件的和事件概率公式与相互独立事件同时发生的概率公式可得 . 故这段时间内恰好有1人回老家过节的概率为. 故选：A 巩固训练 1．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由独立乘法、互斥加法公式计算即可求解. 【详解】租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况． 都付0元的概率为； 都付2元的概率为； 都付4元的概率为． 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为． 故选：D. 2．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分三种情况，甲第一次即投中，第二次投中，第三次投中，求出相应的概率相加后得到答案. 【详解】甲获胜分为三种情况， 甲第一次即投中，此时概率为， 甲第一次没有投中，第二次投中，乙没有投中， 此时概率为， 甲前两次没有投中，第三次投中，乙两次均未投中， 此时概率为， 故甲获胜的概率为. 故选：C 3．2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率. 【答案】(1)和 (2). 【分析】（1）借助对立事件的性质及相互独立事件乘法公式计算即可得； （2）借助相互独立事件乘法公式计算即可得. 【详解】（1）设甲､乙､丙三名同学各自成功解出该道题分别为事件. 因为，所以. 又，所以，即. 又，所以， 即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为和. （2）设这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件， 则 ， 所以这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为. 4．甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为． (1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率； (2)若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）甲获胜有两种情况，分别计算出概率，再相加即可； （2）甲获胜有三种情况，分别计算出概率，再相加即可. 【详解】（1）第一局由乙丙对战，甲获胜有两种情况： ①乙丙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜，则概率为； ②乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，甲乙对战甲胜，则概率为； 综上，甲获胜的概率为. （2）若第一局甲乙对战，则甲获胜有三种情况： ①甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为， ②甲乙对战甲胜，甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜的概率为， ③甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，乙甲对战甲胜的概率为， 所以最终甲获胜的概率为. 题型六 ：事件运算概率的计算 例1．设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若是对立事件，则 B．若A，B是互斥事件，，则 C．若是独立事件，，则 D．若，且，则是独立事件 【答案】D 【分析】根据对立事件的概念判断A；根据互斥事件的概率加法公式判断B；根据独立事件的定义及概率公式判断CD. 【详解】对于A，若A，B是对立事件，则，A错误； 对于B，若A，B是互斥事件，，则，B错误； 对于C，若A，B是独立事件，则是独立事件，而，则，C错误； 对于D，，则， 又，则A，B是独立事件，D正确. 故选：D 例2．已知事件A，B互斥，A，B都不发生的概率为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用互斥事件概率及对立事件概率性质即可求解. 【详解】因为事件A，B互斥，A，B都不发生的概率为， 所以， 而，解得， 所以， 故选：C. 例3．已知事件A，B互斥，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由互斥事件的概率加法公式求出，然后求解即可. 【详解】因为事件A，B互斥，所以， 又，所以，故， 故选：D 巩固训练 1．已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则事件与相互独立 C．若与互斥，则 D．若发生时一定发生，则 【答案】B 【分析】对于A，利用独立事件的概率乘法公式和概率加法公式可判断；对于B，利用独立事件的概率乘法公式即可判断；对于C，利用互斥事件的概率加法公式计算判断；对于D，利用必然事件的概率为1即可判断. 【详解】对于A，由与相互独立，可得, 则，故A错误； 对于B，由可得， 因，故B正确； 对于C，由与互斥，可得，故C错误； 对于D，因发生时一定发生，故,故D错误. 故选：B. 2．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 【答案】C 【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D. 【详解】对于A，若是对立事件，则，A错误； 对于B，若是互斥事件，，则，B错误； 对于C，，则，， 又，则是独立事件，C正确； 对于D，若是独立事件，则是独立事件，而， 则，D错误. 故选：C 3．已知事件发生的概率分别为，则（   ） A． B． C．若，则 D．一定有 【答案】AB 【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A：因为，故A正确； 对B：因为，所以， 所以. 故B正确； 对C：由，所以，所以C错误； 对D：记事件：掷一枚骰子，得到点数小于3.则，记事件：掷一枚骰子，得到点数为6,.则，但不成立，故D错误. 故选：AB 4．从这20个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则对下列事件概率描述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，由条件可得事件的基本事件个数，结合古典概型的概率公式即可判断AB，由和事件的概率公式以及对立事件的概率公式即可判断CD. 【详解】由题意可知，共10个， 共6个，则共3个， 则，故A正确；，故B正确； ，故C错误； ，故D正确； 故选：ABD 5．设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若相互独立，则 【答案】AC 【分析】A选项，；B选项，；C选项，，C正确；D选项，若相互独立，则相互独立，利用进行求解. 【详解】对于A，若，则，A正确； 对于B，若，则事件互斥， 所以，B错误； C选项，因为，所以，则相互独立，C正确； D选项，若相互独立，则相互独立，且， 所以，D错误． 故选：AC． 题型七 ：概率的综合应用 例1．在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入决赛（比赛采用三局两胜制，即率先获得两局胜利者赢得比赛，随即比赛结束）.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.某同学利用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示甲获胜，当出现4或5时，表示乙获胜，以每3个随机数为一组进行冠军模拟预测，如果产生如下20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342  534 443 512 541 125 432 334 151 314 354， 根据频率估计概率的思想，下列说法正确的有（ ） A．甲获得冠军的概率近似值为0.65 B．甲以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.5 C．比赛总共打满三局的概率近似值为0.6 D．乙以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.15 【答案】AD 【分析】由20组随机数中的数字组合，根据获胜规则得出相应的数字组合，即可得出对应概率. 【详解】根据题意可知，20组随机数中表示甲获胜的共有423 123 423 114 332 152 342 512 125 432 334 151 314，即共有13组， 因此甲获得冠军的概率近似值为，即A正确； 甲以2：0的比分获得冠军需满足前两个数为1，2或3，共有123 114 332 125 334 314， 共6组数据，其概率接近，即B错误； 比赛总共打满三局的数字组合需满足前两个数为出现一次1，2或3，出现一次4或5， 共有423 423 344 525 152 342 534 512 432 151 354， 比赛总共打满三局的概率近似值为,即C错误； 乙以2：0的比分获得冠军的数字组合共有453 443 541，共3组， 可知乙以2：0的比分获得冠军的概率近似值为，即D正确. 故选：AD 例2．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是3”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与独立 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义逐项判断即可. 【详解】试验的样本空间 ， 事件， ，， 对于A，事件与没有公共的基本事件，与互斥，A正确； 对于B，显然是中元素，也满足事件，即与可以同时发生，B错误； 对于C，，，，，与独立，C正确； 对于D，，，，与独立，D正确. 故选：ACD 例3．人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为，A型的基因类型为或，B型的基因类型为或，型的基因类型为，其中，a和b是显性基因，i是隐性基因.则下列说法正确的是（   ） A．若父亲的血型为型，则孩子的血型可能为O型 B．若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有26种 C．若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为 D．若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，则孩子也是型的概率为 【答案】BC 【分析】若父亲的血型为型，母亲的血型任意，列出孩子的基因类型所有情况，即可判断A；若父母的血型不相同，列出所有情况计算即可判断B；若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，可得父亲的基因类型及计算出相应概率，再根据父亲、母亲的基因类型可得孩子的基因类型及计算出相应概率，进而可判断C，D. 【详解】若父亲的血型为型，即基因类型为， 则母亲的可以是：，，，，，， 则孩子的血型的基因类型为，，，，，没有，即孩子的血型不可能为O型，故A错误； 若父母的血型不相同， 当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共5种； 当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种； 当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种； 当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种； 当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种； 当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共5种， 所以父母血型的基因类型组合有种，故B正确； 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，即基因类型为， 则父亲血型的基因类型可能是，，，其对应的概率分别为，，， 当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，， 对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为； 当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，， 对应的概率分别为，，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为； 当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，， 对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为； 综上，若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为，故C正确，D错误. 故选：BC. 巩固训练 1．已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若，则与相互独立 D．若发生时一定发生，则 【答案】BC 【分析】选项A，利用互斥事件的概率公式，即可求解；选项B，利用，求得，即可求解；选项C，利用相互独立的判断方法，即可求解；选项D，由题知，即可求解. 【详解】对于选项A，因为与互斥，则，所以选项A错误， 对于选项B，与相互独立，则，所以选项B正确， 对于选项C，因为，所以，由相互独立的定义知与相互独立，所以选项C正确， 对于选项D，因为发生时一定发生，所以，则，所以选项D错误， 故选：BC. 2．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】BC 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色不全相同的结果有24种， ,其概率为，故B正确； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故C正确； 无红球的结果有8种，其概率为，故D错误． 故选：BC. 3．某市高一年级举行了阶段性检测，为了了解本次检测的学生成绩情况，从中抽取了200名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示．则（    ） A．图中 B．估计该市全体学生成绩的平均分为71 C．若对成绩前的学生进行奖励，则受奖励学生的考试成绩大约至少为84分 D．若在的样本成绩对应的学生（包括学生甲和乙）中随机选取两名进行访谈，则甲、乙两人至少抽到一人的概率为 【答案】ACD 【分析】对于A：根据频率和为1分析求解；对于B：根据加权平均数公式分析求解；对于C：设受奖励学生的考试成绩大约至少为m分，可知，列式求解即可；对于D：可得在的人数为8，结合独立事件概率乘法公式以及对立事件概率求法运算求解. 【详解】对于选项A：由频率分布直方图可知每组频率依次为， 则，解答，故A正确； 对于选项B：估计该市全体学生成绩的平均分为 ，故B错误； 对于选项C：因为， 设受奖励学生的考试成绩大约至少为m分，可知， 则，解得， 所以受奖励学生的考试成绩大约至少为84分，故C正确； 对于选项D：成绩在的人数为， 设甲、乙两人至少抽到一人为事件A，则， 所以，故D正确； 故选：ACD. 4．已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（    ） A．从高中生中抽取了460人 B．每名学生被抽到的概率为 C．估计该地区中小学生总体的平均近视率为60% D．估计高中学生的近视人数约为44000 【答案】BD 【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】高中生抽取人，A选项错误. 每名学生被抽到的概率为，B选项正确. 学生总人数为， 估计该地区中小学生总体的平均近视率为， C选项错误. 高中学生近视人数约为人，D选项正确. 故选：BD 5．某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)求频率分布直方图中a的值．若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数. (2)用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数. (3)若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 【答案】(1)，12人中成绩不低于90分的人数为1； (2)平均数约为分，中位数约为分； (3). 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1可求的值，再根据分层随机抽样可得12人中成绩不低于90分的人数； （2）根据频率分布直方图及平均数与中位数的定义计算即可； （3）根据相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得. 的频率为，的频率为， 的频率为，按分层抽样方法抽取12人的成绩， 则12人中成绩不低于90分的人数为. （2）该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数为： . 的频率为， 的频率为， 设中位数为,则， 则，解得， 故该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数约为分，中位数约为分. （3）设“至少有一位同学复赛获一等奖”， 则, 故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为. 6．甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为，且不同对阵的结果互不影响． (1)若甲队先主场后客场，且， （ⅰ）求甲队通过点球大战获得冠军的概率； （ⅱ）求甲队获得冠军的概率； (2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 【答案】(1)（i）；（ii） (2)“主客场比赛制”比“单场比赛制”更利于甲夺冠. 【分析】（1）（i）事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜，分三种情况，求出概率相加得到答案； （ii）甲队获得冠军包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，分四种情况，求出概率，相加即可； （2）在“单场比赛制”下，甲队获得冠军包含甲队胜、甲队平同时点球胜，计算出相应的概率，结合（1）中所求甲队获得冠军的概率，作差法比较出结论. 【详解】（1）（i）记甲队通过点球大战获得冠军为事件， 此事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜， 故， 因为，所以， 所以甲队通过点球大战获得冠军的概率为. （ii）记甲队获得冠军为事件， 事件包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜， 所以， 将代入得，， 所以甲队获得冠军的概率为 （2）由题意，记在“单场比赛制”下，甲队获得冠军为事件， 事件包含甲队胜、甲队平同时点球胜， 所以， 因为，所以，此时满足题意， ， 因为，所以， 故“主客场比赛制”比“单场比赛制”更利于甲夺冠. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！39 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 概率知识归纳与题型突破（10知识点+7题型） 知识点一：确定性现象与随机现象 1. 确定性现象：在一定条件下必然出现的现象. 2. 随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象. 知识点二：样本空间 1. 在概率与统计中，把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，一般用E来表示，把观察结果或实验结果称为试验结果. 2. 把一个试验所有可能的结果一一列举出来的方法叫作列举法. 该方法是计数问题中最基本的方法. 3. 一般地，将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间，记作Ω. 样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点，记作ω. 如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间. 知识点三：随机事件、必然事件与不可能事件 1. 随机事件：一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示. 2. 必然事件：样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件. 3. 不可能事件：空集⌀也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称⌀为不可能事件. 知识点四：各事件之间的关系及符号和图形表示 名称 定义 符号表示 图形表示 交事件(或积事件) 一般地，由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB)   并事件(或和事件) 一般地，由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A+B)   互斥事件 一般地，不能同时发生的两个事件A与B(A∩B=⌀)称为互斥事件 A∩B=⌀   对立事件 若A∩B=⌀，且A∪B=Ω，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作 A∪B=Ω，且 A∩B=⌀   知识点五：斥事件与对立事件 1. (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生； (2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. 2. 判断两个事件是不是互斥事件、对立事件的方法 (1)判断两个事件是不是互斥事件，先对样本点进行逻辑划分，再看它们在一次试验中能否同时发生. 若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件；若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件. (2)判断两个事件是不是对立事件，先对样本点进行逻辑划分，再看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生. 如果这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件；如果这两个条件中有一个不成立，那么这两个事件就不是对立事件. (3)利用Venn图进行分析，类比集合的关系进行判断. (4)对于关系较难判断的两个事件，可考虑列出全部样本点，再进行分析. 知识点六：事件的符号表示及其运算 1. 事件的符号及其表示的含义 符号 事件方面 集合方面 Ω 必然事件 全集 ⌀ 不可能事件 空集 事件A的对立事件 集合A的补集 A+B(或A∪B) 事件A与事件B的和事件(或并事件) 集合A与集合B的并集 AB(或A∩B) 事件A与事件B的积事件(或交事件) 集合A与集合B的交集 AB=⌀(或A∩B=⌀) 事件A与事件B互斥 集合A与集合B的交集为空集 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 2. 事件的混合运算 同数的加法、乘法混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算. 知识点七：古典概型的概率计算公式 1. 一般地，若试验E具有如下特征： (1)有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限，即样本空间Ω为有限样本空间; (2)等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等. 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型. 2. 对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)= = . 3. 互斥事件的概率加法公式 （1）在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)=P(A)+P(B). 特别地，P(A∪)=P(A)+P()，即P(A)+P()=1，所以P()=1-P(A). （2）一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 4、古典概型的概率的求解 （1）求古典概型的概率的关键是求样本空间包含的样本点总数和所求事件A包含的样本点个数，这就需要正确列出该试验包含的所有的样本点，样本点的表示方法通常采用列举法，具体应用时可根据需要灵活选择合适的列举方法. （2）解决古典概型实际问题的步骤 知识点八：频率的概念 1. 定义：在相同的条件下重复n次试验，观察某事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数m为事件A出现的频数，称为事件A出现的频率. 范围：事件A出现的频率的范围是0≤≤1. 2.概率的统计定义及性质 （1）统计定义：在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性. 这时，把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A). 我们通常用频率来估计概率. （2）性质：事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1. 当A是必然事件时，P(A)=1；当A是不可能事件时，P(A)=0. 3. 用频率估计概率 （1） 频率与概率的关系 ①频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率. ②频率本身是随机的，在试验前不能确定. ③概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关. （2）频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的频率. 频率本身是随机变化的，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率. 因此可以用频率估计概率. 知识点九：随机事件的独立性 1. 定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件. 2. 概率公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)=P(A)P(B). 3. 性质：(1)如果事件A与事件B相互独立，则A与与B， 与也相互独立. (2)如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An). 并且此式中任意多个事件Ai(i=1，2，…，n)换成其对立事件后等式仍成立. 4. “相互独立事件”与“互斥事件”的区别 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件是否发生对另一个事 件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生，即A∩B=⌀ 概率公式 A与B相互独立等价于P(A∩B)=P(A)·P(B) 若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，反之不成立 5. 判断事件的独立性 判断两个事件是否相互独立的方法 1. 直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率. 2. 定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，即两个事件同时发生的概率是否等于两个事件发生的概率的乘积. 3. 转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与 或 与B或 与 是否相互独立. 知识点十：相互独立事件与互斥事件的综合应用 　　已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率(A，B互斥) 概率(A，B相互独立) A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1-P()P()或 P(A)+P(B)-P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 P() 1-[P(A)+P(B)] P()P() A，B中恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A)P()+P()P(B) A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) P(A)或P(B) 1-P(A)P(B) 题型一 ：随机现象和样本空间 例1．下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 例2．向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 例3．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 巩固训练 1．下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 2．若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 题型二 ：事件运算及互斥和对立 例1．对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲、乙、丙恰有两人中奖 B．甲、乙、丙都不中奖 C．甲、乙、丙至少有一人不中奖 D．甲、乙、丙至多有一人不中奖 例3．从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 巩固训练 1．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 2．在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（　　） A．与是互斥事件，也是对立事件 B． 与是互斥事件，也是对立事件 C． 与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 3．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（    ） A．为对立事件 B．为互斥不对立事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件 4．（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）对空中移动的目标连续射击两次，设{两次都击中目标}，{两次都没击中目标}，{恰有一次击中目标}，{至少有一次击中目标}，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 ：古典概型 例1．抛掷2枚质地均匀的骰子，在掷出的两枚骰子点数之和为6点的条件下，点数均为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（   ） A． B． C． D． 例3．将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次，则朝上面的两个点数之积为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5，6的6个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出标注的数字之差的绝对值为2或4的小球的概率是（    ） A． B． C． D． 2．已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527   0293   7140   9857   0347   4373   8636   6947   7610   4281 1417   4698   0371   6233   2616   8045   6011   3661   9597   7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（   ） A．0.852 B．0.7 C．0.8 D．0.75 3．若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，则关于 的一元二次方程有实根的概率是（    ） A． B． C． D． 4．大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是（   ） A． B． C． D． 5．某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（    ） A． B． C． D． 6．在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，5和7等.从不超过20的素数中随机抽取2个，则这2个数是孪生素数的概率为（    ） A． B． C． D． 7．某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分．现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为 [ 40,50），[ 50,60），[ 60,70），[ 70,80），[ 80,90），[ 90,100 ]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求m的值，并求这100名学生成绩的平均数和中位数（保留一位小数）； (2)现采用分层抽样的方式从 [ 50,60）和 [ 70,80）的学生中抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者分数差大于10分的概率． 8．某校为了解学生对安全知识的重视程度，进行了一次安全知识答题比赛.随机抽取的100名学生的笔试成绩（满分200分），分成共五组后，得到的频率分布图表如下所示： (1)求这100名参赛者得分的第85百分位数； (2)估计这100名学生的成绩的平均数. (3)为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3､4､5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率. 题型四 ：频率与概率 例1．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．20万件 例2．从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 例3．一记者采访某大学的学生群体，在购物时采用现金支付还是非现金支付的情况，其中只用现金支付的概率为0.2，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3，则不用现金支付的概率为（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 巩固训练 1．盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 . 2．在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．213石 B．152石 C．169石 D．196石 4．某企业有A，B两个车间生产同一种型号的产品，检验小组对两个车间各生产的100件产品均随机抽取6件检测、获得质量指标值（满分值为10，8分为合格品），如下表所示： A车间产品质量指标 10 9 7 8 10 10 B车件产品质量指标 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计A，B两车间生产该批次产品的合格率； (2)分别求出6件产品的平均数与方差，以此为依据，判断哪个车间生产质量更好？ 5．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率； (2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 题型五 ：事件的独立性 例1．为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛.已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，，，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从乙袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从两袋中有放回的各摸两次球且每次摸出一个球，则是（    ） A．4个球不都是红球的概率 B．4个球都是红球的概率 C．4个球中恰有3个红球的概率 D．4个球中恰有1个红球的概率 例3．2023年11月26日丽江至香格里拉铁路（丽香铁路）正式开通运营，至此，平均海拔高度3380米的云南省迪庆藏族自治州结束不通铁路的历史，正式迈入“动车时代”.若甲、乙、丙三位同学在寒假期间从香格里拉坐动车到丽江游玩的概率分别为，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内恰好有1人从香格里拉坐动车到丽江游玩的概率为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 3．2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率. 4．甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为． (1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率； (2)若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率． 题型六 ：事件运算概率的计算 例1．设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若是对立事件，则 B．若A，B是互斥事件，，则 C．若是独立事件，，则 D．若，且，则是独立事件 例2．已知事件A，B互斥，A，B都不发生的概率为，且，则（   ） A． B． C． D． 例3．已知事件A，B互斥，，且，则（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则事件与相互独立 C．若与互斥，则 D．若发生时一定发生，则 2．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 3．（多选）已知事件发生的概率分别为，则（   ） A． B． C．若，则 D．一定有 4．（多选）从这20个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则对下列事件概率描述正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若相互独立，则 题型七 ：概率的综合应用 例1．（多选）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入决赛（比赛采用三局两胜制，即率先获得两局胜利者赢得比赛，随即比赛结束）.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.某同学利用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示甲获胜，当出现4或5时，表示乙获胜，以每3个随机数为一组进行冠军模拟预测，如果产生如下20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342  534 443 512 541 125 432 334 151 314 354， 根据频率估计概率的思想，下列说法正确的有（ ） A．甲获得冠军的概率近似值为0.65 B．甲以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.5 C．比赛总共打满三局的概率近似值为0.6 D．乙以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.15 例2．（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是3”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与独立 例3．（多选）人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为，A型的基因类型为或，B型的基因类型为或，型的基因类型为，其中，a和b是显性基因，i是隐性基因.则下列说法正确的是（   ） A．若父亲的血型为型，则孩子的血型可能为O型 B．若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有26种 C．若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为 D．若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，则孩子也是型的概率为 巩固训练 1．（多选）已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若，则与相互独立 D．若发生时一定发生，则 2．（多选）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 3．（多选）某市高一年级举行了阶段性检测，为了了解本次检测的学生成绩情况，从中抽取了200名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示．则（    ） A．图中 B．估计该市全体学生成绩的平均分为71 C．若对成绩前的学生进行奖励，则受奖励学生的考试成绩大约至少为84分 D．若在的样本成绩对应的学生（包括学生甲和乙）中随机选取两名进行访谈，则甲、乙两人至少抽到一人的概率为 4．（多选）已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（    ） A．从高中生中抽取了460人 B．每名学生被抽到的概率为 C．估计该地区中小学生总体的平均近视率为60% D．估计高中学生的近视人数约为44000 5．某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)求频率分布直方图中a的值．若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数. (2)用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数. (3)若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 6．甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为，且不同对阵的结果互不影响． (1)若甲队先主场后客场，且， （ⅰ）求甲队通过点球大战获得冠军的概率； （ⅱ）求甲队获得冠军的概率； (2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$