精品解析：2023年四川省成都市新都区中考一模数学试题

新都区初2020级第一次诊断性考试 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，第I卷（选择题）1至2页，第II卷（非选择题）2至6页，共6页，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，务必将姓名、考场号、座位号、考生号填涂在答题卡规定的位置上 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 5．考试结束后，将试题卷带走，仅将答题卡交回 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上） 1. 倒数是（ ） A. 2023 B. C. D. 2. 2023年春节假期全国国内旅游出游达人次，同比增长．请你将用科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 3. 分别用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几何体共有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下面计算正确的是（　　） A. B. C D. 5. 在平面直角坐标系中，点P关于直线对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 7. 甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表： 甲 乙 丙 丁 平均数 9.6 9.5 9.5 9.6 方差 0.25 0.25 0.27 0.27 如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 二次函数 的图象如图所示，对于下列结论：①；②；③；④对于任意的实数m，总有；其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 因式分解：___________． 10. 在Rt△ABC中，∠C=90， sinA=，则tanB的值为________． 11. 如图，随机闭合开关，，中两个，能让两盏灯泡，同时发光的概率为________. 12. 关于的一元二次方程有两个不等实数根，则实数的取值范围是 _____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则直线的函数表达式是 _____． 三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14 （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中x是满足的整数． 15. 第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，某校开展了“爱成都，迎大运”系列活动，增设篮球，足球，柔道，射击共四个课外活动项目．为了解全校1500名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题： （1）参加问卷调查的同学共 　　名，补全条形统计图； （2）估计该校1500名同学中喜爱篮球运动的人数； （3）学校准备组建一支校篮球队，某班甲，乙，丙，丁四名同学平时都很喜欢篮球运动，现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中甲，乙两名同学的概率． 16. 如图，和是同一水平地面上的两座楼房，已知楼的高为米，在楼的楼顶点测得楼的楼顶的仰角为，楼底的俯角为，求楼的高．（结果保留根号，参考数据：） 17. 《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础．某班数学兴趣小组利用《海岛算经》中第一个问题的方法进行如下测量：如图，要测量一栋建筑物的高度，立两根高3米的标杆和，两杆之间的距离米，D，B，H成一线，从B处退5米到F，人的眼睛贴着地面观察A点，A，C，F三点成一线；从D处退6米到G，从G观察A点，A，E，G三点也成一线．请你帮助小组同学，试计算该建筑物的高度及的长． 18. 在平面直角坐标系中，点A坐标为，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于点，（点，不与点重合），沿着将折叠，点落在点处． （1）如图1，当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系； （2）如图2，当点E位置发生改变时，与是否存在（1）中的位置关系，请说明理由； （3）如图3，连接，当平分时，求出此时反比例函数的表达式． B卷（共50分） 一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 _____． 20. 如图，在正方形中，，二次函数的图象过点O和点B，为了测算该二次函数的图象与边，围成的阴影部分面积，某同学在正方形内随机投掷900个点，已知恰有300个点落在阴影部分内，据此估计阴影部分的面积为 _____． 21. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边落在y轴上，其它部分均在第一象限，双曲线过点A，延长对角线交x轴于点E，以为邻边作平行四边形，若平行四边形的面积为7，则k为 _____． 22. 如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段．若点C的坐标为，则k的值为 _____． 23. 如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时，_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 （1）设两款车续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； （2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多元． ①请分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 25. 如图，抛物线经过，，D为线段下方抛物线上一动点，过点D做于G． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求面积的最大值； （3）连接，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，在矩形中，，E是上的一个动点． （1）如图1，连接，G是对角线的三等分点，且，连．当时，求的长； （2）如图2，连接，过点E作交线段于点F，连接，与交于点P．当平分时，求的长； （3）如图3，连接，点H在上，将沿直线折叠，折叠后点D落在上的点处，过点作于点N，与交于点M，且．求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新都区初2020级第一次诊断性考试 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，第I卷（选择题）1至2页，第II卷（非选择题）2至6页，共6页，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，务必将姓名、考场号、座位号、考生号填涂在答题卡规定的位置上 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 5．考试结束后，将试题卷带走，仅将答题卡交回 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上） 1. 的倒数是（ ） A. 2023 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查倒数，运用乘积为1的两个数是互为倒数进行求解． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：C． 2. 2023年春节假期全国国内旅游出游达人次，同比增长．请你将用科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：将用科学记数法表示为：． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3. 分别用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几何体共有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特征解答即可． 【详解】解：用一个平面去截正方体、圆柱、三棱柱，都可以得到截面是矩形， 用一个平面去截圆锥、球体，不可以得到截面是矩形， 所以用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几何体共有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握正方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特是解题的关键． 4. 下面计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂乘法的运算法则以及幂的乘方与积的乘方的运算法则分析判断即可． 【详解】解：A、，故A计算错误，不符合题意； B、，故B计算错误，不符合题意； C、，故C计算错误，不符合题意； D、，故D计算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂乘法的运算法则以及幂的乘方与积的乘方的运算法则，熟记相关的运算法则是解题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，点P关于直线对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设关于对称的点为，如图，过作轴，交于点，连接，然后根据对称轴的性质求解点坐标即可． 【详解】解：设关于对称的点为，如图，过作轴，交于点，连接， 由题意知，轴，且， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查坐标与图形变化—对称，解题的关键在于掌握对称轴的性质． 6. 角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角的余弦值为解答即可． 【详解】解：，即角的余弦值为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记角的余弦值是解题的关键． 7. 甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表： 甲 乙 丙 丁 平均数 9.6 9.5 9.5 9.6 方差 0.25 0.25 0.27 0.27 如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵甲的平均分最高，方差最小，最稳定， ∴应选甲． 【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键． 8. 二次函数 的图象如图所示，对于下列结论：①；②；③；④对于任意的实数m，总有；其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；把代入抛物线对称轴公式可判断结论②；由抛物线的对称性的值可判断结论③；由时，函数y取得最大值可判断结论④． 【详解】解：∵抛物线开口向下、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴，即，故②正确； ∵对称轴为直线，抛物线与x轴的交点在点右侧， ∴抛物线与x轴的另一个交点在左侧， ∴当时，， ∴，故③正确； ∵当时，，当时，， ∵当时，函数值最大， ∴， ∴，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与y轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法：提公因式法、公式法是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式因式分解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 10. 在Rt△ABC中，∠C=90， sinA=，则tanB的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据题意作出Rt△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC=12x，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B==． 故答案. 考点：互余两角三角函数的关系． 11. 如图，随机闭合开关，，中的两个，能让两盏灯泡，同时发光的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，找出随机闭合开关中的两个的情况数以及能让两盏灯泡同时发光的情况数，即可求出所求概率，弄清题中的电路图是解本题的关键． 【详解】画树状图，如图所示： 由图知，随机闭合开关中的两个有六种情况：闭合，闭合，闭合，闭合，闭合，闭合， 能让两盏灯泡同时发光的有两种情况：闭合，闭合， 则P（能让两盏灯泡同时发光）， 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程有两个不等实数根，则实数的取值范围是 _____． 【答案】且m≠2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得到且，求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根， 且， 且， 且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的意义的知识，解答本题的关键是熟练掌握方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，此题难度不大． 13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则直线的函数表达式是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】将代入得，可得，，，，在中，由勾股定理得，如图，延长，过作于，证明，则，即，，，根据，，可得，即，令，则，，根据，求值，进而可求的值以及点坐标，然后根据待定系数法求直线的表达式即可． 【详解】解：将代入得， ∴，即，， ∴， 在中，由勾股定理得， 如图，延长，过作于， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 令，则，， ∴， 解得， ∴，， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中x是满足的整数． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，非整数指数幂和零指数幂的意义化简，再算乘法，后算加减； （2）把括号内通分并把除法转化为乘法，约分化简再从选一个使分式有意义的整数代入计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 ∵x是满足不等式的整数 ∴x整数解为：，，0，1． 又∵分式有意义，，， ∴x取 ∴原式． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，非整数指数幂和零指数幂的意义，分式的化简求值，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 15. 第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，某校开展了“爱成都，迎大运”系列活动，增设篮球，足球，柔道，射击共四个课外活动项目．为了解全校1500名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题： （1）参加问卷调查的同学共 　　名，补全条形统计图； （2）估计该校1500名同学中喜爱篮球运动的人数； （3）学校准备组建一支校篮球队，某班甲，乙，丙，丁四名同学平时都很喜欢篮球运动，现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中甲，乙两名同学的概率． 【答案】（1），图见解析 （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）用喜爱足球的人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的同学的人数；用参加问卷调查的同学的人数分别减去喜爱篮球、足球、射击的人数，求出喜爱柔道的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用1500乘以参加问卷调查的同学中喜爱篮球运动的人数的百分比，即可得出答案． （3）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选中甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：参加问卷调查的同学的人数为（名）． 故答案为：60． 喜爱柔道的人数为（名）． 补全条形统计图如图所示． 【小问2详解】 （人）． ∴该校1500名同学中喜爱篮球活动的人数大约450人． 【小问3详解】 画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 16. 如图，和是同一水平地面上的两座楼房，已知楼的高为米，在楼的楼顶点测得楼的楼顶的仰角为，楼底的俯角为，求楼的高．（结果保留根号，参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】在两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可． 【详解】解：延长过点的水平线交于点，则有，四边形是矩形， ∴米， ∴在中，（米）， ∴米， ∴在中，（米）， ∴米， 答：楼的高是米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，特殊角的三角函数值，矩形的性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 17. 《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础．某班数学兴趣小组利用《海岛算经》中第一个问题的方法进行如下测量：如图，要测量一栋建筑物的高度，立两根高3米的标杆和，两杆之间的距离米，D，B，H成一线，从B处退5米到F，人的眼睛贴着地面观察A点，A，C，F三点成一线；从D处退6米到G，从G观察A点，A，E，G三点也成一线．请你帮助小组同学，试计算该建筑物的高度及的长． 【答案】该建筑物的高度为60米，长为95米 【解析】 【分析】根据题意得出，，进而利用相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：由题意，得：，． ∴． ∴． ∴． 同理，， ∴． 又∵米， ∴． ∵米，米，米， ∴． ∴． ∴， 解得：． ∴， 解得：． 答：该建筑物的高度为60米，长为95米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，得出，是解题关键． 18. 在平面直角坐标系中，点A坐标为，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于点，（点，不与点重合），沿着将折叠，点落在点处． （1）如图1，当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系； （2）如图2，当点E位置发生改变时，与是否存在（1）中的位置关系，请说明理由； （3）如图3，连接，当平分时，求出此时反比例函数的表达式． 【答案】（1）点F的坐标为；， （2）存，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，得到分别为、的中点，进而求解； （2）求出点的坐标为，得到，则，得到，即可求解； （3）当在轴上时，推出，求出的表达式，又由平分，，联立两条直线，得到的中点的坐标，再求出的表达式，求得的表达式，进而求解． 【小问1详解】 解：点为中点， 由中点坐标公式得：， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：， 当时，，即点的坐标为， 、分别为、的中点， ，； 【小问2详解】 解：，理由如下： 将代入，得， 点的坐标为， ， 将代入，得， 点坐标为， ， ， 又， ， ∴, ； 【小问3详解】 当在轴上时，如图： 沿着折叠至， ， ， ， ， ， ， ， 在矩形中，，， ， ， ， ， 设直线的表达式为：，代入，，得， 解得， 的表达式为：， 如图，当平分时，， ， 与轴的交点坐标为：， 表达式为：， 联立， 解得， 点坐标为， 的中点的坐标为， 设直线的表达式为：，代入，，得， 解得：， 故直线表达式为：， 设直线表达式为：，代入， 的表达式为：， 当时，， 点坐标为， ， 此时反比例函数的表达式为． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． B卷（共50分） 一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形求解即可得． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 20. 如图，在正方形中，，二次函数的图象过点O和点B，为了测算该二次函数的图象与边，围成的阴影部分面积，某同学在正方形内随机投掷900个点，已知恰有300个点落在阴影部分内，据此估计阴影部分的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式得到正方形的面积，根据阴影部分的面积占正方形的面积的即可得到结论． 【详解】解：在正方形中，， ∴正方形的面积， ∵在正方形内随机投掷900个点，已知恰有300个点落在阴影部分内， ∴阴影部分的面积正方形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，正方形的面积的计算，正确地求得阴影部分的面积占正方形的面积的是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边落在y轴上，其它部分均在第一象限，双曲线过点A，延长对角线交x轴于点E，以为邻边作平行四边形，若平行四边形的面积为7，则k为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于H，延长交x轴于G，延长交于N，根据题意得到，于是得到结论． 【详解】解：延长交于H，延长交x轴于G，延长交于N， 则, ∴， ∴， ∵双曲线过点A， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，矩形的性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段．若点C的坐标为，则k的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过A点作轴于F，C作轴于点D，于点E，则四边形是矩形，根据将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，可得是等边三角形，，由点A的坐标为，，有，而，，根据，可得，解方程可得答案． 【详解】解：连接，过A点作轴于F，C作轴于点D，于点E，则四边形是矩形，如图： ∵将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点A的坐标为，，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 设，则， 化简变形得：， 解得（舍去）或， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含k的代数式表示相关线段的长度． 23. 如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时，_____． 【答案】 【解析】 【分析】在下方作，使，连接，则最小值为，此时A、N、三点在同一直线上，推出，所以，即可得到． 【详解】解：在下方作，使，连接． 则，． ∴， 即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 （1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； （2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多元． ①请分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】（1）燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元 （2）①燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】（1）根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题；②设每年行驶里程为x千米时，由年费用＝年行驶费用+年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：燃油车每千米行驶费用为（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为（元）， 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元； 【小问2详解】 解：①由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴ （元），（元）， 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元； ②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车年费用更低， 由题意得：， 解得：， 答：当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低． 【点睛】本题考查分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）正确列出代数式；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 25. 如图，抛物线经过，，D为线段下方抛物线上一动点，过点D做于G． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求面积的最大值； （3）连接，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点D其横坐标为：或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）①当，即时，证明，得到，进而求解；②当，即时，同理可解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴、， 设抛物线的表达式为：， 则， 即， 解得：， ∴； 【小问2详解】 过点D作轴于点E，交于点F． ∵，， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， 则直线的表达式为：， 设，则， 则， 则， ∴当时，面积的最大值为9； 【小问3详解】 过点A作垂线交延长线于点Q，过点Q作轴于点M． ①当，即时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 设直线的函数表达式为：， 把代入得： ，解得：， ∴直线的表达式， 联立得： ， 解得：或， ∴； ②当，即时， 由①可知， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的函数表达式为：， 把代入得： ，解得：， ∴直线的表达式， 联立得： ， 解得：或， ∴， 综上，存在，点D其横坐标为：或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求函数解析式，二次函数最值应用，相似三角形的判定和性质，三角函数定义应用等知识点，解题关键是熟练应用待定系数法求函数解析式，应用解方程或方程组求点的坐标，应用二次函数最值求线段最大长度． 26. 如图，在矩形中，，E是上的一个动点． （1）如图1，连接，G是对角线三等分点，且，连．当时，求的长； （2）如图2，连接，过点E作交线段于点F，连接，与交于点P．当平分时，求的长； （3）如图3，连接，点H在上，将沿直线折叠，折叠后点D落在上的点处，过点作于点N，与交于点M，且．求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点G作于点F，求出，再利用等腰三角形是三线合一的性质求解； （2）证明，推出，推出，推出，过点P作于点M，设，则，由得，构建方程求出x，可得结论； （3）设，在中，，可得，解得 ，再证明，可得，如下图，过点H作于点K，设，得，由，得，可得结论． 【小问1详解】 解：如图1，过点G作于点F， ， ， ， ， ， ，即； 【小问2详解】 如图2中， 平分， ， ， 又矩形中，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 过点P作于点M， ，是等腰直角三角形， 设，则， 由，得，即，得， 在等腰中，， 又， ； 【小问3详解】 如图3中， ， ， 又， ， 由翻折得， ，是直角三角形， ， 设， 在中，， ， 解得：， ， 在中， ， 在中， ， ， ， ， 如下图，过点H作于点K， 设，得， 由， ， ，即． 【点睛】此题考查了考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$