第一章 集合与常用逻辑用语单元综合测试-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 3．若，集合，则满足（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（    ） A．27 B．23 C．25 D．29 6．若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若集合满足：，若，则，则称集合是一个“偶集合”.已知集合，，那么下列集合中为“偶集合”的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 10．已知全集，，且中有6个元素，则实数的值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．已知集合，，且．集合为的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设全集，集合，，则 ． 13．已知集合，，且，则实数的取值集合是 14．当时， 定义运算: 当时， ；当时，； 当或时，； 当时，； 当时，．在此定义下， 若集合， 则中元素的个数为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合． (1)若， 求; (2)若中只有一个元素， 求的取值集合． 16．（15分） 设全集为，集合. (1)分别求； (2)已知，若，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18．（17分） 已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 19．（17分） 定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】运用特称命题的否定知识,命题“，”的否定是“，”. 故选：A. 2．设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 代入，可得， 所以方程变为，可解得或3， 所以， 故选：C. 3．若，集合，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A．若，即，故，，不满足元素的互异性，错误，不符合题意； B．若，即，故，，不满足元素的互异性，错误，不符合题意； C．若，即，如果，不满足元素的互异性，不成立，如果，不满足条件，故选项正确，符合题意； D．至少有元素3，故，故选项错误，不符合题意； 故选：C. 4．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， ①时，，解得； ②时，则有，解得. 综上，m的取值范围是. 故选：D. 5．某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（    ） A．27 B．23 C．25 D．29 【答案】A 【解析】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为. 故选：A. 6．若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由，可得，所以B正确； 如图所示，由，可得A错误，C正确； 又由，所以D错误. 故选：BC. 7．已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， 若“”是真命题， 即当时，恒成立， 则，其中， 由，可得，所以 所以命题“”是假命题， 则的取值范围为． 故选：D. 8．若集合满足：，若，则，则称集合是一个“偶集合”.已知集合，，那么下列集合中为“偶集合”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合，，则， 显然，而，A不是； ，显然，而，B不是； ，则，不符合题意，C不是； ，则， 对，有，即是一个“偶集合”，D是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由可得， 设，则其必要不充分条件对应集合，则有是的真子集， 则BD选项符合． 故选：BD． 10．已知全集，，且中有6个元素，则实数的值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】AD 【解析】对于A中，当时，， 满足且中有6个元素，所以A正确； 对于B中，当时，，集合中无整数解，不符合题意； 对于C中，当时，，集合中无整数解，不符合题意； 对于D中，当时，， 满足且中有6个元素，所以D正确. 故选：AD. 11．已知集合，，且．集合为的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为,所以， 因为，所以， 所以且, 所以,, 所以. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设全集，集合，，则 ． 【答案】 【解析】，， ， ， ， 故答案为：． 13．已知集合，，且，则实数的取值集合是 【答案】，或 【解析】因为方程的解集为， 所以， 因为，所以或或或， 又， 所以或或或， 所以或， 所以的取值集合是，或. 故答案为：，或. 14．当时， 定义运算: 当时， ；当时，； 当或时，； 当时，； 当时，．在此定义下， 若集合， 则中元素的个数为 ． 【答案】14 【解析】①当时，，所以或或； ②当时，，所以或或； ③当或时，， 所以或或或或或； ④当时，； ⑤当时，． 所以， ，共14个元素． 故答案为：14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合． (1)若， 求; (2)若中只有一个元素， 求的取值集合． 【解析】（1）时，， 因为，所以方程无实数根， 所以． 故． （2）当时，，得，此时； 当时，，得，此时． 故的取值集合为． 16．（15分） 设全集为，集合. (1)分别求； (2)已知，若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意可知，{或}， 所以{或}； （2）显然，若，则且等号不同时成立，解之得， 所以实数的取值范围为. 17．（15分） 已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，, 故的取值范围是. （2）若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得， 故的取值范围是. 18．（17分） 已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 【解析】（1）若，则， 又， 所以， 解得； （2）因为， 所以或或， 解得或或， 所以； （3）若，， 对，都有，则， 所以，该不等式无解， 故命题：“，都有”为真命题不可能. 19．（17分） 定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 【解析】（1）由于，而，因此不是数域； 由于，而，因此不是数域； 中，都有零元：0和单位元：1； 关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； 对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律， 所以可以是数域. （2）设(都为整数)，显然,且， 则 显然，因此， 所以集合A关于乘法运算是封闭的. （3）①显然,当时，；当时，， 显然对任意，都有，所以集合中有零元0和单位元1； ②设，则， 因为都为有理数，则也都为有理数， 因此； 又由（2）同理可得，都为有理数时，也都为有理数， 于是； 当时，令， 显然都是有理数，则，于是， 因此集合A关于加、减、乘、除运算都是封闭的； ③显然任意，都有，由中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律， 因此集合A中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律， 所以集合A是一个数域. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$