高一上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

高一上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟，共19题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：集合与常用逻辑用语、一元二次函数、方程和不等式； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，若不等式的解集为，则函数图像为（    ） A．开口向上，对称轴为的抛物线 B．开口向上，对称轴为的抛物线 C．开口向下，对称轴为的抛物线 D．开口向下，对称轴为的抛物线 5．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡尔积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C． D． 6．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（    ） A．变大 B．变小 C．当时，变大 D．当时，变大 7．（23-24高一上·河南·阶段练习）给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 8．（23-24高一上·北京海淀·期中）若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（    ） A．，方程有无限组整数解 B．，方程有且只有两组整数解 C．，方程至少有一组整数解 D．，方程至多有有限组整数解 2、 多选题（3小题，每小题6分，共18分） 9．（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 10．（2024·全国·模拟预测）若存在，使得与同时成立，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．的最小值为8 D．的最大值为－16 11．（2023·全国·模拟预测）若，x，y，．，则以下说法正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为0 D．恒小于0 第II卷（非选择题） 3、 填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ． 13．（2023高二·全国·竞赛）已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使成立.这样的n的最大值是 . 14．（2024高三·全国·专题练习）设表示实数中最小的数，若，且，则中的最大值为 ． 四、解答题（5小题，共77分） 15．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）在解决实际问题时，往往会有不同的思路和方法，这些方法有些正确，有些错误；有些简洁，有些复杂 问题①设，集合，若是的充分条件，求：的取值集合 问题②：设，若，求证：和至少有一个数是奇数 (1)小明在解决问题①，他认为原问题等价于，解得的取值集合为，张老师判断小明解题错误，请解出正确的的取值集合并写出M集合的等价变形 (2)小红认为既然，只需根据是奇数还是偶数，分类讨论即可；小华则认为可以使用反证法解决问题，请你选择一种你认为更好的方法并证明 16．（24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 17．（24-25高二上·浙江 期末）已知正实数集，定义：称为的平方集.记为集合中的元素个数. (1)若，求集合和； (2)若，求； (3)求证：，并指出取等条件． 18．（2025高三·全国·专题练习）已知实数a，b满足，且，求的取值范围． 19．（24-25高一上·北京·期末）设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合满足如下两个条件，则称为三分集合. ①； ②元素可分别排列为有序数组及，使得对，均有， 特别地，当为三分集合时，称为完美三分数. 如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：； (2)求出大于1的最小完美三分数； (3)请判断是否存在无穷多个完美三分数？若存在，请说明理由；若不存在，则求出最大的完美三分数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟，共19题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：集合与常用逻辑用语、一元二次函数、方程和不等式； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 2．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合M和集合N的长度，由此能求出集合的“长度”的最小值． 【详解】根据新定义可知集合M的长度为，集合N的长度为， 当集合的长度最小时，M与N应分别在区间上的左右两端， 故的长度的最小值是 故选：B. 3．（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件得到，求得的范围，由的取值范围是的子集，构造不等式求解即可. 【详解】由题可知：对于任意，总存在， 使得， 所以的取值范围是的子集即可， ， 注意到， ， 因为，所以 故选：B 4．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，若不等式的解集为，则函数图像为（    ） A．开口向上，对称轴为的抛物线 B．开口向上，对称轴为的抛物线 C．开口向下，对称轴为的抛物线 D．开口向下，对称轴为的抛物线 【答案】C 【分析】由不等式的解集为，可得，的根为或2，然后由韦达定理可得，据此可得对称轴. 【详解】因不等式的解集为，则的根为或2， 则由韦达定理可得.又注意到 ，则开口向下，对称轴为. 故选：C 5．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡尔积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C． D． 【答案】D 【分析】根据直积的定义可判断AD的正误，根据反例可判断BC的正误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，设，，则，的元素个数为，不是3，故B错误； 对于C，结合B的实例，，而，两者不相同，故C错误； 对于D，任意，则存在， 使得，因为且，故且， 故，故 任意，则存在，使得， 故，故，故， 故， 故选：D 【点睛】关键点睛：证明两个集合相等，关键是证明它们彼此包含，后者依据定义证明. 6．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（    ） A．变大 B．变小 C．当时，变大 D．当时，变大 【答案】C 【分析】由已知可得公园扩建前后的绿化率，通过作差即可判断. 【详解】原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为， 则， 所以扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比的变化情况与，的大小有关， 故，项错误； 当时，，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比变大， 故C项正确； 当时，，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比变小， 故D项错误. 故选：. 7．（23-24高一上·河南·阶段练习）给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【详解】 时，的个数是 时，的个数是 时，的个数是1， 时，的个数是 时，的个数是1， 时，的个数是1， 时，的个数是1， 的有序子集对的个数为：17个， 8．（23-24高一上·北京海淀·期中）若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（    ） A．，方程有无限组整数解 B．，方程有且只有两组整数解 C．，方程至少有一组整数解 D．，方程至多有有限组整数解 【答案】C 【分析】由，结合整数的分解形式转化为求解方程组的整数解的情况即可. 【详解】选项A，当时，由得， 解得， ，都是方程的整数解， 故，方程有无限组整数解. A项判断正确； 选项B，当时，由， 由，则，， 又， 由与，仅有这种整数分解的方法， 所以（舍），或； 解得 或，故方程有且仅有两组整数解， 即，方程有且只有两组整数解，故B项判断正确； 选项C，当时，由，，，， 仅有这种整数分解的方法，又， 所以（舍），或（舍）， 或①，或②； 方程组①消得，，，无整数解； 方程组②消得，，此方程无解； 故当时，方程无整数解，所以选项C判断不正确； 选项D，若关于x，y的方程不存在整数解， 则满足至多有有限组整数解； 若关于x，y的方程存在整数解． 由，则， ，整数至多有有限组分解方法，可设所有分解形式为， 由， 得， 消得，，， 对于的每一个确定取值，此关于的二次方程最多有个整数解， 即方程组至多有组整数解； 故，方程至多有组整数解，故D项判断正确. 故选：C. 2、 多选题（3小题，每小题6分，共18分） 9．（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】ABC 【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据时，设，利用裂项相消得矛盾求解C. 【详解】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确， 对于B，取故B正确， 对于C，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确， 对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误， 故选：ABC 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 10．（2024·全国·模拟预测）若存在，使得与同时成立，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．的最小值为8 D．的最大值为－16 【答案】AD 【分析】由已知可得，可求得或，可判断A；计算可判断B；利用基本不等式计算可判断CD. 【详解】选项A：存在，使得与同时成立，则， （提示：只有当时，才有） 解得或，所以，故A正确． 选项B：若，则或，又，故B错误． 选项C：，当且仅当时等号成立，又，所以，故C错误． 选项D：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故D正确． 故选：AD. 11．（2023·全国·模拟预测）若，x，y，．，则以下说法正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为0 D．恒小于0 【答案】CD 【分析】由可得，而，可判断C正确；从而得到中至少有一个为，不妨令，则且，从而可判断A,B,D选项. 【详解】，， 对于C， ， ，C正确； 由C选项可知，， 所以中至少有一个为，不妨令，则且， 对于A，， 所以，A错误； 对于D，，而， 所以，即，D正确； 对于B， 而，所以， 即，B错误. 故选：CD 【点睛】关键点睛： 这道题的关键是先由可得，从而得到，进而得到中至少有一个为，其他两个互为相反数，从而可解. 第II卷（非选择题） 3、 填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】记，依题意求出，即可得到，分、两种情况讨论，分别求出的最大值，即可得解. 【详解】记，由，解得，又， 所以，则； 当时，，又，所以，此时的最大值为； 当时，，此时或， 于是，此时的最大值为； 综上可得的最大值为. 故答案为： 13．（2023高二·全国·竞赛）已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使成立.这样的n的最大值是 . 【答案】112 【分析】先将不等式变形为，然后根据求出的范围，进而验证即可. 【详解】由得，，即. 又由整数k的唯一性知，，解得， 而时，，，满足的整数k只有97，故符合. 故答案为：. 14．（2024高三·全国·专题练习）设表示实数中最小的数，若，且，则中的最大值为 ． 【答案】4 【分析】首先设，，，，再构造和的形式，利用基本不等式求最值. 【详解】设，，，， ，且，，，，， ， ，当且仅当，时等号成立， 又，当且仅当，时等号成立， ，则，当且仅当，时等号成立， 故中的最大值为4. 故答案为：4 【点睛】关键点睛：本题是一道典型的二元双重最值问题，求解的关键是多次运用基本不等式，多次运用基本不等式时，一定要注意等号成立的条件，看是否同时满足，另外还要注意不等号的方向，保持不等号的一致性. 四、解答题（5小题，共77分） 15．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）在解决实际问题时，往往会有不同的思路和方法，这些方法有些正确，有些错误；有些简洁，有些复杂 问题①设，集合，若是的充分条件，求：的取值集合 问题②：设，若，求证：和至少有一个数是奇数 (1)小明在解决问题①，他认为原问题等价于，解得的取值集合为，张老师判断小明解题错误，请解出正确的的取值集合并写出M集合的等价变形 (2)小红认为既然，只需根据是奇数还是偶数，分类讨论即可；小华则认为可以使用反证法解决问题，请你选择一种你认为更好的方法并证明 【答案】(1)，在考虑问题中，我们不能凭空加上互异性条件，因此等价于 (2)证明见解析 【分析】（1）根据充分条件的定义可得，结合集合间的包含关系计算即可求解； （2）利用反证法直接得证. 【详解】（1）因为是的充分条件，所以， 当时，，满足； 当时，，所以或， 综上，是取值集合为， 在考虑问题中，我们不能凭空加上互异性条件， 所以的等价变形为. （2）反证法： 假设中都是偶数， 则，其中， 两式相加得，即， 与矛盾，故假设不成立， 则中至少有一个数是奇数. 16．（24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)m时，取得最小值1200. 【分析】（1）利用三角形相似表示出，再由不等关系即可解得的取值范围； （2）求得面积的表达式，再利用基本不等式可求得当m时，取得最小值1200. 【详解】（1）依题意可得， 所以，即，可得； 因此， 又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即， 解得， 即； （2）易知， 所以 由基本不等式可得； 当且仅当时，即时，等号成立， 此时取得最小值1200； 因此m时，取得最小值，最小值为1200. 17．（24-25高二上·浙江 期末）已知正实数集，定义：称为的平方集.记为集合中的元素个数. (1)若，求集合和； (2)若，求； (3)求证：，并指出取等条件． 【答案】(1)； (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）由题意得和全都互质，所以，则答案可求； （3）分， 和三种情况讨论即可. 【详解】（1）， ； （2），要使得最小，就得使和全都互质， 当中所有元素互质的时候，， 即， 解得：就是所求的最小值； （3）当时，取等号 当时，取等号 当时不妨令，则 有 其中中元素的个数为个， 即， 当且仅当，此时中只有个元素．（或指出为等比数列）. 18．（2025高三·全国·专题练习）已知实数a，b满足，且，求的取值范围． 【答案】 【分析】令，则原式，利用线性规划求得的范围，可求解. 【详解】由已知配方得， 令，则原式， 故只需通过线性规划求x的范围即可， 以a为横轴，b为纵轴画出可行域，如图所示， 图中重叠颜色最深部分为可行域，过点时x最大，为14， 当与相切时x最小．    令得， 令得x的最小值为， 于是，从而目标函数． 19．（24-25高一上·北京·期末）设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合满足如下两个条件，则称为三分集合. ①； ②元素可分别排列为有序数组及，使得对，均有， 特别地，当为三分集合时，称为完美三分数. 如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：； (2)求出大于1的最小完美三分数； (3)请判断是否存在无穷多个完美三分数？若存在，请说明理由；若不存在，则求出最大的完美三分数. 【答案】(1)不是；是 (2)4 (3)存在无穷多个完美三分数；理由见解析 【分析】（1）利用反证法可证明不是三分集合；举例找到满足条件的集合可得是三分集合； （2）反证法说明不是完美三分数，根据题意得完美三分的可能范围，再找到集合，证明是三分集合即可； （3）先证明“由为三分完美数，可得到也为三分完美数”的递推关系，将集合拆分为两个三分集合可证，再根据基础与递推关系可得. 【详解】（1）（i）不是三分集合，下面用反证法证明. 证明：假设是三分集合， 设，不妨设， 由得， ， 则，这与矛盾， 故假设错误，故不是三分集合； （ii）是三分集合. 理由如下：令， 则，满足条件①； 且由；；可知，满足条件②. 故是三分集合. （2）由（1）可知，当时，不是三分集合； 当时，， 假设是三分集合， 同理由， ，可推出与矛盾， 故假设也错误，故不是三分集合； 当时，， 存在三个元集合， 满足为三分集合的两个条件. 故大于1的最小完美三分数为. （3）存在无穷多个完美三分数，理由如下. 由题意知，为最小完美三分数. 当时，， 存在三个元集合满足三分集合的条件， 故为完美三分数. 当时，， 存在如下三个元的集合满足三分集合的条件： ， ， 故为完美三分数. 首先证明：若为三分完美数，则也为三分完美数. 证明：记，， 若为三分完美数，则为三分集合， 即存在三个元集合满足如下两个条件， ①； ②元素可分别排列为有序数组及， 使得对，均有， 则可得到：对，， 故集合也满足三分集合的两个条件，其也为三分集合， 下面记集合. 对，集合. 构造集合，共有个奇数； 集合， 共有个逐个减小的连续正整数； 集合， 共有个逐个增大的连续正整数； 可知这三个元集合满足如下两个条件， ①集合； ②元素可分别排列为有序数组及， 使得对，均有； 故为三分集合，而已知为三分集合，将其对应与合并， 令， 可知这三个元集合，满足，且满足条件②， 故为三分集合， 因此可得，若为三分完美数，则也为三分完美数. 由为完美三分数，结合所证结论可知，存在无穷多个完美三分数. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于第（3）问中，能将一个集合为两个三分集合（交集为空集）的并集，由此借助两个条件可证明其也是三分集合. 学科网（北京）股份有限公司 $