专题06 全等三角形单元过关（培优版）-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题06 全等三角形单元过关（培优版） 考试范围：第十二章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（　　） A．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝3cm B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90° C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30° 2．小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法．如图，小明直立在河岸边的处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的处，然后转过身，保持和刚才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的处（，，三点在同一水平直线上），小明通过测量，之间的距离，即得到，之间的距离．小明这种方法的原理是（    ） A． B． C． D． 3．如图，△PBC的面积为15cm2，PB为∠ABC的角平分线，作AP垂直BP于P，则△ABC的面积（　　） A．25cm2 B．30cm2 C．32.5cm2 D．35cm2 4．如图．A，D，C，F在同一直线上，下列条件组合中，可以判定的是①；②；③；④．（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知，，E、F、A、C四点共线，，且．则的值为（）    A．5 B．6 C．4 D．8 6．在等腰中，，点，为坐标原点，若平分，则的值（    ） A．5 B．7 C．5或7 D．4或5 7．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ACD=3，DE=2，则AC长是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为56和32,则△EDF的面积为（ ） A．10 B．11 C．12 D．不能确定 9．如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③ 10．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）    A．105° B．110° C．100° D．120° 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，，平分交于点,若，则＝ ． 12．如图，已知，若以“SAS”为依据判定≌，还需添加的一个直接条件是 ． 13．如图，已知，于点，于点，与相交于点，连接，则图中共有 对全等三角形． 14．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD= ． 15．如图，AB=AC，BE=CD，要使，依据SSS，则还需添加条件 ．（填一个即可） 16．如图，中，，点为中点，连接，于，交于，连接，点为中点，连接，以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论的序号为 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图，是∠的平分线， ⑴若点是上任意一点，请证明：△≌△；    ⑵若点是反向延长线上一点，结论还成立吗？请画出图形并证明你的猜想    18．同学们在学习“探索三角形全等的条件”时，发现“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”是假命题．说明一个命题是假命题，只需要画出反例即可． 如图，已知和，．请用直尺和圆规在图（2）中作，使得且与不全等．（保留作图痕迹，不写作法） 19．如图，∠A=∠D=90°，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，求证：EC是∠BCD的角平分线． 20．已知：如图，在中过点、分别作，，垂足分别为、，且.求证：. 21．如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 22．（1）如图，已知∠AOB，请你利用图①，用尺规作出∠AOB的平分线OP，并画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形； （2）参考（1）中画全等三角形的方法，解答下列问题：如图②，在ABC中，∠ACB是直角，∠B =60°，AD、CE分别是∠BAC与∠BCA的平分 线，AD和CE相交于点F，请猜想FE与FD有怎样的数量关系，并加以说明． 23．如图，，点为上的一点，，求证：． 24．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l经过点A，过B、C两点分别作直线l的垂线段，垂足分别为D、E． （1）如图1，△ABD与与△CAE全等吗？请说明理由； （2）如图1，BD=DE+CE成立吗？为什么？ （3）若直线AE绕A点旋转到如图2位置时，其它条件不变，BD与DE、CE关系如何？请说明理由． 25．（1）模型：如图1，在平面直角坐标系中，且，，点C、B按顺时针顺序排列，求B点坐标； （2）运用：如图2，点M、E分别在x轴、y轴上，，点A在x轴负半轴上，连，作且，连交y轴于N，则ON与AM的数量关系，并证明； （3）拓展：如图3，，轴，在直线上一动点N，连接并在x轴下方作且，连接点与点Q的线段交x轴于点E，当，则Q点坐标为__________（请同学们自己画图，并直接写出结果）    学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 全等三角形单元过关（培优版） 考试范围：第十二章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（　　） A．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝3cm B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90° C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30° 【答案】B 【分析】根据三角形三边的关系对A进行判断；根据全等三角形的判定方法对B、C、D进行判断． 【详解】解：A、因为AB+AC＜BC，三条线段不能组成三角形，所以A选项不符合题意； B、BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°，根据直角三角形 可判断此三角形为唯一三角形，所以B选项符合题意； C、利用∠A＝∠B＝∠C＝60°根据 不能确定三角形全等，画出来的三角形不唯一，所以C选项不符合题意； D、利用AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°根据 ，不能判断两个三角形全等，画出来的三角形不唯一，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法—— ， ， ， ． 2．小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法．如图，小明直立在河岸边的处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的处，然后转过身，保持和刚才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的处（，，三点在同一水平直线上），小明通过测量，之间的距离，即得到，之间的距离．小明这种方法的原理是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】小明直立在河岸边的处，说明 保持和刚才完全一样的姿势说明 ∵CO为 与共边． ∴与全等的条件为． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的知识点，掌握该知识点是解答本题的关键． 3．如图，△PBC的面积为15cm2，PB为∠ABC的角平分线，作AP垂直BP于P，则△ABC的面积（　　） A．25cm2 B．30cm2 C．32.5cm2 D．35cm2 【答案】B 【分析】延长AP交BC于点D，可证得，从而得到AP=DP，进而得到， 即可求解． 【详解】解：如图，延长AP交BC于点D， ∵PB为∠ABC的角平分线， ∴∠ABP=∠CBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB=∠BPD=90°， ∵BP=BP， ∴ ， ∴AP=DP， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵△PBC的面积为15cm2， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，得到是解题的关键． 4．如图．A，D，C，F在同一直线上，下列条件组合中，可以判定的是①；②；③；④．（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可一一判定． 【详解】解：A、根据条件可以证明，，缺少全等的条件，不能证明，故本选项不符合题意； B、根据条件可以证明，，缺少全等的条件，不能证明，故本选项不符合题意； C、根据条件可以证明，，，不能证明，故本选项不符合题意； D、根据条件可以证明，，，可以根据即可证明，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 5．如图，已知，，E、F、A、C四点共线，，且．则的值为（）    A．5 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质由平行线的性质得到，又，推出，得到，因此，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．在等腰中，，点，为坐标原点，若平分，则的值（    ） A．5 B．7 C．5或7 D．4或5 【答案】C 【分析】由题意可得点A在y正半轴上，点B在第一象限，点C在x轴上，由OB平分∠AOC，可求n=4，由两点距离公式可求m的值，即可得m+n的值． 【详解】∵点A（0，m），B（n，12-2n），C（2m-1，0），0＜a＜b＜6， ∴点A在y正半轴上，点B在第一象限，点C在x轴上， ∵OB平分∠AOC， ∴n=12-2n ∴n=4 ∵AB=BC， ∴AB2=BC2， 即， ∴m=3或1， ∴m+n=7或5， 故选C. 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质和全等三角形的判定和性质，熟练运用两点距离公式是本题的关键． 7．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ACD=3，DE=2，则AC长是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可． 【详解】如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DF， 由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD， ∴×4×2+×AC×2=7， 解得AC=3． 故选A 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 8．如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为56和32,则△EDF的面积为（ ） A．10 B．11 C．12 D．不能确定 【答案】C 【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的性质定理可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，设面积为S，然后根据S△ADF=S△ADH列出方程求解即可． 【详解】如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DH， 在Rt△DEF和Rt△DGH中, ∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL)， ∴S△EDF=S△GDH，设面积为S， 在Rt△ADF和Rt△ADH中， Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）， ∴S△ADF=S△ADH， 即32+S=56−S， 解得S=12. 故选C. 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，以及用HL判定直角三角形全等，由全等三角形面积相等得到等量关系是解决本题的关键. 9．如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③ 【答案】B 【分析】如图作于点E，于点F，只要证明，即可一一判断． 【详解】解：如图所示：作于点E，于点F， ， ， ， ， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确， ， 定值，故③正确， 定值，故②正确， 的位置是变化的， 之间的距离也是变化的，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 10．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）    A．105° B．110° C．100° D．120° 【答案】C 【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题． 【详解】解：如图延长C′D交AB′于H．    ∵△AEB≌△AEB′， ∴∠ABE＝∠AB′E， ∵C′H∥EB′， ∴∠AHC′＝∠AB′E， ∴∠ABE＝∠AHC′， ∵△ADC≌△ADC′， ∴∠C′＝∠ACD， ∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD， ∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC， ∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°， ∴∠C′AH＝120°， ∴∠C′＋∠AHC′＝60°， ∴∠BFC＝60°＋40°＝100°， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，，平分交于点,若，则＝ ． 【答案】 【分析】根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠C＋∠CAB＝180°， ∵∠C＝50°， ∴∠CAB＝180°−50°＝130°， ∵AE平分∠CAB， ∴∠EAB＝65°， ∵AB∥CD， ∴∠EAB＋∠AED＝180°， ∴∠AED＝180°−65°＝115°， 故答案为115°． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和平行线性质的应用. 12．如图，已知，若以“SAS”为依据判定≌，还需添加的一个直接条件是 ． 【答案】AB=BC 【分析】利用公共边BD以及∠ABD=∠CBD，依据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，即可得到需要的条件． 【详解】如图，∵在△ABD与△CBD中，∠ABD=∠CBD，BD=BD， ∴添加AB=CB时，可以根据SAS判定△ABD≌△CBD， 故答案为AB=CB． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 13．如图，已知，于点，于点，与相交于点，连接，则图中共有 对全等三角形． 【答案】5 【分析】先根据证明，可得，根据证明 ，可得，根据证明，可得，根据证明 ，进一步证明． 【详解】∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ． ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴共有5对全等的三角形， 故答案为：5． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 14．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD= ． 【答案】1 【分析】根据平行线的性质，得出∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，根据全等三角形的判定，得出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质，得出AD=CF，根据AB=4，CF=3，即可求线段DB的长． 【详解】∵CF∥AB， ∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F， 在△ADE和△FCE中 ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴AD=CF=3， ∵AB=4， ∴DB=AB-AD=4-3=1． 故答案为1． 【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定△ADE≌△FCE是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等． 15．如图，AB=AC，BE=CD，要使，依据SSS，则还需添加条件 ．（填一个即可） 【答案】或（填其中任一个均可） 【分析】根据定理、线段的和差即可得． 【详解】由题意，有以下两种情况： （1）当时，由定理可证得； （2）当时， ， ，即， 则当时，也可利用定理证得； 故答案为：或（填其中任一个均可）． 【点睛】本题考查了定理，熟练掌握定理是解题关键． 16．如图，中，，点为中点，连接，于，交于，连接，点为中点，连接，以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论的序号为 ． 【答案】③④ 【分析】作AP⊥AC交CE的延长线于P，连接CH．构造全等三角形，证明△CAP≌△BCG（ASA），△EAG≌△EAP（SAS），即可分步判断①②③，利用四点共圆可以证明④正确． 【详解】解：如图，作AP⊥AC交CE的延长线于P，连接CH． ∵CE⊥BG， ∴∠CFB=∠ACB=90°， ∵∠ACE+∠BCE=90°，∠CBG+∠BCE=90°， ∴∠ACE=∠CBG， ∵BG是△ABC的中线，AB＞BC， ∴∠ABG≠∠CBG， ∴∠ACE≠∠ABG，故①错误， ∵∠ACP=∠CBG，AC=BC，∠CAP=∠BCG=90°， ∴△CAP≌△BCG（ASA）， ∴CG=PA=AG，∠BGC=∠P， ∵AG=AP，∠EAG=∠EAP=45°，AE=AE， ∴△EAG≌△EAP（SAS）， ∴∠AGE=∠P， ∴∠AGE=∠CGB，故③正确， ∵， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BC=10， ∴AG=CG=5， ∴， ∵ ， ∴，故②错误， ∵CA=CB，∠ACB=90°，AH=HB， ∴∠BCH=∠ACH=45°， ∵∠CFB=∠CHB=90°， ∴C，F，H，B四点共圆， ∴∠HFB=∠BCH=45°， ∴∠EFH=∠HFB=45°， ∴FH平分∠BFE，故④正确， 综上所述，正确的只有③④. 故答案为③④ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，熟悉各项性质是解题的关键． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图，是∠的平分线， ⑴若点是上任意一点，请证明：△≌△；    ⑵若点是反向延长线上一点，结论还成立吗？请画出图形并证明你的猜想    【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析； 【分析】（1）根据SAS证明△ABD与△ACD全等； （2）由题意画出图形，再根据SAS证明△ABD与△ACD全等． 【详解】（1）∵是∠的平分线， ∴∠BAD=∠CAD 在△ABD与△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）； （2）如图所示：    ∵是∠的平分线， ∴∠BAE=∠CAE， ∴∠BAD=∠CAD， 在△ABD与△ACD中， ， △ABD≌△ACD（SAS）． 【点睛】考查了三角形全等的判定和角平分线的性质，解题关键是由角平线的性质得到角相等和熟记并灵活运用三角形全等的判定（AAS、SAS、SSS等）． 18．同学们在学习“探索三角形全等的条件”时，发现“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”是假命题．说明一个命题是假命题，只需要画出反例即可． 如图，已知和，．请用直尺和圆规在图（2）中作，使得且与不全等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】详见解析 【分析】边已知，要使，则在上作，要使，则再以为端点，长为半径画弧，交射线于点，，则是与全等的三角形，是与不全等的三角形． 【详解】解：（1）以为一边作出； （2）以为端点，长为半径画弧，交射线于点，，连接． 则是所求作的三角形． 【点睛】本题考查了作三角形，涉及了作角和作线段，以及全等三角形的性质，解题的关键的关键是理解题意，熟练掌握相关基础知识，正确作出所求的三角形． 19．如图，∠A=∠D=90°，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，求证：EC是∠BCD的角平分线． 【答案】证明见详解． 【分析】过E作EF⊥BC于F，∠A=90º，EA⊥AB，BE平分∠ABC，利用角平分线性质得EA=EF， 由点E是AD的中点，推出AE=DE，ED⊥DC，又EF⊥BC，且EF=ED，EC为∠BCD的角平分线． 【详解】过E作EF⊥BC于F， ∵∠A=90º，EA⊥AB， ∵BE平分∠ABC， ∴EA=EF， ∵点E是AD的中点， ∴AE=DE， ∵∠D=90°， ∴ED⊥DC， 又EF⊥BC， 且EF=ED， ∴EC为∠BCD的角平分线． 【点睛】本题考查角分线的性质与判定，掌握好角平分线的性质，会利用性质推出到角两边距离相等，通过等量传递性，来证明角平分线是解题关键． 20．已知：如图，在中过点、分别作，，垂足分别为、，且.求证：. 【答案】详见解析. 【分析】利用“AAS”证明≌，从而得证. 【详解】解：∵ ，， ∴ ∠AEC=∠ADB=90°， 在和中， , ∴ ≌， ∴ . 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关定理是解题关键. 21．如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理，证明是解题的关键． （1），则，根据角平分线的判定即可得到结论； （2）由（1）可得，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又， ∴平分； （2）解：由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 22．（1）如图，已知∠AOB，请你利用图①，用尺规作出∠AOB的平分线OP，并画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形； （2）参考（1）中画全等三角形的方法，解答下列问题：如图②，在ABC中，∠ACB是直角，∠B =60°，AD、CE分别是∠BAC与∠BCA的平分 线，AD和CE相交于点F，请猜想FE与FD有怎样的数量关系，并加以说明． 【答案】见解析 【详解】试题分析：（1）根据角平分线的基本作图法作出OP,并在图中截取OE=OF，从而得到△COE≌△COF； （2）在AC上截取AM=AE，根据作图可得△AEF≌△AMF，再得到EF=MF，同理得证△CDF≌△CMF，得到FD=FM，因此得证结果. 试题解析：（1）作图,在OA和OB上截取OE=OF，在OP上任取一点C，连接CE、CF，则 △COE≌△COF （2）在AC上截取AM=AE ∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠EAF=∠MAF ∴△AEF≌△AMF ∴EF=MF ∵CE是∠BCA的平分线，∠ACB=90° ∴∠DCF=45° 又∵∠B=60° ∴∠CAD=15° ∴∠CDF=75° ∴∠AMF=∠AEF=105° ∴∠FMC=75° ∴∠ CDF=∠CMF 又∵CF=CF ∴△CDF≌△CMF ∴FD=FM ∴EF=DF 考点：角平分线的基本作图，性质，三角形全等的性质和判定 23．如图，，点为上的一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定；先过点作垂足分别为，根据角平分线的定义得出，根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：如图所示，过点作垂足分别为， ∴， ∵，点为上的一点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 24．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l经过点A，过B、C两点分别作直线l的垂线段，垂足分别为D、E． （1）如图1，△ABD与与△CAE全等吗？请说明理由； （2）如图1，BD=DE+CE成立吗？为什么？ （3）若直线AE绕A点旋转到如图2位置时，其它条件不变，BD与DE、CE关系如何？请说明理由． 【答案】（1）△ABD≌△CAE；（2）成立；（3）DE=BD+CE． 【分析】（1）根据已知条件易证得∠BAD=∠ACE，且根据全等三角形的判定可证明△ABD≌△CAE； （2）根据全等三角形的性质及各线段的关系即可得结论． （3）DE=BD+CE．根据全等三角形的判定可证明△ABD≌△CAE，根据各线段的关系即可得结论． 【详解】（1）△ABD≌△CAE，理由如下： ∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°． ∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠BAD； 又∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB=∠CEA=90°． 在△ABD和△CAE中，∵∠BAD=∠ACE，∠ADB=∠CEA，AB=CA，∴△ABD≌△CAE（AAS）； （2）成立，理由如下： ∵△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE； ∵AE=DE+AD，∴BD=DE+CE； （3）DE=BD+CE．理由如下： ∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°． ∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠BAD； 又∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB=∠CEA=90°． 在△ABD和△CAE中，∵∠BAD=∠ACE，∠ADB=∠CEA，AB=CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE； ∵DE=AE+AD，∴DE=BD+CE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到直角三角形的性质、余角和补角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 25．（1）模型：如图1，在平面直角坐标系中，且，，点C、B按顺时针顺序排列，求B点坐标； （2）运用：如图2，点M、E分别在x轴、y轴上，，点A在x轴负半轴上，连，作且，连交y轴于N，则ON与AM的数量关系，并证明； （3）拓展：如图3，，轴，在直线上一动点N，连接并在x轴下方作且，连接点与点Q的线段交x轴于点E，当，则Q点坐标为__________（请同学们自己画图，并直接写出结果）    【答案】（1），（2），见解析，（3）或 【分析】（1）过点C作轴于点A，过点B作于点D，求证，得，于是； （2）；过点F作于点G，可证，得．可证，得，于是； （3）如图分情况讨论①若点E在x轴正半轴上，过点Q作轴于点H，可证，得.点Q作于点I，由四边形是矩形，,可证，得，于是，②若点E在负半轴上，作轴于点J，轴于点K，则四边形是矩形，求证，得，求证，得，可得． 【详解】解：（1）如图，过点C作轴于点A，过点B作于点D， 则. ∵， ∴． 又 ∴． ∴． ∴． ∴    （2），理由如下， 如图，过点F作于点G， 同（1）可得， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∴． ∴    （3）如图 ①若点E在x轴正半轴上， 过点Q作轴于点H，则, ∵ ∴. 又, ∴. ∴. 过点Q作于点I，由四边形是矩形，, ∴． 又， ∴． ∴． ∴． ∴    ②若点E在负半轴上， 如图，作轴于点J，轴于点K，则四边形是矩形， ∴． ∵， ∴ 又， ∴ ∴． ∴ 又， ∴． ∴ ∴ ∴．    综上，或 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，具备一定的数形结合思想，运用全等三角形求证线段相等是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$