专题04 有理数的运算单元过关（基础版）-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（人教版2024）

专题04 有理数及其运算单元过关（基础版） 考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列各组的两个数中，运算结果相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 2．的结果为（　　） A．-1 B．1 C．-25 D． 3．在“八八战略”指引下，湖州生动践行了绿水青山就是金山银山的理念，走出了一条逐绿前行、因绿而兴、绿满金生、以绿惠民的特色发展之路．全市地区生产总值从2002年的422.5亿元跃升至2022年的3850亿元．其中3850亿用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 4．定义，则（　　） A．2 B． C．0 D． 5．济南市某日的天气：多云/晴，微风4级，全天气温．则该日的温差是（    ） A． B． C． D． 6．若a＜0，b＞0，则（　　） A．a+b＝0 B．a﹣b＞0 C．ab＜0 D．0 7．已知有理数、、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 8．对于算式逆用分配律写成积的形式是（    ） A． B． C． D． 9．有6吨货物，第一次运走了它的，第二次运走了吨，两次共运走了（      ）吨 A．5 B． C． D． 10．观察下列等式：，，，，，，…，则结果的个位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则a﹣b a﹣c．（选填“＞”或“＜”） 12．2021年10月22日浙江省第四届体育大会开幕式在衢州体育中心隆重举行，建设该体育中心总投资约35亿元，将数据35亿用科学记数法表示为 ． 13．根据所给的程序(如图)计算：当输入的数为－时，输出的结果是 ． 14．某地上午气温为4℃，下午上升1℃，到半夜又下降3℃，则半夜的气温为 ℃． 15．计算：的结果为 ． 16．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应．展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数． 利用上面的规律计算： ，原式= 评卷人 得分 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．某服装店购进了 套保暖内衣，销售时，针对不同的顾客，这 套保暖内衣的售价不完全相同，若以 元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如表所示： 售出件数 7 6 7 8 2 售价（元） 0 (1)与标准价格相比， 件保暖内衣总售价超过或不足多少元？ (2)若该服装店每件进价为 元，则盈利多少元？ 19．计算题 (1) (2) 20．用简便的方法计算： (1)； (2)． 21．学习有理数计算后，冬冬同学遇到这样一道题目：． 冬冬的解法如下：     第一步     第二步     第三步     第四步 冬冬的计算过程从第_________步开始出现错误，错误的原因是_________ 请你把这道题正确的计算过程写下来． 22．图解法即利用图形描述和分析问题，是在直观感知的感性基础上所形成的理性思考的结果，体现学习者对数学对象的几何属性的整体把握和直观判断的能力，图解法能使抽象的数学关系因几何直观而形象化．我们用图象法来研究速算． 提出问题：是十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例． 步骤一画图：如图用一张长为57，宽为53的矩形纸片，在其右边剪下长为50，宽为3的一个矩形，拼到原矩形的上面． 步骤二分析：剪拼之前矩形纸片的面积可表示为，剪拼之后纸片的面积可表示为．可以看出：十位数字5与5加1的和相乘，再乘以100，加上个位数字7与3的积．这样计算速度很快． 任务一：猜想速算方法（用文字概括）______． 任务二：有两个正的两位数，题目的十位数字相同，个位数字之和为10，其中一个两位数的个位数字为4，这两个两位数的乘积为1224．求这两个两位数． 23．小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式： ，，，， ，，，， ，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的“乘减法”法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并用绝对值较大的数减绝对值较小的数；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同． ①用“乘减法”计算：______； 小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．请你探究结合律在有理数的“乘减法”中是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请以，，为例说明不成立． 24．定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如3÷3÷3÷3等．类比有理数的乘方，我们把3÷3÷3÷3记作，读作“3的下4次方”．一般地，把n个相除记作，读作“a的下n次方”． (1)直接写出计算结果：______． (2)关于除方，下列说法正确的有______（把正确的序号都填上） ①对于任何正整数n，； ②； ③ ④负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数． (3)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：（幂的形式）． 试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：______；______． (4)计算： 25．观察下列算式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)请写出第5个等式：__________； (2)写出第个（为正整数）等式； (3)计算：的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数及其运算单元过关（基础版） 考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列各组的两个数中，运算结果相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方法则进行解答． 【详解】．，，选项结果不相等，不符合题意； ．，，选项结果不相等，不符合题意； ．，，选项结果相等，符合题意； ．，，选项结果不相等，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，熟记运算法则是解题的关键． 2．的结果为（　　） A．-1 B．1 C．-25 D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘除法运算顺序进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘除法混合运算，解决本题的关键是同级运算要从左到右进行运算． 3．在“八八战略”指引下，湖州生动践行了绿水青山就是金山银山的理念，走出了一条逐绿前行、因绿而兴、绿满金生、以绿惠民的特色发展之路．全市地区生产总值从2002年的422.5亿元跃升至2022年的3850亿元．其中3850亿用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：3850亿， 故选：B． 4．定义，则（　　） A．2 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据新定义，先算，再算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，涉及知识点：有理数的乘方和减法，理解新定义是解题的关键． 5．济南市某日的天气：多云/晴，微风4级，全天气温．则该日的温差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用最高温度减去最低温度，再跟减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【详解】， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 6．若a＜0，b＞0，则（　　） A．a+b＝0 B．a﹣b＞0 C．ab＜0 D．0 【答案】C 【详解】根据有理数a，b的符号，判断这两个数的和、差、积、商的符号即可． 【详解】解：∵a＜0，b＞0， ∴a、b异号， 因此a+b不一定等于0，可能是正数、负数或0，故A不符合题意； a﹣b＜0，因此B不符合题意； ab＜0，故C符合题意； 0，故D不符合题意； 故选：C． 7．已知有理数、、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可得，，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴，，，， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据数轴上的点的位置，判断式子的符号，有理数的乘法，有理数的运算法则，数形结合是解题的关键． 8．对于算式逆用分配律写成积的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘法分配律即可求解． 【详解】解： = = 故选B． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 9．有6吨货物，第一次运走了它的，第二次运走了吨，两次共运走了（      ）吨 A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：6×＋＝2+=2（吨）， 则两次共运走了2吨， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．观察下列等式：，，，，，，…，则结果的个位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】通过观察，，，，…知，它们的个位数是4个数一个循环2，4，8，6，…因数，所以的与的个位数字相同是4． 【详解】解：仔细观察，，，，…； 可以发现它们的个位数是4个数一个循环，2，4，8，6，… ∵， ∴的与的个位数字相同是4． 故选：B． 【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是找到2为底的幂的末位数字的循环规律． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则a﹣b a﹣c．（选填“＞”或“＜”） 【答案】＜ 【分析】根据数轴得出c＜b<a即可得出答案． 【详解】 解：从数轴可知：c＜b<a， 所以a﹣b＜a﹣c， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查数轴，理解数轴表示的数的意义是解答此题的关键． 12．2021年10月22日浙江省第四届体育大会开幕式在衢州体育中心隆重举行，建设该体育中心总投资约35亿元，将数据35亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数． 【详解】解：35亿， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 13．根据所给的程序(如图)计算：当输入的数为－时，输出的结果是 ． 【答案】10 【分析】利用程序框图中的各步运算要求，把－代入，直接运算求解即可． 【详解】解：由题意可知：输出的结果为：． 故答案为：10． 【点睛】本题主要是考查了有理数的乘法运算，读懂程序框图，列出对应的乘法算式，是解决此类问题的关键，另外也要注意同号和异号乘法的变号问题． 14．某地上午气温为4℃，下午上升1℃，到半夜又下降3℃，则半夜的气温为 ℃． 【答案】2 【分析】根据题意列运算式，进行有理数加减运算即可． 【详解】解：℃， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算的应用，做题关键是掌握有理数的加减运算法则． 15．计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】按照运算顺序依次计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是计算的关键． 16．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应．展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数． 利用上面的规律计算： ，原式= 【答案】 【分析】结合题意，根据数字和图形规律的性质分析，即可等到答案. 【详解】根据题意，得： ∴ ∴ ∵ ∴， ∴原式 故答案为：. 【点睛】本题考查了数字类规律探究、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解. 评卷人 得分 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是： （1）先算括号里的运算，绝对值，再算乘法，最后算加法即可； （2）先算乘方，再算括号里的运算，接着算除法与乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．某服装店购进了 套保暖内衣，销售时，针对不同的顾客，这 套保暖内衣的售价不完全相同，若以 元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如表所示： 售出件数 7 6 7 8 2 售价（元） 0 (1)与标准价格相比， 件保暖内衣总售价超过或不足多少元？ (2)若该服装店每件进价为 元，则盈利多少元？ 【答案】(1)超出； (2)盈利 ． 【分析】（1）根据“超过的钱数记为正，不足的钱数记为负”，将表中数据进行有理数的混合计算即可； （2）根据表中数据进行有理数的混合计算即可． 【详解】（1）解： 答： 件保暖内衣总售价超过元． （2） 答：该服装店每件进价为 元，则盈利元． 【点睛】本题主要考查正负数的知识；熟练掌握正负数的概念及正确计算是解题的关键． 19．计算题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照乘法分配律进行计算即可； （2）按照含乘方的有理数混合运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20．用简便的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)6 【分析】（1）根据有理数加法交换律计算法则求解即可； （2）先把化成，再根据乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法和混合运算，熟练运用加法交换律和乘法分配律，熟知相关运算法则是解题的关键． 21．学习有理数计算后，冬冬同学遇到这样一道题目：． 冬冬的解法如下：     第一步     第二步     第三步     第四步 冬冬的计算过程从第_________步开始出现错误，错误的原因是_________ 请你把这道题正确的计算过程写下来． 【答案】二，有理数的加法法则用错，正确过程见解析． 【分析】原式先算乘方，再算括号里面的加法，再算括号外面的乘法，最后算减法即可得到结果． 【详解】解：冬冬的计算过程从第 二步开始出现错误，错误的原因是有理数的加法法则用错． ． 故答案为：二，有理数的加法法则用错． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 22．图解法即利用图形描述和分析问题，是在直观感知的感性基础上所形成的理性思考的结果，体现学习者对数学对象的几何属性的整体把握和直观判断的能力，图解法能使抽象的数学关系因几何直观而形象化．我们用图象法来研究速算． 提出问题：是十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例． 步骤一画图：如图用一张长为57，宽为53的矩形纸片，在其右边剪下长为50，宽为3的一个矩形，拼到原矩形的上面． 步骤二分析：剪拼之前矩形纸片的面积可表示为，剪拼之后纸片的面积可表示为．可以看出：十位数字5与5加1的和相乘，再乘以100，加上个位数字7与3的积．这样计算速度很快． 任务一：猜想速算方法（用文字概括）______． 任务二：有两个正的两位数，题目的十位数字相同，个位数字之和为10，其中一个两位数的个位数字为4，这两个两位数的乘积为1224．求这两个两位数． 【答案】任务一：见解析；任务二：这两个两位数分别为：，． 【分析】本题考查了图形和数字规律的知识探究；解题的关键是熟练掌握图形和数字规律的联系，从而完成求解． 任务一：根据题干的分析与提示进行总结即可； 任务二：由个位数字之和为10，其中一个两位数的个位数字为4，可得另一个两位数的个位数，再结合任务一的总结可得答案． 【详解】解：任务一：猜想速算方法（用文字概括）：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果； 任务二： ∵有两个正的两位数，题目的十位数字相同，个位数字之和为10，其中一个两位数的个位数字为4， ∴另一个两位数的个位数为6； 而； ∴这两个两位数分别为：，． 23．小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式： ，，，， ，，，， ，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的“乘减法”法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并用绝对值较大的数减绝对值较小的数；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同． ①用“乘减法”计算：______； 小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．请你探究结合律在有理数的“乘减法”中是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请以，，为例说明不成立． 【答案】(1)正，负 (2)①0；②不成立，见解析 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）①根据（1）中的“乘减法”进行计算即可； ②设，，，代入式子进行计算，看结果是否相同即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，，，，． ∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用绝对值较大的数减绝对值较小的数；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正，负． （2）① ， 故答案为：0； ②，，， 左边， 右边， 因为左边右边， 所以不成立． 24．定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如3÷3÷3÷3等．类比有理数的乘方，我们把3÷3÷3÷3记作，读作“3的下4次方”．一般地，把n个相除记作，读作“a的下n次方”． (1)直接写出计算结果：______． (2)关于除方，下列说法正确的有______（把正确的序号都填上） ①对于任何正整数n，； ②； ③ ④负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数． (3)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：（幂的形式）． 试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：______；______． (4)计算： 【答案】(1) (2)①②④ (3)； (4) 【分析】（1）根据表示“a的下n次方”的意义进行计算即可； （2）根据表示“a的下n次方”的意义判断即可； （3）根据表示“a的下n次方”的意义，表示出， ，进而得出答案； （4）按照有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：①对于任何正整数n，，因此①正确； ②当a≠0时，，因此②正确； ③因为，而，因此③不正确； ④根据有理数除法的法则可得，④正确； 故答案为：①②④． （3）解：， 同理可得：． 故答案为：，． （4）解： 【点睛】本题考查有理数的混合运算，理解“，表示a的下n次方”的意义是正确计算的前提． 25．观察下列算式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)请写出第5个等式：__________； (2)写出第个（为正整数）等式； (3)计算：的值． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)286 【分析】本题考查数字变化的规律及有理数的混合运算，能用表示出第个等式是解题的关键． （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：（1）由题知，因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …， 所以第个等式为：； 当时，； 故答案为：． （2）由（1）知， 第个等式为：（为正整数）． （3）原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$