精品解析：山东省日照市2024-2025学年高二上学期校际联合开学考试数学试题

2023级高二校际联合考试 数学试题 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 3. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是边长为6的等边三角形，点D是AB的中点，点G是线段CD上一点，满足，则（ ） A B. C. D. 7. 已知函数，则图像有如下性质（ ） A. 关于点中心对称 B. 关于直线轴对称 C. 关于点中心对称 D. 关于点中心对称 8. 设，且，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为两个随机事件，以下命题正确的是（ ） A. 若与对立，则 B. 若与互斥，，则 C. 若，且，则与相互独立 D. 若与相互独立，，则 10. 已知函数的最大值为2，其部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数偶函数 C. 满足条件的正实数存在且唯一 D. 是周期函数，且最小正周期为 11. 如图，正方体棱长为2，点M是其侧面上的动点（含边界），点P是线段上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 存在点P，M，使得平面与平面PBD平行 B. 当点P为中点时，过A，P，点的平面截该正方体所得的截面是梯形 C. 当点M是线段的中点时，不存在点P使直线垂直平面 D. 当P为棱中点且时，点M的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数的图像过点，则______. 13. 已知扇形的半径为10，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，已知，则弧的中点C的坐标为__________． 14. 若存在实数m，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时，__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，且满足． （1）求B的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． （1）求盒中红球、黄球、蓝球个数； （2）设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 17. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，． （1）证明：平面PAD； （2）若为等边三角形，求点C到平面PBD距离． 18. 设a为常数，函数． （1）当时，求函数的值域； （2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； （3）当时，设n为正整数，在区间上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n的值． 19. 给定正整数，设集合，对于集合M中的任意元素，定义，． （1）当时，若，求所有满足条件的； （2）当时，均为M中的元素，且，求k的最大值； （3）当时，若均为M中的元素，其中，且满足，求k的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高二校际联合考试 数学试题 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合、，再求交集即可. 【详解】，，. 故选：B. 2. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论与，结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为， 当时，，由于，所以在上单调递增，排除BD； 当时，，由于，所以在上单调递减，排除A； 而C选项满足上述性质，故C正确. 故选：C. 3. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得． 详解：由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C. 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理． 4. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各段函数的单调性和分段点处的高低可得关于的不等式组，故可得其取值范围. 【详解】因为在上单调递减，故， 故. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数及对数的运算性质可判断的大小，根据余弦函数的单调性可判断的大小，故可得正确的选项. 【详解】，， 故. 故选：A. 6. 已知是边长为6的等边三角形，点D是AB的中点，点G是线段CD上一点，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，由三点共线，求得，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】因为为的中点，， 因为三点共线，可得，解得，即， 又因为是边长为6的等边三角形， 所以 . 故选：A. 7. 已知函数，则图像有如下性质（ ） A. 关于点中心对称 B. 关于直线轴对称 C. 关于点中心对称 D. 关于点中心对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式可得，故可得正确的选项. 【详解】由题意，函数的定义域为， 且 ， 故， 故图像关于点中心对称， 故选：D. 8. 设，且，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦函数性质，得到，结合三角函数的性质，求得，即可求解. 【详解】根据三角函数的性质知，， ， ， 要使得，可得， 则，，即， 可得， 所以， 当时， 当时，可得， 所以当或时，的最小值等于. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为两个随机事件，以下命题正确的是（ ） A. 若与对立，则 B. 若与互斥，，则 C. 若，且，则与相互独立 D. 若与相互独立，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥（或对立）事件概率的性质可判断AB的正误，根据独立事件的定义和性质可判断CD的正误. 【详解】对于A，若与对立，则，故A错误； 对于B，与互斥，则，故B正确； 对于C，因为，故， 故，故与不相互独立，故C错误； 对于D，因为，所以， 而与相互独立，故与相互独立，故，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数的最大值为2，其部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 满足条件的正实数存在且唯一 D. 是周期函数，且最小正周期为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求得函数，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，且， 因为函数的最大值为，可得，解得， 又因为，所以，所以A正确； 因为，且函数在的附近单调递减， 所以，所以， 又因为，可得，所以，解得，所以， 此时，其最小正周期为，所以C、D正确； 设， ，所以为奇函数， 即函数为奇函数，所以B不正确. 故选：ACD. 11. 如图，正方体棱长为2，点M是其侧面上的动点（含边界），点P是线段上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 存在点P，M，使得平面与平面PBD平行 B. 当点P为中点时，过A，P，点的平面截该正方体所得的截面是梯形 C. 当点M是线段的中点时，不存在点P使直线垂直平面 D. 当P为棱的中点且时，点M的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】找到点P，M使得平面与平面PBD平行肯定选项A；作出过点的平面截该正方体所得的截面判断选项B；当点与点重合时，直线垂直平面，否定选项C；求得点M的轨迹长度判断选项D. 【详解】对于A选项，当M为中点，P为中点时， 连接、，结合正方体的结构特征有， ，又平面PBD，平面PBD，则平面PBD， ，又平面PBD，平面PBD，则平面PBD， 又且都在面内，则平面平面PBD. 故A正确； 对于B选项，取BC中点N，连接 则，，则，又，则为梯形． 则梯形为截面，故B正确； 对于C选项，当M为中点，当点与点重合时， 由三垂线定理及逆定理易知：， 根据线面垂直的判定，得直线平面，故C错误; 对于D选项，取中点E，连接PE，ME，PM，则平面， 根据线面垂直的性质有，则， 则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧， 分别交AD、于、，则， 则，劣弧的长为．故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数的图像过点，则______. 【答案】 【解析】 分析】设出，代入点，求出，从而求出解析式，从而求出. 【详解】设，将代入，，解得：， 故，. 故答案为：-1 13. 已知扇形的半径为10，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，已知，则弧的中点C的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，求出，利用同角三角函数关系得到，，求出答案. 【详解】令，则， ，解得， 即，又， 又，解得，， ，即. 故答案为：． 14. 若存在实数m，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】以为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得，解不等式结合题意得，由此可得答案. 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 若存在实数，使得上式成立，则， 则， 可得，可得， 解得， 由， 则取得最大值时， 此时. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以为变量，转化为存在性问题分析求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，且满足． （1）求B的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理得，再由正弦定理得，即可求解； （2）由三角形的面积公式，求得，根据题意和余弦定理，化简求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，可得， 由余弦定理得， 又由正弦定理得， 因，所以，所以，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：由三角形的面积公式，可得，可得， 又由余弦定理得， 因为，所以，解得， 所以的周长为． 16. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设的概率可得关于球数的方程组，求出其解后可得不同颜色的求出. （2）利用列举法可求甲胜或乙胜的概率，从而可判断游戏是否公平. 【小问1详解】 设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x，y，z，从中任取一球，得到红球或黄球为事件A，得到黄球或蓝球为事件B， 则， 由己知得，解得， 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； 【小问2详解】 由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2个，1个，1个， 用，表示红球，用表示黄球，用表示蓝球， 表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间，． 可得， 记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件， 则，所以， 所以， 因为，所以此游戏不公平． 17. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，． （1）证明：平面PAD； （2）若为等边三角形，求点C到平面PBD的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据梯形边长利用勾股定理可得，再利用面面垂直的性质定理可得结论； （2）利用面面垂直性质可得三棱锥的高为，再利用等体积法计算即可求得点C到平面PBD的距离为. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为，所以，则． 因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD， 所以平面PAD． 【小问2详解】 在面PAD内过点P作,垂足为O，因为平面平面ABCD，且平面平面， 所以平面ABCD，如下图所示： 因为， 由（1）知平面PAD，由面PAD可得， 在中，，而， ． 设点C到平面PBD的距离为h， 由得，解得， 所以点C到平面PBD的距离为． 18. 设a常数，函数． （1）当时，求函数的值域； （2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； （3）当时，设n为正整数，在区间上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n的值． 【答案】（1） （2）； （3）1012，1349． 【解析】 【分析】（1）利用换元法结合三角函数值域，由二次函数性质即可得出函数的值域； （2）根据零点个数可得函数在上仅有一个零点，再由二次函数根的分布可得； （3）由二次函数根的个数及其符号并对参数的取值范围分类讨论，利用三角函数图象性质可得不同区间内的零点个数，即可得出结果. 【小问1详解】 由题意， 令，则， 当时，， 所以当时，取最大值； 当时，取最小值， 所以的值域为； 【小问2详解】 由题意函数在区间上有两个不同的零点， 即函数在上仅有一个零点，因为， 由零点存在性定理，只需，得； 所以实数a的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以有两个零点， 又，不妨 当时，得，即或； 由三角函数图象性质可知在（k为正整数）内零点个数为，在内零点个数为， 因为，所以； 当时，在（k为正整数）内零点个数为， 在内零点个数为，若，此时不存在n； 当时，则，在（k为正整数）内零点个数为， 因为，所以； 综上n的所有可能值为1012，1349． 19. 给定正整数，设集合，对于集合M中的任意元素，定义，． （1）当时，若，求所有满足条件的； （2）当时，均为M中的元素，且，求k的最大值； （3）当时，若均为M中的元素，其中，且满足，求k的最小值． 【答案】（1）或或 （2）4 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据定义计算得出，可解得； （2）根据题意写出集合M中的所有元素，根据分情况讨论即可得出结论； （3）由可知在序列中，任意一对相邻的向量都恰有个分量相等，即可知，经检验可知不合题意，当时可通过举例验证可知符合题意. 【小问1详解】 令， 由题意知 解得或或 【小问2详解】 表示之间至少有2个分量不相等， M中的元素总情况： 对上述所有元素分析，最大为3，此时只有、符合要求； 当时，通过列举知满足的有共四个元素 同理可知满足条件的元素还可以是： 共四个元素 综上可得k的最大值为4. 【小问3详解】 由，知． 而条件的含义是，在序列中，任意一对相邻的向量都恰有个分量不相等 根据题意已有． 法一： 若，则，因为， 所以恰有个分量不相等，即中恰有个1，又中含n个1， 所以，中恰有2个分量不相等，所以． 因为，所以，与矛盾． 这就表明不成立，故． 当，，，时满足全部条件， 此时．（上述的选取不唯一） 所以k的最小值是3． 法二： 若时，，且恰有3个分量不相等，恰有3个分量不相等． 换言之，恰有2个分量相等，即中有2个0，3个1； 恰有2个分量相等．即中有3个0，2个1，矛盾． 故时，不成立．，同理可知不成立． 这就表明． 当，，， 时满足全部条件，此时．（上述的选取不唯一） 所以k的最小值是3． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解新定义并根据的不同取值推导出中的元素关系，进而求得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$