精品解析：河南省郑州市巩义市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

质量检测试卷 九年级数学 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中心对称图形定义即可得出答案． 【详解】观察四个选项可知，只有C选项中的图形绕某一点旋转后不能与自身重合， 因此C选项中的图形不是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握定义是解题的关键．平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 任意挪两枚均匀的骰子，点数之和一定小于13 B. 打开电视，正在播放新闻 C. 三条长度分别为2，5，7的线段可以组成一个三角形 D. 掷一枚硬币，正面朝上 【答案】A 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、任意掷两枚均匀的骰子，点数之和一定小于13，是必然事件，符合题意； B、打开电视，正在播放新闻，是随机事件，不符合题意； C、三条长度分别为2，5，7的线段可以组成一个三角形，是不可能事件，不符合题意； D、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 如图，已知的内接正方形的边长为1，则的半径为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方形的性质结合勾股定理得出的半径． 【详解】解：连接，如图所示， ∵的内接正方形的边长为1， ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了正多边形和圆、勾股定理，正确掌握正方形的性质是本题的关键． 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数的解析式为，即． 故选：B． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 5. 为了估计巩义伊洛河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴两岸间的距离是， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，理解题意，会利用相似三角形的性质测距离是解答的关键． 6. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性对各选项分析判断即可． 【详解】解：由抛物线，可知： ，抛物线开口向上，因此A选项正确； 抛物线的对称轴为直线，因此B选项正确； 当时，y的值最小，最小值是2，所以抛物线的顶点坐标是，因此C选项正确； 因为，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，因此时，y随x的增大而增大，因此D选项错误； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 7. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，利用同弧所对的圆周角相等可求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8. 为加快推动生态巩义建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为40m，宽为30m，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽度应为多少?设矩形地块四周道路的宽度为xm，根据题意，下列方程不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据要使草坪的面积为，列一元二次方程，进一步判断即可． 【详解】解：可列方程， 故C选项不符合题意， 变形后，可得或， 故A选项不符合题意，D选项不符合题意， 不能得到， 故B选项符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键． 9. 在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（单位：Pa）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 函数解析式为 B. 物体承受的压力是 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】压力一定时，压强和受力面积成反比，根据当时，写出解析式，根据解析式即可判定各个选项． 【详解】解：设， ∵点在这个函数的图象上， ∴， ∴， ∴p与S的函数关系式为， 故选项A，B不符合题意； 当时，， ∴当时，， 故选项C符合题意； 当时，， 当时，， ∴当受力面积时，压强， 故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，根据题意写出反比例函数的解析式是解题的关键． 10. 如图，已知直线，相邻两条平行线间的距离都等于1，若矩形的四个顶点分别在三条直线上，且，则矩形的面积等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据题意设，则，，利用等面积法建立等式求出的值，即可求得矩形的面积． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 设，则，， 直线，相邻两条平行线间的距离都等于1， ， 解得或（不合题意，舍去）， ，则， 矩形的面积． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知一个二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，其中一个交点是原点，请你写出一个符合条件的二次函数的表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】二次函数图象过原点，则；二次函数图象与x轴有两个交点，则．写出满足以上两个特征的二次函数解析式便可． 【详解】解：根据题意得，二次函数的解析式为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，关键是抓住二次函数图象过原点与二次函数图象与x轴有两个交点的特征解 12. “石头，剪子，布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲，乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲，乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．随机出手一次，甲获胜的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画树状图，可得甲、乙两人同时做出手势共有9种等可能结果，其中甲获胜的共有3种，根据概率公式求解即可． 【详解】解：树状图如图所示： 甲、乙两人同时做出手势共有9种等可能结果，其中甲获胜的共有3种， ∴（甲胜）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． 13. 已知关于x的一元二次方程x2－2（k－1）x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________ ． 【答案】k＜1 【解析】 【分析】由题意根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2－2（k－1）x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 14. 如图，在中，E为的中点，以E为圆心，长为半径画弧交对角线于点F，若，，，则扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和、三角形的外角以及等腰三角形性质求出，然后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵E为BC的中点，EB、EF为半径， ∴ ∴， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】本题主要考查了扇形面积计算、三角形内角和定理、等腰三角形性质等知识点，掌握扇形面积计算公式是解题的关键． 15. 如图，矩形中，，，点P是边上一个动点，且不与点B，C重合，将沿直线AP折叠得到，点落在矩形的内部，连接，则周长的最小值为______． 【答案】##（写法不唯一） 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，由翻折可知，由三角形两边之差小于第三边得，从而求解． 【详解】解：连接，由题意可知， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理解直角三角形，三角形三边之间的关系；解题的关键是熟练掌握以上性质． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 用适当的方法解方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用求根公式直接求解即可； （2）先移项，然后利用平方差公式分解因式求解即可； 【小问1详解】 解：原方程可化为： ∴，， ∴ 方程有两个不相等的实数根 ∴， 【小问2详解】 解：原方程移项，得 因式分解，得 于是得或 ∴， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 17. 现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字1，2，3，4，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）随机抽取一张卡片，求抽取的卡片的数字大于2的概率； （2）随机抽取一张卡片后，放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取卡片上的数字和大于4的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 随机抽取一张卡片，抽取的卡片的数字大于2的概率为； 【小问2详解】 列表如下： 数字和 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由图表可知，共有16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的数字之和大于4的结果有10种， ∴两次抽取卡片上的数字和大于4的概率为． 【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 18. 如图，在中，点D是AC上的点，且，过D作交AB于E，过D作交BC于F． （1）若，求线段DE的长． （2）若的面积为16，求的面积． 【答案】（1）10 （2）4 【解析】 【分析】（1）证明，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴ ∴； 【小问2详解】 解∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， （1）求函数的表达式； （2）根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）或者 （3） 【解析】 【分析】（1）先把代入得到，据反比例函数的图象过点利用待定系数法求出k即可； （2）根据（1）中求得出B点坐标，结合以及函数图像进而求得结论； （3）根据待定系数法求出一次函数解析式，得到直线与y轴的交点坐标，将分割为，求出即可． 【小问1详解】 解：A、B点是一次函数与反比例函数的交点， ∴A，B点在一次函数上， ∴当时，；当时， ∴，， 将A点坐标代入反比例函数，∴，即， 即反比例函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：一次函数值大于反比例函数值，在图象中表现为，一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∵、， ∴一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围为：或者． 【小问3详解】 解：设一次函数与x轴交点为， ． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求出反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识，根据已知得出B点坐标以及得出是解题关键． 20. 在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点A顺时针旋转，得，点B，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． （1）如图1，若，请利用网格画出，并求的坐标； （2）如图2，若，求点的坐标； （3）若M为边上的一动点，在上取一点，将绕点A顺时针旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）图见解析，的坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出图形，利用图象法解决问题即可； （2）连接，过点O作于点H，由旋转的性质及直角三角形的性质可求出，的长，则可得出答案； （3）画出图形，得出的最大值和最小值，则可得出答案． 【小问1详解】 解：绕点A顺时针旋转90°得如图所示； ∵点，点，∴， ∴的坐标为 【小问2详解】 解：连接，过点O作于点H， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 则点的坐标为； 【小问3详解】 解：观察图形可知，当M与O重合时，的最小，最小值为1，当M与T重合时，的值最大，最大值为7， ∴的取值范围是． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 21. 铝加工是巩义经济的支柱产业之一，巩义某铝板厂通过技术改造升级，使铝板生产规模不断扩大．该厂7月份生产铝板1.92万吨，9月份生产铝板3万吨． （1）求8，9月份产量的平均增长率； （2）若9月份每吨铝板的利润为2000元，10月份每吨铝板的利润比9月增加，10月份铝板产量比上月增加，则10月份铝板项目月利润达到7920万元．求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设8，9月份产量的平均增长率为，根据9月份生产铝板3万吨得：，解方程并检验可得答案； （2）由已知列方程，解方程即可解得答案． 【小问1详解】 解：设8，9月份产量的平均增长率为， 根据题意得：， 解得或（舍去）， 答：，9月份产量的平均增长率为； 【小问2详解】 解：由已知得， 解得：或（舍去）， 答：的值为10． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程解决问题． 22. 用尺规作圆的切线，如图1，过圆外一点P，求作的切线． 作法：如图2，第一步，连接，作的垂直平分线，交于点A； 第二步，以A为圆心，以长为半径画圆，交于Q，R； 第三步连接； 所以，是的切线． （1）结合作图步骤，证明是的切线； （2）如图3，延长交于点C，连接，若的半径为3，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图：连接，根据垂直平分线性质可得，即是的直径；再根据圆周角定理得到，即，然后根据切线的判定定理得到为的切线，同理可证为的切线； （2）如图：连接，利用勾股定理计算出，再证明可得 可得①，然后利用勾股定理得到②，然后①②联立即可解答． 【小问1详解】 证明：如图：连接， ∵垂直平分线于点A， ∴， ∴是的直径， 由作图可知与交于点Q， ∴，即 又∵是的半径， ∴是的切线 同理:也是⊙O的切线 小问2详解】 解：连接， ∵在中，的半径为3， ∴， ∵是的直径， ∴，即 ∴，即， ∴ 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴，即① 又∵在中，，即② 由①②可得 【点睛】本题主要考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、切线的判定与性质和相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握5种基本作图是解答本题的关键． 23. 如图1所示是某家具厂的抛物线木板余料，其最大高度为9，最大宽度为12，现计划将此余料进行切割： （1）结合图形，在图1上建立适当的坐标系，求出抛物线对应的函数表达式； （2）工人师傅现需要一块边长为7的正方形木板，为了切割方便，要求一边在底部边缘上，这块余料能否满足工人的需求？如果能，请说出切割方案，如果不能，请说明理由； （3）若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长； （4）若切割成宽为2的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长，请在图3上画出切割方案，直接写出拼接后的矩形的长边长（结果保留根号）． 注意：思考中可能会用到的数据，， 【答案】（1）坐标系见解析， （2）不能满足，理由见解析 （3）26 （4）． 【解析】 【分析】（1）以所在的直线为x轴，以线段的中点O为原点建立如图1所示的平面直角坐标系，再利用待定系数法即可求解；（2）若按题目要求切割边长为7的正方形，一边在底部边缘上，为使边长最长，按如图2所示切割，则，求出时的纵坐标即可求解；（3）如图3所示矩形，设，则，再用含有t的表达式表示出矩形的周长，从而构造新的函数即可求解（4）分别令，再求出所有解，将所有解的绝对值相加即可． 【小问1详解】 以所在的直线为x轴，以线段的中点O为原点建立如图1所示的平面直角坐标系，由图象可知，， 所以设抛物线的表达式为，把代入，可得，所以抛物线所表示的二次函数的表达式为 【小问2详解】 不能满足工人的需求，若按题目要求切割边长为7的正方形，一边在底部边缘上，为使边长最长，按如图2所示切割，当时，，所以不能满足． 【小问3详解】 如图3所示矩形，设，则 将代入二次函数解析式，得，则， 矩形的周长为：， 当时，矩形的周长最大，最大周长为26； 【小问4详解】 切割方案如图4所示，拼接后的矩形的长边长为． 当时， 即． 解得 当时，解得 当时，解得 当时，解得 ∴拼接后的矩形的长边长为． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用及待定系数法等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 质量检测试卷 九年级数学 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 任意挪两枚均匀的骰子，点数之和一定小于13 B. 打开电视，正在播放新闻 C. 三条长度分别为2，5，7的线段可以组成一个三角形 D. 掷一枚硬币，正面朝上 3. 如图，已知的内接正方形的边长为1，则的半径为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 为了估计巩义伊洛河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 7. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 为加快推动生态巩义建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为40m，宽为30m，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽度应为多少?设矩形地块四周道路的宽度为xm，根据题意，下列方程不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（单位：Pa）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 函数解析式为 B. 物体承受的压力是 C. 当时， D. 当时， 10. 如图，已知直线，相邻两条平行线间的距离都等于1，若矩形的四个顶点分别在三条直线上，且，则矩形的面积等于（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知一个二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，其中一个交点是原点，请你写出一个符合条件的二次函数的表达式：______． 12. “石头，剪子，布”是一个广为流传游戏，规则是：甲，乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲，乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．随机出手一次，甲获胜的概率是______． 13. 已知关于x的一元二次方程x2－2（k－1）x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________ ． 14. 如图，在中，E为的中点，以E为圆心，长为半径画弧交对角线于点F，若，，，则扇形的面积为______． 15. 如图，矩形中，，，点P是边上一个动点，且不与点B，C重合，将沿直线AP折叠得到，点落在矩形的内部，连接，则周长的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 用适当的方法解方程． （1） （2） 17. 现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字1，2，3，4，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）随机抽取一张卡片，求抽取的卡片的数字大于2的概率； （2）随机抽取一张卡片后，放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取卡片上的数字和大于4的概率． 18. 如图，在中，点D是AC上的点，且，过D作交AB于E，过D作交BC于F． （1）若，求线段DE的长． （2）若面积为16，求的面积． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， （1）求函数的表达式； （2）根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围； （3）求的面积． 20. 在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点A顺时针旋转，得，点B，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． （1）如图1，若，请利用网格画出，并求的坐标； （2）如图2，若，求点的坐标； （3）若M为边上一动点，在上取一点，将绕点A顺时针旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果即可）． 21. 铝加工是巩义经济的支柱产业之一，巩义某铝板厂通过技术改造升级，使铝板生产规模不断扩大．该厂7月份生产铝板1.92万吨，9月份生产铝板3万吨． （1）求8，9月份产量的平均增长率； （2）若9月份每吨铝板的利润为2000元，10月份每吨铝板的利润比9月增加，10月份铝板产量比上月增加，则10月份铝板项目月利润达到7920万元．求的值． 22. 用尺规作圆的切线，如图1，过圆外一点P，求作的切线． 作法：如图2，第一步，连接，作的垂直平分线，交于点A； 第二步，以A圆心，以长为半径画圆，交于Q，R； 第三步连接； 所以，是的切线． （1）结合作图步骤，证明是的切线； （2）如图3，延长交于点C，连接，若半径为3，，求的长． 23. 如图1所示是某家具厂的抛物线木板余料，其最大高度为9，最大宽度为12，现计划将此余料进行切割： （1）结合图形，在图1上建立适当的坐标系，求出抛物线对应的函数表达式； （2）工人师傅现需要一块边长为7的正方形木板，为了切割方便，要求一边在底部边缘上，这块余料能否满足工人的需求？如果能，请说出切割方案，如果不能，请说明理由； （3）若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长； （4）若切割成宽为2的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长，请在图3上画出切割方案，直接写出拼接后的矩形的长边长（结果保留根号）． 注意：思考中可能会用到的数据，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$