精品解析：黑龙江省哈尔滨德强学校2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题

2024-2025学年度九年级上学期开学学情检测 数学试题 （总分：120分 总时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. －6的绝对值是（ ） A. -6 B. 6 C. - D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，小明为了测量其所在位置点A到河对岸点B之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m m，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于 (　　) A. m·sinαm B. m·tanαm C. m·cosαm D. m 7. 如图，E是AB边上中点，将△ABC沿过E的直线折叠，使点A落在BC上F处，折痕交边AC于点D，若△ABC的周长为12则△DEF的周长是（ ） A. 5cm B. 6cm C. 5cm D. 4cm 8. 如图，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　） A. 12m B. 10m C. 8m D. 7m 9. 如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（　　） A B. C. D. 10. 如图：某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．下列说法中错误的为（ ） A. 学校离家的距离为2000米 B. 修车时间为15分钟 C. 到达学校时共用时间20分钟 D. 自行车发生故障时离家距离为1000米 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 将830000用科学记数法表示为________． 12. 在函数中，自变量的取值范围是________________． 13. 计算2的结果为____． 14. 因式分解：=_____． 15. 不等式组解集是________． 16. 分式方程＝的解为 _____． 17. 如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ACD=∠ABC，若 AC=2，AD=1，则 DB=________． 18. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为__________°． 19. 在中，，，，则为________． 20. 在中，，，平分，交于点，交延长线于点，连接，若，则面积为________． 二、简答题（共60分） 21. 先化简，再求代数式值，其中 22. 下图是两张相同的每个正方形边长均为1的方格纸，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上； （1）在下图中画出以为一边的锐角等腰，点在在小正方形的顶点上，且的面积为10； （2）在下图中画出以为对角线的矩形，且矩形的面积为10，、点都必须在小正方形的顶点上，并直接写出矩形的周长为______． 23. 为增强学生的身体素质，教育部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时，为了解学生户外活动的情况，对部分学生户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）求一共调查了多少名学生； （2）通过计算请补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校学生每天参与户外活动时间大于或等于1.5小时的有多少人？ 24. 某校一初三学生在学习了“锐角三角函数”的应用后，来到“孔子圣像”的雕像前，如图，想要用所学知识解决“孔子圣像”雕像的高度，他在雕像前C处用自制测角仪测得顶端A的仰角为，底端B的俯角为；又在同一水平线上的E处用自制测角仪测得顶端A的仰角为，已知，求雕像的高度．（结果保留根号） 25. 如图，已知反比例函数的图象经过点，过A作轴于点C，经过点C的直线与反比例函数图象交于点B，直线与x轴的负半轴交于点E． （1）如图1，求m的值． （2）如图2，若点C是线段的中点，作轴于点D，求的面积． 26. 在矩形中，，点E在边上，连接，于H，交于点F （1）如图1，若，求证： （2）在（1）的条件下，如图2，以为边作平行四边形，连接，若平行四边形的面积为5时，求的长 （3）如图3，若，以为边作平行四边形，连接，，线段与交于点R，连接，当，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，直线，与x轴、y轴分别交于点B、A，的面积为2 （1）如图1，求m的值． （2）如图2，点C与点B关于y轴对称，点E在线段延长线上，轴（点F在点E左侧），连接、、，设点E的横坐标为t，面积为S，求S与t的函数关系式．（不要求写自变量的取值范围） （3）在（2）的条件下，如图3，连接AF，点G在上，于点R，且，交的延长线于点L，连接交于点K，若，，，求S的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度九年级上学期开学学情检测 数学试题 （总分：120分 总时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. －6的绝对值是（ ） A. -6 B. 6 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 【详解】负数绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6． 故选：B． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并同类项，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A、不是轴对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形”是解题的关键． 4. 反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质解题． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大， ∴函数图象必在第四象限， ∴， ∴． 故选：A． 5. 如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确； B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确； C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确； D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误； 故选D． 【点睛】考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 6. 如图，小明为了测量其所在位置点A到河对岸点B之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m m，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于 (　　) A. m·sinαm B. m·tanαm C. m·cosαm D. m 【答案】B 【解析】 【详解】∵tanα=，∴AB=mtanα米. 故选B 点睛：熟记三角函数公式. 7. 如图，E是AB边上的中点，将△ABC沿过E的直线折叠，使点A落在BC上F处，折痕交边AC于点D，若△ABC的周长为12则△DEF的周长是（ ） A. 5cm B. 6cm C. 5cm D. 4cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据翻折变换以及E为AB的中点，得出ED∥BC，根据平行线分线段成比例，即可得DE为△ABC的中位线，最后根据△DEF的周长为△ABC周长的一半，即可得出△DEF的周长． 【详解】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来， ∴AE=EF，∠AED=∠FED， ∵E是AB边的中点， ∴AE=EB， ∴BE=EF=AB， ∴∠B=∠BFE=∠AEF=∠AED， ∴EDBC， ∵E为AB的中点， ∴DE=BC， ∴DF=AD=AC， ∴△DEF的周长为△ABC周长的一半， 即△DEF的周长=×12=6， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换以及平行线分线段成比例，三角形中位线的运用，解题时注意掌握翻折变换的性质：翻折前后对应边相等、对应角相等． 8. 如图，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　） A. 12m B. 10m C. 8m D. 7m 【答案】A 【解析】 【分析】由BE∥CD得，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵BE∥CD， ∴， ∴，即， 解得：CD=12． ∴旗杆的高为12m． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，属于基础题. 9. 如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：作轴，轴，如图， ∵点P为矩形AOBC对角线交点， ∴矩形OEPF的面积矩形AOBC的面积 而 ∴过P点的反比例函数的解析式为 故选C． 10. 如图：某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．下列说法中错误的为（ ） A. 学校离家的距离为2000米 B. 修车时间为15分钟 C. 到达学校时共用时间20分钟 D. 自行车发生故障时离家距离为1000米 【答案】B 【解析】 【分析】观察图象，明确每一段小明行驶的路程，时间，作出判断即可． 【详解】解：A．学校离家的距离为2000米，正确； B．由图可知，修车时间为分钟，错误； C．到达学校时共用时间20分钟，正确； D．自行车发生故障时离家距离为1000米,正确； 故选：B． 【点睛】本题考查利用函数图象解决实际问题，正确理解函数图象的意义是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 将830000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，先确定a，n的值，再写成的形式即可． 【详解】根据题意，得． 故答案为：． 12. 在函数中，自变量的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】在函数中，分母不为0，则x-3≠0，求出x的取值范围即可. 【详解】在函数中，分母不为0， 则，即， 故答案为：. 【点睛】本题是对分式有意义考查，熟练掌握分母不为0是解决本题的关键. 13. 计算2的结果为____． 【答案】． 【解析】 【分析】先将二次根式分母有理化、化为最简二次根式，再进行二次根式的加减法计算． 【详解】原式=2×+2=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查二次根式的化简、二次根式分母有理化、二次根式加减混合运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 14. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 15. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式，再取公共解集，即可作答． 【详解】解：由解得 由解得 ∴不等式组的解集是 故答案为： 16. 分式方程＝的解为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】方程两边都乘以x(x﹣1)，化成整式方程，然后再代入检验即可求解． 【详解】解：方程两边都乘以x(x﹣1)得：2x＝3(x﹣1)， 解得：x＝3， 检验：∵当x＝3时，分母x(x﹣1)≠0， ∴x＝3是原方程的解， ∴原方程的解为x＝3， 故答案：x＝3． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，最后要记得检验即可． 17. 如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ACD=∠ABC，若 AC=2，AD=1，则 DB=________． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可． 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴ ， ∵AC=2，AD=1， ∴， 解得DB=3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质及对应边长成比例，难点在于找对应边． 18. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为__________°． 【答案】60 【解析】 【详解】试题分析：根据正方形和等边三角形的性质可得：∠BAD=90°，∠DAE=60°，根据△BAE为等腰三角形可得：∠ABE=∠AEB=15°，根据正方形的性质可得：∠BCF=45°，∠CBF=90°-15°=75°，根据△BCF的内角和定理可得：∠BFC=180°-45°-75°=60°. 故答案为：60 考点：（1）、等腰三角形的性质；（2）、三角形内角和定理；（3）、等边三角形的性质 19. 在中，，，，则为________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题分两种情况：如图1，过作于，在中，由已知条件，设，，根据勾股定理求出的值，从而得出，，在中，根据勾股定理得出，于是得到结果；如图2，过作交的延长线于，同理可得结果．本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻，． 【详解】解：如图1，过作于， 在中， ， 设，， ， ， ， ，， 在中，， ； 如图2，过作交的延长线于， 在中， ， 设，， ， ， ， ，， ∵ ∴ ∴， 故答案为：或 20. 在中，，，平分，交于点，交延长线于点，连接，若，则面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质及全等三角形的判定可知，再利用全等三角形的性质及角平分线的定义可知是的中线，最后利用直角三角形的性质及三角形面积公式即可解答． 【详解】解：如图，延长交的延长线与点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵平分，， ∴是等腰三角形， ∴是的中线， ∴， ∴点是的中点， ∴在中，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积公式，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二、简答题（共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中 【答案】，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】 ∵ ∴原式 22. 下图是两张相同的每个正方形边长均为1的方格纸，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上； （1）在下图中画出以为一边的锐角等腰，点在在小正方形的顶点上，且的面积为10； （2）在下图中画出以为对角线的矩形，且矩形的面积为10，、点都必须在小正方形的顶点上，并直接写出矩形的周长为______． 【答案】（1）见详解；（2）见详解，． 【解析】 【分析】（1）作AF=AB=5即可； （2）以为边构造矩形即可，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）△ABF即为所求； （2）矩形CGDH即为所求； ，， ∴矩形CGDH的周长=2（）=． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定，勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题． 23. 为增强学生的身体素质，教育部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时，为了解学生户外活动的情况，对部分学生户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）求一共调查了多少名学生； （2）通过计算请补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校学生每天参与户外活动时间大于或等于1.5小时的有多少人？ 【答案】（1）50人 （2）见详解 （3）800人 【解析】 【分析】（1）根据活动时间是小时的人数是10人，所占的百分比是，据此即可求得总人数；（2）利用总人数减去其它组的人数即可求解； （3）先求出该校学生每天参与户外活动时间大于或等于1.5小时的百占比，然后乘以总人数2000即可求得． 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 【小问1详解】 解：调查的总人数是：（人）； 【小问2详解】 解：参加户外活动时间是1.5小时的人数是：（人）； 【小问3详解】 解：依题意，（人）． ∴该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校学生每天参与户外活动时间大于或等于1.5小时的有800人． 24. 某校一初三学生在学习了“锐角三角函数”的应用后，来到“孔子圣像”的雕像前，如图，想要用所学知识解决“孔子圣像”雕像的高度，他在雕像前C处用自制测角仪测得顶端A的仰角为，底端B的俯角为；又在同一水平线上的E处用自制测角仪测得顶端A的仰角为，已知，求雕像的高度．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】在、、中运用特殊角的三角函数求出、和即可求解． 【详解】解：由题意可知， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形——仰俯角；解题的关键是选用正确的三角函数． 25. 如图，已知反比例函数的图象经过点，过A作轴于点C，经过点C的直线与反比例函数图象交于点B，直线与x轴的负半轴交于点E． （1）如图1，求m的值． （2）如图2，若点C是线段的中点，作轴于点D，求的面积． 【答案】（1）8 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式以及线段的中点的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，再得出，最后运用待定系数法求解析式，即可作答． （2）先由点C是线段的中点以及中点，坐标公式得出，代入，得出，然后求出一次函数，得出，最后的面积，即可作答． 【小问1详解】 解：∵过A作轴于点C，经过点C的直线 ∴当， 即， ∴， 把代入， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：依题意，∵点C是线段的中点，且，点E在轴上， ∴， 即， ∴ 把代入 得 ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵轴， ∴的面积． 26. 在矩形中，，点E在边上，连接，于H，交于点F （1）如图1，若，求证： （2）在（1）的条件下，如图2，以为边作平行四边形，连接，若平行四边形的面积为5时，求的长 （3）如图3，若，以为边作平行四边形，连接，，线段与交于点R，连接，当，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，易证明，进而可得； （2）由平行四边形的性质得到，，则，根据，得到，则； （3）设，解得到，证明，得到，则，，；由平行四边形的性质得到R为的中点，则，在中，由勾股定理得，，则或，可得，则． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可知， 设， 在中，， ∴， 同理可证明， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴由矩形的性质可得， ∴， ∴； ∵平行四边形的对角线交于R， ∴R为的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，直线，与x轴、y轴分别交于点B、A，的面积为2 （1）如图1，求m的值． （2）如图2，点C与点B关于y轴对称，点E在线段的延长线上，轴（点F在点E左侧），连接、、，设点E的横坐标为t，面积为S，求S与t的函数关系式．（不要求写自变量的取值范围） （3）在（2）的条件下，如图3，连接AF，点G在上，于点R，且，交的延长线于点L，连接交于点K，若，，，求S的值． 【答案】（1）2 （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形解答． （1）分别得出，根据三角形的面积公式，即可解答； （2）先得出，则，设点E的横坐标为t，，则点F到x轴距离为，根据三角形的面积公式，即可解答； （3）延长交y轴于点Q，过点C作于点M，过点H作于点D，推出，，则，进而得出，通过证明，得出，则，求出t的值，将其代入（2）中得出的关系式，即可解答． 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∵的面积为2 ∴， 解得：（负值舍去）； 【小问2详解】 解：∵， ∴，直线的解析式为， ∵点C与点B关于y轴对称， ∴， ∴， 设点E的横坐标为t， ∴， ∵轴， ∴点F的纵坐标为， ∴点F到x轴距离为， ∴； 【小问3详解】 解：延长交y轴于点Q，过点C作于点M，过点H作于点D， ∵，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$