精品解析：江苏省盐城市盐都区2022-2023学年七年级下学期第一次月考数学试题

2023年春学期3月份课堂练习七年级数学试题 （考试时间：100分钟 卷面总分：120分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图案中，可以利用平移来设计的图案是（  ） A. B. C. D. 2. 在中，是钝角，下列图中画边上的高线正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若39m27m=，则m的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知一个三角形的两边长分别是2和7，第三边为偶数，则此三角形的周长是（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 15或17 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（　　） A B. C. D. 7. 如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），那么图中的度数和是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. _____． 10. 如果n边形的每一个内角都等于与它相邻外角的2倍，则n的值是_____． 11. 已知，，为的三边，化简：______． 12. 如图，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点，，若∠1＝115°，∠2＝135°，则∠A的度数为______． 13. 一机器人以3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为____s． 14. 如图，在中，D，E分别是中点，点F在上，且，若，则等于______． 15. 如图，的度数为______． 16. 如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的值为___________． 三、解答题（72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； 18. 如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）： （1）画出； （2）画出高； （3）连接、，那么与的关系是 ，线段AC扫过的图形的面积为 ． （4）在AB的右侧确定格点Q，使的面积和的面积相等，这样的Q点有 个． 19. 规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么． 例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：______，______； （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，小明给出了如下的证明： 设，则，即，所以，即， 所以试解决下列问题： ①计算 ②若，，，请探索，，之间的数量关系 20. 已知：如图，点D、E、F、G都在的边上，，， （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 21. 如图，，，． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 22. 如图，已知BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，连接FG、FC，FC与BD相交于点H，如果∠GFH与∠BHC互补. (1)说明：∠1=∠2. (2)若∠A=80°，FG⊥AC，求∠ACB的度数. 23. 如图1，已知∠ACD是ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ （1）尝试探究：如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为ABC的两个外角，则∠DBC＋∠ECB－∠A 180°．（横线上填＜、＝或＞） （2）初步应用：如图3，在ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P= ． （3）解决问题：如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系． 24. 新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形． （1）在中，，，则______倍角三角形． （2）如图1，直线与直线相交于，，点、点分别是射线、上动点；已知、的角平分线交于点，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． （3）如图2，直线直线于点，点、点分别在射线、上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、，若为3倍角三角形，试求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年春学期3月份课堂练习七年级数学试题 （考试时间：100分钟 卷面总分：120分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图案中，可以利用平移来设计的图案是（  ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A. 是利用中心对称设计的，不合题意； B，C是利用轴对称设计的，不合题意； D. 是利用平移设计的，符合题意. 故选D. 2. 在中，是钝角，下列图中画边上的高线正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形高的定义即可求解． 【详解】解：由三角形高的定义可知，只有A选项中的作法是画边上的高线， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 3. 若39m27m=，则m的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】∵39m27m=332m33m=31+2m+3m ∴1+2m+3m=21 ∴m=4 故选：B 4. 已知一个三角形的两边长分别是2和7，第三边为偶数，则此三角形的周长是（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 15或17 【答案】D 【解析】 【分析】从边的方面考查三角形形成的条件，利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长． 【详解】解：设第三边为，根据三角形的三边关系可得：． 即：， 由于第三边的长为偶数， 则可以为或． 三角形的周长是或． 故选：． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方以及幂的乘方运算法则依次判断即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的运算，解决本题的关键是牢记相关运算法则． 6. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方的运算法则即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则，掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键． 7. 如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE， ∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°， ∴∠1=∠DEC， 又∵∠1+∠2=90°， ∴∠DEC+∠2=90°， ∴∠C=90°， ∴∠B+∠C=180°， ∴AB∥CD，故①正确； ∴∠ADN=∠BAD， ∵∠ADC+∠ADN=180°， ∴∠BAD+∠ADC=180°， 又∵∠AEB≠∠BAD， ∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误； ∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1， ∴∠2=∠4， ∴ED平分∠ADC，故③正确； ∵∠1+∠2=90°， ∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°． ∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F， ∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°． ∵AE⊥DE， ∴∠3+∠4=90°， ∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°， ∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 8. 如图，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），那么图中的度数和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'． ∵∠B=∠B'，∠C= ∠C'，∠A=∠A'，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2（∠B+∠C+∠A）=360°． 故选C． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. _____． 【答案】## 【解析】 【分析】将转化为，再根据同底数幂乘法进行计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法，熟记公式是解题关键． 10. 如果n边形的每一个内角都等于与它相邻外角的2倍，则n的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】设出外角的度数，表示出内角的度数，根据一个内角与它相邻的外角互补列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设外角为x，则相邻的内角为2x， 由题意得2x+x＝180°， 解得x＝60°， 360°÷60°＝6． 故n的值是6． 故答案为6． 【点睛】本题考查的是多边形内、外角的知识，理解一个多边形的一个内角与它相邻外角互补是解题的关键． 11. 已知，，为的三边，化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，合并同类项，根据三角形三边的关系，即可得到，， 然后将原式去掉绝对值，再合并同类项即可，解题的关键是正确理解任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． 【详解】解：∵的三边长分别是， ∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点，，若∠1＝115°，∠2＝135°，则∠A的度数为______． 【答案】70°##70度 【解析】 【分析】先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数． 【详解】解：∵∠O2BO1=∠2-∠1=20°， ∴∠ABC=3∠O2BO1=60°，∠O1BC=∠O2BO1=20°， ∴∠BCO2=180°-20°-135°=25°， ∴∠ACB=2∠BCO2=50°， ∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=70°， 故答案为：70°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键． 13. 一机器人以3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为____s． 【答案】16 【解析】 【分析】该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用除以，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间． 【详解】解：， 则所走的路程是：， 则所用时间是：， 故答案为：16． 【点睛】题目主要考查多边形外角和及有理数的乘除法的应用，熟练掌握运用多边形外角的定理是解题关键． 14. 如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且，若，则等于______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式，利用得到，进而得到，再利用D是的中点，可得，，然后根据点E是AD的中点得到，从而得到的值． 【详解】解：， ∴， ∴． ∵D是的中点， ∴，， 点E是的中点， ∴， ∴． 故答案为：12． 【点睛】本题考查三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．理解等底同高的三角形面积相等是解答关键． 15. 如图，的度数为______． 【答案】##180度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质、三角形的内角和定理，掌握三角形的外角性质是解题关键．根据三角形的外角定理得，连接，则，所以，则，即可得出答案． 【详解】解：如图所示：连接， ∵， ∴， 则 ． 故答案为：． 16. 如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先由三角形内角和定理求得，再由折叠性质求得，最后由“准直角三角形”定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处， ∴， 当为“准直角三角形”时，或， ∴或， ∴或， ①当时，即， ∴， ∴， ∴， 此时， ∴不是“准直角三角形”； ②当时，即， ∴， ∴， ∴， 此时， ∴是“准直角三角形”； 综上所述，能使和同时成为“准直角三角形”的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，折叠的性质，三角形内角和定理．理解新定义，掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 三、解答题（72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂的乘法运算法则及幂的乘方的运算法则即可解答； （2）幂的乘方的运算法则及同底数幂的运算法则即可解答； （3）先利用积的乘方的运算法则及同底数幂的运算法则计算，再利用整式的加减法则计算即可解答； （4）利用逆用积的乘方的运算法则化简，再利用积的乘方的运算法则即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，同底数幂测运算法则，幂的乘方运算法则，掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 18. 如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）： （1）画出； （2）画出的高； （3）连接、，那么与的关系是 ，线段AC扫过的图形的面积为 ． （4）在AB的右侧确定格点Q，使的面积和的面积相等，这样的Q点有 个． 【答案】（1） （2）见解析 （3），，10 （4）8 【解析】 【分析】（1）分别作出，，的对应点，，即可． （2）根据三角形高的定义画出图形即可． （3）利用分割法求解即可． （4）作关于的对称点，利用等高模型解决问题即可． 【小问1详解】 如图，即为所求作． 【小问2详解】 如图，线段即所求作． 【小问3详解】 ，， 线段扫过的图形的面积为． 故答案：，，10 【小问4详解】 满足条件的点有8个， 故答案为：8． 19. 规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么． 例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：______，______； （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，小明给出了如下的证明： 设，则，即，所以，即， 所以试解决下列问题： ①计算 ②若，，，请探索，，之间的数量关系 【答案】（1） （2）①；②； 【解析】 【分析】（1）根据所给的新定义运算即可解答； （2）①根据新定义给出的特证运算即可；②根据新定义给出的特证运算即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②∵，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即 ∴, ∴． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法法则，掌握并灵活运用对应法则是解题的关键． 20. 已知：如图，点D、E、F、G都在的边上，，， （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，继而推出，即可证明； （2）利用平行线的性质得到，结合角平分线的定义求出，再利用平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， ， ， ． 【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的定义，关键是根据平行线的判定和性质解答． 21. 如图，，，． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理； （1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解． 【小问1详解】 ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）．（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，已知BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，连接FG、FC，FC与BD相交于点H，如果∠GFH与∠BHC互补. (1)说明：∠1=∠2. (2)若∠A=80°，FG⊥AC，求∠ACB的度数. 【答案】（1）见解析；（2）∠ACB=80°． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到，根据平行线的判定定理可得,根据平行线的性质得出,求出，然后 根据等量代换即可得到结论． （2）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）∵∠BHC=∠FHD，∠GFH+∠BHC=180°， ∴∠GFH+∠FHD=180°，∴FG∥BD，∴∠1=∠ABD， ∵BD平分∠ABC，∴∠2=∠ABD，∴∠1=∠2； （2）∵∠A=80°，FG⊥AC， ∴∠1=90°–80°=10°，∴∠2=∠1=10°， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=20°， ∴∠ACB=180°–∠A–∠ABC=80°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，对顶角相等的应用，三角形内角和，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 23. 如图1，已知∠ACD是ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ （1）尝试探究：如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为ABC的两个外角，则∠DBC＋∠ECB－∠A 180°．（横线上填＜、＝或＞） （2）初步应用：如图3，在ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P= ． （3）解决问题：如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系． 【答案】（1）＝ （2）∠P＝90°－∠A （3）∠P＝180°－∠BAD－∠CDA，探究见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，两式相加可得结论； （2）根据角平分线的定义得：∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，可得：∠P=90°−∠A； （3）根据平角的定义得：∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，由角平分线得：∠3=∠EBC=90°−∠1，∠4=∠FCB=90°−∠2，相加可得：∠3+∠4=180°−（∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论． 【小问1详解】 ∠DBC+∠ECB-∠A=180°， 理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A， ∴∠DBC+∠ECB-∠A=180°， 故答案为：=； 【小问2详解】 ∠P=90°-∠A， 理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB， ∴∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB， ∵△BPC中，∠P=180°-∠CBP-∠BCP=180°-（∠DBC+∠ECB）， ∵∠DBC+∠ECB=180°+∠A， ∴∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A． 故答案为：∠P=90°-∠A， 【小问3详解】 ∠P=180°-∠BAD-∠CDA， 理由：如图， ∵∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2， ∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB， ∴∠3=∠EBC=90°-∠1，∠4=∠FCB=90°-∠2， ∴∠3+∠4=180°-（∠1+∠2）， ∵四边形ABCD中，∠1+∠2=360°-（∠BAD+∠CDA）， 又∵△PBC中，∠P=180°-（∠3+∠4）=（∠1+∠2）， ∴∠P=×[360°-（∠BAD+∠CDA）]=180°-（∠BAD+∠CDA）=180°-∠BAD-∠CDA． 【点睛】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是关键． 24. 新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形． （1）在中，，，则为______倍角三角形． （2）如图1，直线与直线相交于，，点、点分别是射线、上的动点；已知、的角平分线交于点，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． （3）如图2，直线直线于点，点、点分别在射线、上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、，若为3倍角三角形，试求的度数． 【答案】（1）3 （2）50°、52.5°、25°或22.5° （3）45°或60° 【解析】 【分析】（1）由∠E=40°，∠F=35°可知∠D=105°，再根据n倍角三角形的定义可得结论． （2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果． （3）首先证明∠EAF=90°，分四种情形分别求出即可． 【小问1详解】 ∵∠E=40°，∠F=35°， ∴∠D=180°-40°-35°=105°， ∴∠D=3∠F， ∴△ABC为3倍角三角形， 故答案为：3； 【小问2详解】 ∵∠POM=30°， ∴∠OAB+∠OBA=150°． 又∵BC平分∠OBA，AC平分∠OAB， ∴∠CBA+∠CAB=∠OAB+∠OBA=75°， ∴∠C=105°． ①当∠CBA=2∠CAB时，∵∠CBA+∠CAB=75°， ∴∠BAC=25°； ②当∠CAB=2∠CBA时，∵∠CBA+∠CAB=75°， ∴∠BAC=50°； ③当∠C=2∠CAB时，∵∠C=105°， ∴∠BAC=∠C=52.5°； ④当∠C=2∠CBA时，∵∠C=105°， ∴∠CBA=∠C=52.5°， ∴∠BAC=22.5°． 综上，在△ABC中当一个角是另一个角的2倍时，∠BAC等于50°、52.5°、25°或22.5°； 【小问3详解】 ∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG， ∴∠BAE=∠EAO，∠OAF=∠GAF， ∴∠EAF=∠EAO+∠OAF=90°， ∴∠E+∠F=90°； 又∵EF平分∠BOQ， ∴∠EOQ=∠E+∠EAO=45°①， ∠BOQ=∠ABO+∠BAO=90° ②； ①×2-②得：∠ABO=2∠E． 若△AEF为3倍角三角形： i）若∠F=3∠E，∵∠E+∠F=90°， ∴∠E=22.5°， ∴∠ABO=45°； ii）若∠E=3∠F， ∴∠E=67.5°， ∴∠ABO=135°（不符合题意，舍去）； iii）若∠EAF=3∠E，∴∠E=30°， ∴∠ABO=60°； iv）若∠EAF=3∠F，∴∠F=30°，∠E=60°， ∴∠ABO=120°（不符合题意，舍去）； 综上所述，∠ABO等于45°或60°时，△AEF为3倍角三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$