精品解析：山西省阳泉市第一中学校2024-2025学年高二上学期开学数学试题

阳泉一中2024年高二分班考试试题 学科： 数学 考试时间 120 分钟 分值 150 分 密级：秘密 本科目考试启用前 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，集合里的元素为整数，集合需解出具体解集，结合交集，得解. 【详解】因为， ， 所以. 故答案选：C 2. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 3. 若与互为相反数，则（ ） A. B. C. D. 以上答案均不对 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数运算的基本性质可得出结论. 【详解】因为与互为相反数，则，因此，. 故选：C. 4. 已知幂函数在第一象限内单调递减，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和幂函数在第一象限内的单调性即可求解. 【详解】由幂函数的定义可知，解得， 由幂函数在第一象限内单调递减，可得， 则， 所以. 故选：. 5. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定形式得到答案. 【详解】根据存在量词命题的否定形式可知， 命题“”的否定为“”. 故选：B. 6. 设向量，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用求投影向量的公式进行求解即可. 【详解】在方向上的投影向量为 . 故选：C. 7. 有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的分位数是（ ） A. 11 B. 12 C. 16 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将样本数据由小到大排列，结合百分位的计算方法，即可求解. 【详解】将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，则，所以这组数据的分位数为. 故选：D. 8. 定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件可知当时，，当时，，进而分类讨论解求得x的取值范围. 【详解】因为定义域为的奇函数在内单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由，可得：，或，或， 解得或， 所以满足的x的取值范围是， 故选：C. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多项符合要求，全部选对得6分；若答案是两个选项，答对一个选项得3分；若答案是三个选项，答对一个选项得2分；有选错的得0分） 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 最小值是4 B. “”是“"的充分不必要条件 C. 若，则 D. 函数（且 ）的图象恒过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A；解不等式，由充分必要条件可判断B；利用特殊值验证可判断C；利用对数函数性质可判断D. 【详解】对于A，当时，（当且仅当时取等号）， 当时，（当且仅当时取等号）， 所以没有最小值，故A错误； 对于B，由得或，所以“”是“"的充分不必要条件，故B正确； 对于C，当时，，但 ，故C错误； 对于D，当时，，所以函数（且 ）的图象恒过定点，故D正确. 故选:BD.` 10. 设函数，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在区间上单调递增. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质求出函数的最小正周期，利用整体代换法即可求出函数的对称轴和单调区间.代入验证零点. 【详解】由周期公式知，A正确； 因为不是最值，所以直线不是函数的对称轴，B错误； 因为，所以是函数的零点，C正确； 当，则，正弦函数在区间上先增后减，故D错误. 故选：BD 11. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A. 直径为的球体 B. 所有棱长均为的四面体 C. 底面直径为，高为的圆柱体 D. 底面直径为，高为的圆柱体 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长， 所以能够被整体放入正方体内，故A正确； 对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且， 所以能够被整体放入正方体内，故B正确； 对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且， 所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确； 对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆， 如图，过的中点作，设， 可知，则， 即，解得， 且，即， 故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱， 若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为， 可知：，则， 即，解得， 根据对称性可知圆柱的高为， 所以能够被整体放入正方体内，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 设向量，若，则______________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由可得， 又因为， 所以， 即， 故答案为：5. 【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目. 13. 关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可. 【详解】结合题意知．即解得， 所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知，都是锐角，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即即可求出值． 【详解】解：，都是锐角，， 又，， ，， 则 ． 故答案为： 【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围． 四、解答题（5个题，共77分，解答应写出必要文字说明、证明过程或推演步骤） 15. 在中， （1）求值； （2）求角和的面积. 【答案】（1） （2），的面积为 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角和二倍角公式可得，再利用余弦定理计算得出结果； （2）根据余弦定理推论计算得出角；再根据三角形面积公式计算的结果； 【小问1详解】 在中，由正弦定理得 因为，所以， 由余弦定理得，代入， 解得或（舍） 【小问2详解】 由余弦定理推论得， 因为，所以角； 因此的面积为. 16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别是和的中点，平面平面. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 如图，取的中点，连接， 因为是的中位线，所以，且， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，结合中位线的性质可得四边形是平行四边形，即可得线线平行，即可得线面平行； （2）借助面面垂直的性质定理可得线面垂直，即可得三棱锥的高，从而可通过计算得到. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为，所以，且， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 因为， 所以， 又因为是的中点，所以. 17. 设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解； （2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1）由辅助角公式得， 则， 所以该函数的最小正周期; （2）由题意， ， 由可得， 所以当即时，函数取最大值. 18. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 【答案】（1）20；（2） 【解析】 【分析】（1）选取的市民年龄在内的频率，即可求出人数； （2）利用分层抽样的方法从第3组选3，记为A1，A2，A3从第4组选2人，记为B1，B2；再利用古典概型的概率计算公式即可得出. 【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. （2）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3,4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种，所以至少有一人的年龄在内的概率为. 【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题. 19. 随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．设，，， （1）已知概率， （i）求的值． （ii）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率． （2）若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值． 【答案】（1）（i）；（ii）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）根据独立性性质建立方程，即可求解；（ii）由（i）知：，设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则，再根据互斥加法公式和独立性乘法公式即可求解； （2）由可得，从而求得，再利用基本不等式即可求得最小值. 【小问1详解】 （i）由题知， 解得：， （ii）由（i）知：， 设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则 与互斥，与与分别相互独立， 所以 ， 因此，甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为． 【小问2详解】 由题知：， ， 设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则 与互斥，与与分别相互独立， 所以 ， ，当且仅当时等号成立， ． 故甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阳泉一中2024年高二分班考试试题 学科： 数学 考试时间 120 分钟 分值 150 分 密级：秘密 本科目考试启用前 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 3. 若与互为相反数，则（ ） A. B. C. D. 以上答案均不对 4. 已知幂函数在第一象限内单调递减，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 6. 设向量，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的分位数是（ ） A. 11 B. 12 C. 16 D. 17 8. 定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多项符合要求，全部选对得6分；若答案是两个选项，答对一个选项得3分；若答案是三个选项，答对一个选项得2分；有选错的得0分） 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 最小值是4 B. “”是“"的充分不必要条件 C. 若，则 D. 函数（且 ）的图象恒过定点 10. 设函数，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在区间上单调递增. 11. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A. 直径为的球体 B. 所有棱长均为的四面体 C. 底面直径为，高为的圆柱体 D. 底面直径为，高为的圆柱体 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 设向量，若，则______________. 13. 关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是________． 14. 已知，都是锐角，，，则___________． 四、解答题（5个题，共77分，解答应写出必要文字说明、证明过程或推演步骤） 15. 在中， （1）求值； （2）求角和的面积. 16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别是和的中点，平面平面. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 17. 设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 18. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 19. 随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．设，，， （1）已知概率， （i）求的值． （ii）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率． （2）若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $