精品解析：甘肃省定西市岷县2022-2023学年八年级上学期开学线上假期评价卷（二）数学试题

八年级数学 假期自我评价卷（二） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 有8个数的平均数是11，另外有12个数的平均数是12，这20个数的平均数是（　　） A. 11.6 B. 2.32 C. 23.2 D. 11.5 3. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. a 4. 在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知在中，，，，则的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 6. 正比例函数图象经过不同象限的两点A（m，﹣1），B（﹣5，n），则下列判断正确的是（　　） A. m＞0，n＞0 B. m＞0，n＜0 C. m＜0，n＞0 D. m＜0，n＜0 7. 一根长的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表： 甲 2 6 7 7 8 乙 2 3 4 8 8 关于以上数据，说法正确的是（ ） A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同 C. 甲的平均数小于乙的平均数 D. 甲的方差小于乙的方差 9. 矩形各个内角的平分线围成一个四边形，则这个四边形一定是（　　）. A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 平行四边形 10. 把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的长度为120米；②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒；④隧道长度为750米．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④ 12. 如图，在一张矩形纸片中，，，点E、F分别在，上，将纸片沿直线折叠，点C落在上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③线段的取值范围为； ④当点H与点A重合时，． 以上结论中，你认为正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 矩形中，对角线，相交于点O，如果，那么的度数为__________． 14. 若是关于x的正比例函数，则常数______． 15. “植树造林，绿化环境”，今年某中学八年级一班同学都积极参加了“植树节”植树活动，本次活动中该班同学植树情况的部分统计结果如图所示，该班同学植树株数的中位数是______． 16. 一次函数．当时，，求的值为______． 17. 正方形、、，按如图放置，其中点、、在x轴的正半轴上，点、、在直线上，则点的坐标为_____________． 18. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于______． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问霞长几何. 注释：今有正方形水池边长1丈，芦苇生长在中央，长出水面1尺.将芦苇向池岸牵引，恰好与水岸齐，问芦苇的长度（一丈等于10尺）.解决下列问题： （1）示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺； （2）求芦苇的长度. 21. 星期天上午，某动物园熊猫馆来了甲、乙两队游客，两队游客的年龄如下表所示： 甲队： 年龄 13 14 15 16 17 人数 2 1 4 1 2 乙队： 年龄 3 4 5 6 54 57 人数 1 2 2 3 1 1 （1）根据上述数据完成下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲队游客的年龄 ______ 15 15 ______ 乙队游客的年龄 15 ______ ______ 403.3 （2）根据前面的统计分析，回答下列问题： ①能代表甲队游客一般年龄的统计量是______； ②平均数能较好地反映乙队游客的年龄特征吗?为什么? 22. 小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示 （1）家与图书馆之间的路程为多少m，小玲步行的速度为多少m/min； （2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）求两人相遇的时间． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接、，设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形； （2）当t为何值时，四边形是菱形． 24. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 25. 如图所示，一根长2a的木棍，斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍的中点为若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行． 请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由． 在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值． 26. 某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元． （1）求A型空调和B型空调每台各需多少元； （2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？ （3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 假期自我评价卷（二） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而分别判断得出答案． 【详解】A、原式，故此选项不符合题意． B、原式，故此选项不符合题意． C、是最简二次根式，故此选项符合题意． D、原式，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 有8个数的平均数是11，另外有12个数的平均数是12，这20个数的平均数是（　　） A. 11.6 B. 2.32 C. 23.2 D. 11.5 【答案】A 【解析】 【详解】这20个数的平均数是：，故选A. 3. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. a 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质和化简，根据进行化简，然后再结合绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数去绝对值符号，再合并即可． 【详解】解：， 故选：A． 4. 在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由已知三个内角为，可判定该四边形为矩形，再根据正方形的判定，添加一组邻边相等即可推出该四边形为正方形，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵四边形内角和为，， ∴， ∴四边形四个内角均为， ∴四边形是矩形． A、添加时，矩形中一组邻边相等，可推出矩形是正方形，符合要求； B、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求； C、可由已知条件推出，仍只能得到矩形，不符合要求； D、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求． 5. 已知在中，，，，则的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和完全平方公式，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理和完全平方公式．由于在中，，根据勾股定理可得:，由于,所以，再根据，可得，即，进而可得：，根据直角三角形面积公式可得，即． 【详解】解：因为在中，， 所以根据勾股定理可得：， 因为， 所以， 又因为， 所以， 即， 所以， 即， 根据直角三角形面积公式可得， 即． 故选：A． 6. 正比例函数图象经过不同象限的两点A（m，﹣1），B（﹣5，n），则下列判断正确的是（　　） A. m＞0，n＞0 B. m＞0，n＜0 C. m＜0，n＞0 D. m＜0，n＜0 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质可知：函数的图象过一、三象限或二、四象限，再由其图象经过不同象限的两点即可判断． 【详解】解：∵正比例函数图象经过不同象限的两点A（m，﹣1），B（﹣5，n）， ∴m＞0，n＞0， 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象和性质，属于基础题型，熟知正比例函数图象上点的坐标特征是关键． 7. 一根长的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据杯子内牙刷长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一根长为18cm的牙刷，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于牙刷斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，x=12， 最长时等于牙刷斜边长度是：， ∴h的取值范围是：18−13⩽h⩽18−12， 即5⩽h⩽6.， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键． 8. 为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表： 甲 2 6 7 7 8 乙 2 3 4 8 8 关于以上数据，说法正确的是（ ） A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同 C. 甲的平均数小于乙的平均数 D. 甲的方差小于乙的方差 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得. 【详解】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7， 排序后最中间的数是7，所以中位数是7， ， =4.4， 乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8， 排序后最中间的数是4，所以中位数是4， ， =6.4， 所以只有D选项正确， 故选D. 【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键. 9. 矩形各个内角的平分线围成一个四边形，则这个四边形一定是（　　）. A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 平行四边形 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意画出图形，如图所示， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AD=BC. ∵AF、BH、CH、DF分别是角平分线， ∴矩形的四个角被分成的八个角都是45°角， ∴∠AEB=180°-45°×2=90°， 同理可得∠F=∠DGC=∠H=90°， ∴四边形EFGH的四个角都是直角. ∴四边形EFGH是矩形. ∵AD=BC，∠FAD=∠FDA=∠HBC=∠HCB=45°， ∴△BCH≌△ADF， ∴AF=BH， ∴AF-AE=BH-BE， 即EF=EH， ∴矩形EFGH是正方形． 故矩形各内角的平分线如果围成一个四边形，则这个四边形是正方形. 故选A. 10. 把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移特征：向上平移个单位后可得：，再根据与直线的交点，组成方程组，解关于x，y的方程，得到x,y关于m的代数式，二象项的点横坐标小于0.纵坐标大于0,组成不等式组，即可得到答案. 【详解】解：直线向上平移个单位后可得：， 联立两直线解析式得：， 解得：， 即交点坐标为，， 交点在第二象限， ， 解得：． 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0． 11. 火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的长度为120米；②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒；④隧道长度为750米．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象即可确定在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，进而即可确定其它答案． 【详解】在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故②正确； 火车的长度是150米，故①错误； 整个火车都在隧道内的时间是：35-5-5=25秒，故③正确； 隧道长是：30×35-150=900米，故④错误． 故正确的是：②③． 故选C． 【点睛】本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决方法． 12. 如图，在一张矩形纸片中，，，点E、F分别在，上，将纸片沿直线折叠，点C落在上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③线段的取值范围为； ④当点H与点A重合时，． 以上结论中，你认为正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；②根据菱形的对角线平分一组对角线可得，然后求出只有时平分，判断出②错误；③点H与点A重合时，设，则，利用勾股定理列出方程求解得到的最小值，点G与点A重合时，，求出，然后写出的取值范围，判断出③正确；④过点F作于M，求出，再利用勾股定理列式求解得到，判断出④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∵将纸片沿直线折叠，点C落在边上的一点H处， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确； ②∴， ∴只有时平分，故②错误； ③若点H与点A重合时，如图： 设，则， 在中，， 即， 解得：， 若点E与点D重合时，， ∴， ∴线段的取值范围为，故③错误； ④当点H与点A重合时，过点F作于M， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，，故④正确； 综上所述，结论正确的有①③④共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，折叠问题，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 矩形中，对角线，相交于点O，如果，那么的度数为__________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记矩形的对角线相等且互相平分是解本题的关键． 根据矩形的性质，证明，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得答案． 【详解】四边形为矩形， ，，，， ， ， ，， 14. 若是关于x的正比例函数，则常数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义列出方程，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的正比例函数， ∴， ， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查了正比例函数的定义和算术平方根解方程，正比例函数形如． 15. “植树造林，绿化环境”，今年某中学八年级一班同学都积极参加了“植树节”植树活动，本次活动中该班同学植树情况的部分统计结果如图所示，该班同学植树株数的中位数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了中位数，掌握中位数的定义是本题的关键； 将一组数据从小到大或从大到小，重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数叫做这组数据的中位数．根据中位数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：根据图表可知植树2株的16人，占， 总人数为 (人)， 植4株的有 (人)， ∵， 该班同学植树株数的中位数是株． 故答案为：3． 16. 一次函数．当时，，求的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，代数式求值，分和两种情况解答求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，的值随的增大而增大， ∴，；，， ∴， 解得， ∴； 当时，的值随的增大而减小， ∴，；，， ∴， 解得， ∴； 综上，的值为或， 故答案为：或． 17. 正方形、、，按如图放置，其中点、、在x轴的正半轴上，点、、在直线上，则点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为t，，点在直线的图象上，得出，即，求出，设正方形的边长为a，得出，点在直线的图象上，可得，即，得出，同理求出点的坐标即可． 【详解】解：设正方形的边长为t，则，由点在直线的图象上，可得， ∴， 解得：，得到， 设正方形的边长为a，则，由点在直线的图象上，可得， ∴， 解得：， 得到， 设， 由点在直线的图象上，可得：， ∴， 解得：， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，按照先求，再求，最后求的顺序依次求出结果即可． 18. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于______． 【答案】50+72 【解析】 【分析】将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，想办法证明∠APH＝30°，利用勾股定理求出AB的平方即可解决问题． 【详解】将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，作AH⊥BP于H． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AM＝AP，∠MAP＝60°， ∴△AMP是等边三角形， ∵∠MAP＝∠BAC， ∴∠MAB＝∠PAC， ∴△MAB≌△PAC， ∴BM＝PC＝10， ∵PM2＋PB2＝100，BM2＝100， ∴PM2＋PB2＝BM2， ∴∠MPB＝90°， ∵∠APM＝60°， ∴∠APB＝150°，∠APH＝30°， ∴AH＝PA＝3，PH＝，BH＝8＋， ∴AB2＝AH2＋BH2＝100＋48， ∴菱形ABCD的面积＝2•△ABC的面积＝2××AB2＝50＋72， 故答案为50＋72． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先计算零指数幂、绝对值、有理数的乘方、二次根式的化简，然后再计算加减法即可 本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂、绝对值、有理数的乘方，熟练掌握法则是解题的关键． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问霞长几何. 注释：今有正方形水池边长1丈，芦苇生长在中央，长出水面1尺.将芦苇向池岸牵引，恰好与水岸齐，问芦苇的长度（一丈等于10尺）.解决下列问题： （1）示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺； （2）求芦苇的长度. 【答案】（1）5，1；（2）芦苇的长度为13尺. 【解析】 【分析】（1）直接利用题意结合图形得出各线段长； （2）利用勾股定理得出AG的长进而得出答案． 【详解】(1)线段AF的长为5尺，线段EF的长为1尺； 故答案为5，1； (2)设芦苇的长度x尺， 则图中AG=x，GF=x−1，AF=5， 在Rt△AGF中,∠AFC=90∘， 由勾股定理得 AF+FG=AG. 所以 5+(x−1) =x， 解得 x=13， 答：芦苇的长度为13尺. 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于得出AG的长. 21. 星期天上午，某动物园熊猫馆来了甲、乙两队游客，两队游客的年龄如下表所示： 甲队： 年龄 13 14 15 16 17 人数 2 1 4 1 2 乙队： 年龄 3 4 5 6 54 57 人数 1 2 2 3 1 1 （1）根据上述数据完成下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲队游客的年龄 ______ 15 15 ______ 乙队游客的年龄 15 ______ ______ 403.3 （2）根据前面的统计分析，回答下列问题： ①能代表甲队游客一般年龄的统计量是______； ②平均数能较好地反映乙队游客的年龄特征吗?为什么? 【答案】（1）15；；6 （2）①平均数或中位数或众数； ②不能，理由：因为乙队游客年龄中含有两个极端值，受两个极端值的影响，导致乙队游客年龄方差较大，平均数高于大部分成员的年龄． 【解析】 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的计算方法及意义． （1）按照众数、中位数的求法，可得乙队游客的中位数是5.5，众数是6；再根据平均数、方差的计算方法，计算可得：甲队游客年龄的平均数为15，方差是1.8； （2）根据统计量的意义，结合甲队游客的数据，其分布比较均匀，无极端值，故可以用平均数或中位数或众数来描述甲队游客一般年龄；而乙队游客年龄中含有两个极端值，受两个极端值的影响，导致乙队游客年龄方差较大，平均数高于大部分成员的年龄，故平均数不能较好地反映乙队游客的年龄特征． 【小问1详解】 对于甲队：平均数； 方差为； 对于乙队：年龄为6的最多，故众数为6； 题中已将年龄从小到大排列，共10人．找第5、6人的年龄为5、6岁，其平均数为，故中位数是； 填写表格如下： 平均数 中位数 众数 方差 甲队游客的年龄 15 15 15 乙队游客的年龄 15 6 故答案为：15，，6； 【小问2详解】 ①平均数或中位数或众数； 故答案为：平均数或中位数或众数； ②略 22. 小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示 （1）家与图书馆之间的路程为多少m，小玲步行的速度为多少m/min； （2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）求两人相遇的时间． 【答案】（1）家与图书馆之间路程为4000m，小玲步行速度为100m/s；（2）自变量x的范围为0≤x≤；（3）两人相遇时间为第8分钟． 【解析】 【分析】(1)认真分析图象得到路程与速度数据； (2)采用方程思想列出小东离家路程y与时间x之间的函数关系式； (3)两人相遇实际上是函数图象求交点． 【详解】解：(1)结合题意和图象可知，线段CD为小东路程与时间函数图象，折现O﹣A﹣B为小玲路程与时间图象 则家与图书馆之间路程为4000m，小玲步行速度为（4000-2000）÷（30-10）=100m/s (2)∵小东从离家4000m处以300m/min的速度返回家，则xmin时， ∴他离家的路程y=4000﹣300x， 自变量x的范围为0≤x≤， (3)由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前， ∴4000﹣300x=200x 解得x=8 ∴两人相遇时间为第8分钟． 故答案为(1)4000，100；(2)y=4000﹣300x，0≤x≤；(3)第8分钟. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是能从函数的图象中获取相关信息. 23. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接、，设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形； （2）当t为何值时，四边形是菱形． 【答案】（1）当时，四边形为矩形 （2）当时，四边形为菱形 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质解决此题注意结合方程的思想解题． （1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； 【小问1详解】 解：由已知可得，，， 在矩形中，，， 当时，四边形为矩形， ， 得 故当时，四边形为矩形． 【小问2详解】 由（1）可知，四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， 即时，四边形为菱形， 解得， 故当时，四边形为菱形． 24. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵是外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2） 解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得，进而证明即可； （2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图所示，一根长2a的木棍，斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍的中点为若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行． 请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由． 在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值． 【答案】(1)斜边上的中线OP不变；(2)当的斜边上的高h等于中线OP时，为等腰直角三角形时，面积最大，理由见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不会变化．根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可判断； （2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大，就可以求出． 试题解析：（1）不变． 理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变． （2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大． 如图，若h与OP不相等，则总有h<OP， 故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大 此时，S△AOB=AB·h=×2a·a=a2，所以△AOB的最大面积为a2. 点睛：此题利用了在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；同时理解△AOB的面积什么情况最大是解决本题的关键． 26. 某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元． （1）求A型空调和B型空调每台各需多少元； （2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？ （3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】（1）A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；（2）共有三种采购方案，方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，案三：采购A型空调12台，B型空调18台；（3）采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案； （3）根据题意和（2）中的结果，可以解答本题． 【详解】（1）设A型空调和B型空调每台各需x元、y元， ， 解得，， 答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元； （2）设购买A型空调a台，则购买B型空调（30-a）台， ， 解得，10≤a≤12， ∴a=10、11、12，共有三种采购方案， 方案一：采购A型空调10台，B型空调20台， 方案二：采购A型空调11台，B型空调19台， 方案三：采购A型空调12台，B型空调18台； （3）设总费用为w元， w=9000a+6000（30-a）=3000a+180000， ∴当a=10时，w取得最小值，此时w=210000， 即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $