精品解析：2023年河南省周口市郸城县实验中学等2校中考一模数学试题

2023年河南省中招考试模拟试卷（一） 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 是的（　　） A. 倒数 B. 绝对值 C. 相反数 D. 以上都不是 【答案】C 【解析】 【分析】根据互为相反数的两数之和为0，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ 是的相反数； 故选：C． 【点睛】本题考查相反数．熟练掌握互为相反数的两数之和为0，是解题的关键． 2. 截至2023年1月29日21时，21省份（个别省份暂仅公布重点监测景区数据末计入）公布春节假期文旅数据．其中，四川接待游客人数居首位，达到万人次，河南接待游客万人次，排名第五．数据“万”可以用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键． 3. 2022年卡塔尔世界杯是首次在卡塔尔和中东国家举行的世界杯足球赛．将“卡塔尔界杯”这六个汉字写在正方体的表面上，如图是其中一种展开图，则在原正方体中，“塔”字所在面相对的面上的汉字是（　　） A. 卡 B. 世 C. 界 D. 杯 【答案】D 【解析】 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可． 【详解】解：由题意可知，在原正方体中，“塔”字所在面相对的面上的汉字是“杯“． 故选：D． 【点睛】本题考查正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特征是正确判断的前提. 4. 如图，点O为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平分，平分，求出，再根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵点O为直线上一点，平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是理解角平分线的定义，求出． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，积的乘方与幂的乘方法则逐项计算，即可判断． 【详解】解：不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ，故D正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方．熟练掌握各运算法则是解题关键． 6. 下列说法中不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的菱形是正方形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 有一组邻边相等的矩形是正方形 D. 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，正方形的判定等知识，根据正方形判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的菱形是正方形，是假命题，推不出正方形，本选项符合题意． B、有一个角是直角的菱形是正方形是真命题，本选项不符合题意． C、有一组邻边相等的矩形是正方形是真命题，本选项不符合题意． D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，是真命题，本选项不符合题意． 故选：A． 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据判别式的意义得到，然后解关于的一元一次不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 8. 如图，A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（除数字不同外，其他完全相同），A转盘上的数字分别为，1，2，B转盘上的数字分别为，5，6，同时转动两个转盘（规定：若指针恰好停留在分界线上，则重新转一次），则转出的数字之积为正数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到数字之积为正数的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，数字之积分别为12，，，，5，6，，10，12， 其中转出的数字之积为正数的结果有5种， ∴转出的数字之积为正数的概率为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点到轴的距离为4．若将绕点逆时针旋转得到△，当点恰好落在轴正半轴上时，点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作轴，过点作于，过点作轴，先求出，再证明得出，，，再证明，推出，，从而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴，过点作于，过点作轴， ， ，点到轴的距离为4， ， ， ， ，， ， ，即， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ，， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键． 10. 如图1，在中，，，点D从点A出发沿线段向终点B运动，过点D作，交的直角边于点E，的面积y与线段的长x之间的函数图象如图2所示，当的面积为1时，线段的长为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】当E在上时，由，，，可得是等腰直角三角形，而的面积为1，即可得，当E在上时，由图2知最大面积为2，可得，设的面积为1时，有，即可解得． 【详解】解：当E在上时， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴， ∴； 当E在上时， 由图2知最大面积为2，此时E与C重合， ∴面积为4， ∴， ∴， ∴， 设的面积为1时，，则， ∴， 解得或， ∵当E在上，，即， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解一元二次方程，解题的关键是读懂题意，分类讨论． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先移项，然后将未知数系数化为1，即可得出答案． 【详解】解：， 移项得，， 系数化为1得，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤，准确计算． 12. 已知点，在直线上，且，则k的值可以是 _____．（写出一个符合的值即可） 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意可知，y随x的增大而增大，利用一次函数的性质，可得，任取一值即可得出结论． 【详解】点，在直线上，，且， y随x的增大而增大， ， k的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查一次函数的性质，牢记，y随x的增大而增大；， y随x的增大而减小是解题关键． 13. 郑州市某中学举办了“喜迎二十大，永远跟党走，奋进新征程”主题歌唱比赛，并将唱功、台风、现场气氛按如图所示的权重计算最终成绩，九（2）班李雷的得分分别是85分、90分、90分，则他的最终比赛成绩为 _____分． 【答案】88 【解析】 【分析】利用加权平均数按照比例即可求得最终成绩． 【详解】解：李雷的最终成绩是：（分）． 故答案为：88． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算的时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错． 14. 如图，，分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，若，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，过C作，可得为等边三角形，所以，求出，计算的面积，所以图中阴影部分的面积是扇形的面积加上弓形的面积． 【详解】解：如图，连接，，过C作， 则，为等边三角形， ，， ∴， ∴， 弓形的面积为， 图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 15. 如图，在中，，点E，F分别是边和上的点，点A关于的对称点D恰好落在边上，当是直角三角形时，的长是 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】由点A关于的对称点D恰好落在边上和可得，设，根据，可得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点A关于的对称点D恰好落在边上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴＝，即， 解得， ∴， ∴， 在中， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形中的翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，求一个数的算术平方根，进行计算即可求解； （2）根据分式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整指数幂，求一个数的算术平方根，分式的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 17. 2022年12月国家推出优化疫情防控新十条，标志着疫情管控的全面放开．疾控专家建议：“解封不等于解防，防疫准则不能忘”，某中学为了了解全校学生对“防护知识”的掌握情况，随机抽取了50名学生进行测试，并按成绩分为三组（成绩用x表示，单位：分，满分100分，A组：为优，B组：为良，C组：为一般），将他们的成绩进行整理、分析，绘制了如下不完整的统计图表． 整理数据： 组别 频数 频率 A组 16 32% B组 11 a% C组 23 46% 其中B组成绩分别为：85，81，88，83，89，87，83，83，80，81，83 分析数据： 平均数 中位数 众数 80.5 b 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出a，b的值： ， ； （2）若该校共有1500名学生，则成绩为一般的人数约为多少？ （3）请对该校学生的“防护知识”掌握情况做出合理的评价． 【答案】（1）22，81 （2）成绩为一般的人数约为690人 （3）该校学生的“防护知识”掌握情况为一般的人数所占百分比为，接近一半，所以该校学生的“防护知识”掌握情况有待加强（答案不唯一，合理即可）． 【解析】 【分析】（1）根据百分比为1可得的值，根据中位数的定义可得的值； （2）总人数乘以样本中成绩为一般的人数所占比例即可； （3）根据表中数据给出合理评价即可，答案不唯一． 【小问1详解】 ， 组数据重新排列为80，81，81，83，83，83，83，85，87，88，89， 中位数， 故答案为：22；81； 【小问2详解】 （人， 答：成绩为一般的人数约为690人； 【小问3详解】 该校学生的“防护知识”掌握情况为一般的人数所占百分比为，接近一半， 所以该校学生的“防护知识”掌握情况有待加强（答案不唯一，合理即可）． 【点睛】本题考查了用样本的数据估计总体、中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键． 18. 李雷在学习了三角函数的知识后，爱好思考的他对身边的事物产生了浓厚的研究兴趣．他发现家附近的洋房和高层楼房相邻，于是想测量一下高层楼房的高度，他站在点E处，点F为李雷眼睛所在的位置（眼睛到头顶的距离忽略不计），在点F处测得点A，C的仰角均为，他向前走了到达B处，在点G处测得点C的仰角为，已知李雷身高．求高层楼房的高度（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】高层楼房的高度约为 【解析】 【分析】根据题意延长交于点H，设的长为，在中，利用三角函数可求出的长，在中，利用可求出的长，，即可求出的长，则即为所求． 【详解】解：延长交于点H， 由题意得：，，， 设的长为， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴高层楼房的高度约为． 【点睛】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，把实际问题转化成数学问题，根据条件选取合适的锐角三角函数去解三角形是解此类题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线交于点C．反比例函数的图象经过的中点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移m个单位长度得到直线，若直线与反比例函数的图象只有一个交点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，可得出点的坐标，令，可得出点的坐标，根据坐标系内平行于坐标轴的点的坐标特征可得点的坐标，进而可得点的坐标，将点的坐标代入反比例函数解析式，即可得出结论； （2）根据题意可得出直线的解析式，联立，得出一元二次方程，令，即可得出的值． 【小问1详解】 解：直线 与轴、轴分别交于，两点， ，， 轴，轴， ， 点平分， ， 将代入反比例函数， ． 反比例函数的解析式为：． 【小问2详解】 由平移可得直线的解析式为：， 令， 整理得，， 直线与反比例函数的图象只有一个交点， ， 解得或（舍）． 综上，的值为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，一元二次方程根与系数的关系等相关知识，求出点的坐标是解题的关键． 20. 受2022年卡塔尔世界杯的影响，全世界范围内掀起了踢足球热潮，值此时机，某足球生产厂商推出了一款成本为50元的足球，物价部门规定，该产品利润率不得高于，经调查，该产品的日销量 （个与售价（元之间满足一次函数关系．关于日销量与售价的几组对应值如下： 售价x（元） 60 70 100 日销量y（个） 140 120 60 （1）求日销量y（个）与售价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）①请写出每天销售总利润w（元）与售价x（元）之间的函数关系式； ②如果厂商请你帮忙定价，售价定为多少元可使每天总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2）①；②当时，利润w最大，最大利润为14900元 【解析】 【分析】（1）根据一次函数过，，可求出函数关系式； （2）①根据题意求出总利润与的函数关系式即可；②依据函数的增减性和自变量的取值范围即可得到结论． 【小问1详解】 解：设关系式为，把，，代入得： ， 解得， 故与的之间的函数关系式为， 的取值范围为：； 【小问2详解】 ①， 即每天销售总利润（元）与售价（元）之间的函数关系式为； ②， ，抛物线开口向下，对称轴为，在对称轴的左侧，随的增大而增大， ， 当时，利润最大，最大利润为14900元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的性质，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错． 21. 请阅读以下材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图1，点，是线段同侧两点，且． 求证：点，，，四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图2，若点在外．设与交于点，连接， 则（依据一）， 又（依据二）， ． ．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立； 如图3，若点在内， （请同学们补充完整省略的部分证明过程） 综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆． （1）填空：将材料中依据一、依据二补充完整； 依据一：　 　； 依据二：　 　． （2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （3）填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则　 　． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 （2） 如图3，若点在内，延长与交于点，连接， 则， 又， ． ． 这与已知条件“”矛盾，故点在内不成立； （3） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理和三角形的外角性质即可得出结论； （2）作的外接圆，假设点在外或在内．由反证法、圆周角定理以及三角形的外角性质即可得出结论； （3）证点，，，四点共圆，再由相似三角形得，然后由为中点，得，即可解决问题． 【小问1详解】 解：依据一：同弧所对的圆周角相等； 依据二：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 点，，，四点共圆， ∵， ∴， ∴， ， 为中点， ， ，， ， ， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题是四点共圆综合题目，考查了四点共圆、反证法、圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理，证明四点共圆是解题的关键，属于中考常考题型． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若是抛物线上不同的两点，且，求m的值； （3）当时，y有最小值，请直接写出n的值． 【答案】（1） （2） （3）n的值为或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出解析式即可； （2）将代入解析式，利用，列式计算即可； （3）根据二次函数的性质，分，和两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图象经过点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式； 【小问2详解】 ∵是抛物线上不同的两点， ∴． ∵， ∴， 解得：或， ∵是抛物线上不同的两点， ∴． 【小问3详解】 ∵， ∴当时，y有最小值为． ①当时， y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． ②当时，则：时，y有最小值为， ∴， ∴． 综上，n的值为或． 【点睛】本题考查二次函数的性质．待定系数法正确的求出函数解析式，根据抛物线上的点的特点，以及二次函数的性质，进行求解，是解题的关键． 23. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 【答案】（1）相等 （2）成立， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴∠； （3）6或2 【解析】 【分析】（1）利用证明 ，得； （2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立； （3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立． 【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：相等； （2）略 （3）当点D在线段上时，如图2， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 当点D在线段的延长线上时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上可知，的长为2或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明是解（1）的关键，证明是解（2）（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年河南省中招考试模拟试卷（一） 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 是的（　　） A. 倒数 B. 绝对值 C. 相反数 D. 以上都不是 2. 截至2023年1月29日21时，21省份（个别省份暂仅公布重点监测景区数据末计入）公布春节假期文旅数据．其中，四川接待游客人数居首位，达到万人次，河南接待游客万人次，排名第五．数据“万”可以用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 2022年卡塔尔世界杯是首次在卡塔尔和中东国家举行的世界杯足球赛．将“卡塔尔界杯”这六个汉字写在正方体的表面上，如图是其中一种展开图，则在原正方体中，“塔”字所在面相对的面上的汉字是（　　） A. 卡 B. 世 C. 界 D. 杯 4. 如图，点O为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法中不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的菱形是正方形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 有一组邻边相等的矩形是正方形 D. 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（除数字不同外，其他完全相同），A转盘上的数字分别为，1，2，B转盘上的数字分别为，5，6，同时转动两个转盘（规定：若指针恰好停留在分界线上，则重新转一次），则转出的数字之积为正数的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点到轴的距离为4．若将绕点逆时针旋转得到△，当点恰好落在轴正半轴上时，点的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，，点D从点A出发沿线段向终点B运动，过点D作，交的直角边于点E，的面积y与线段的长x之间的函数图象如图2所示，当的面积为1时，线段的长为（　　） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集是 _____． 12. 已知点，在直线上，且，则k的值可以是 _____．（写出一个符合的值即可） 13. 郑州市某中学举办了“喜迎二十大，永远跟党走，奋进新征程”主题歌唱比赛，并将唱功、台风、现场气氛按如图所示的权重计算最终成绩，九（2）班李雷的得分分别是85分、90分、90分，则他的最终比赛成绩为 _____分． 14. 如图，，分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，若，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 如图，在中，，点E，F分别是边和上的点，点A关于的对称点D恰好落在边上，当是直角三角形时，的长是 _____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 2022年12月国家推出优化疫情防控新十条，标志着疫情管控的全面放开．疾控专家建议：“解封不等于解防，防疫准则不能忘”，某中学为了了解全校学生对“防护知识”的掌握情况，随机抽取了50名学生进行测试，并按成绩分为三组（成绩用x表示，单位：分，满分100分，A组：为优，B组：为良，C组：为一般），将他们的成绩进行整理、分析，绘制了如下不完整的统计图表． 整理数据： 组别 频数 频率 A组 16 32% B组 11 a% C组 23 46% 其中B组成绩分别为：85，81，88，83，89，87，83，83，80，81，83 分析数据： 平均数 中位数 众数 80.5 b 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出a，b的值： ， ； （2）若该校共有1500名学生，则成绩为一般的人数约为多少？ （3）请对该校学生的“防护知识”掌握情况做出合理的评价． 18. 李雷在学习了三角函数的知识后，爱好思考的他对身边的事物产生了浓厚的研究兴趣．他发现家附近的洋房和高层楼房相邻，于是想测量一下高层楼房的高度，他站在点E处，点F为李雷眼睛所在的位置（眼睛到头顶的距离忽略不计），在点F处测得点A，C的仰角均为，他向前走了到达B处，在点G处测得点C的仰角为，已知李雷身高．求高层楼房的高度（结果精确到．参考数据：，，） 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线交于点C．反比例函数的图象经过的中点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移m个单位长度得到直线，若直线与反比例函数的图象只有一个交点，求的值． 20. 受2022年卡塔尔世界杯的影响，全世界范围内掀起了踢足球热潮，值此时机，某足球生产厂商推出了一款成本为50元的足球，物价部门规定，该产品利润率不得高于，经调查，该产品的日销量 （个与售价（元之间满足一次函数关系．关于日销量与售价的几组对应值如下： 售价x（元） 60 70 100 日销量y（个） 140 120 60 （1）求日销量y（个）与售价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）①请写出每天销售总利润w（元）与售价x（元）之间的函数关系式； ②如果厂商请你帮忙定价，售价定为多少元可使每天总利润最大？最大利润是多少？ 21. 请阅读以下材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图1，点，是线段同侧两点，且． 求证：点，，，四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图2，若点在外．设与交于点，连接， 则（依据一）， 又（依据二）， ． ．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立； 如图3，若点在内， （请同学们补充完整省略的部分证明过程） 综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆． （1）填空：将材料中依据一、依据二补充完整； 依据一：　 　； 依据二：　 　． （2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （3）填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则　 　． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若是抛物线上不同的两点，且，求m的值； （3）当时，y有最小值，请直接写出n的值． 23. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $