精品解析：安徽省马鞍山市第二中学2021-2022学年高二下学期学业水平模拟测试数学试卷

马鞍山市第二中学2021~2022学年度第二学期高二年级学业水平模拟测试 数学试卷 （考试时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题18小题，每小题3分，共54分）以下每小题A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是实数，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 宝鸡市在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知 为正实数， 且 ， 则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，CD是AB边上的中线，点P是CD的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 一人打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A. 至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C. 两次都不中靶 D. 只有一次中靶 9. 若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，若，，，则其面积等于 A. B. C. D. 11. 高二年级某班甲同学自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下： 83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101 计算出学生甲的第25，50百分位数（ ） A. 86，98 B. 85，98.5 C. 85，97.5 D. 86，99 12. 如图，在直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 13. 若在上定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知函数为定义在R上的函数，对任意的，均有成立，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 15. 已知，，则 A. B. 7 C. D. 16. 如图，在棱长为的正方体中，为中点，则四面体的体积 A. B. C. D. 17. 若在上是减函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 18. 设函数，则函数的零点个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空題（本大题4小题，每小题4分，共16分） 19. 若向量，，则_________． 20. ______． 21. 若，且，，则______________. 22. 设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________． 三、解答題（本大题3小题，共30分） 23. 某公司全体员工的年龄的频率分布表如下表所示，其中男员工年龄的频率分布直方图如图所示.已知该公司年龄在35岁以下的员工中，男、女员工的人数相等. 年龄（岁） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45） [45，50） [50，55） [55，60） 合计 人数 6 8 11 23 18 9 5 80 （1）求图中实数a的值，并估计该公司男员工的平均年龄；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （2）若从年龄在[55，60）的员工中随机抽取2人参加活动，求这2人中至少有1名女员工的概率. 24. 如图，在三棱柱中，，，，． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离， 25. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，若对于任意，恒成立，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山市第二中学2021~2022学年度第二学期高二年级学业水平模拟测试 数学试卷 （考试时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题18小题，每小题3分，共54分）以下每小题A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的性质先求出集合，再求出集合，由集合的交集运算，即可求出结果. 【详解】由题知，集合，，所以. 故选：B． 2. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性、单调性逐项判断作答. 【详解】对于A，是定义在R上的奇函数，是减函数，A是； 对于B，是定义在R上的奇函数，是增函数，B不是； 对于C，是上的增函数，不是奇函数，C不是； 对于D，定义域在R上的增函数，不是奇函数，D不是. 故选：A 3. 已知，是实数，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个条件之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若，则，即，故. 取，此时，但， 故推不出， 故选：A. 4. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用可能平行判断，利用线面平行的性质判断，利用或与异面判断，与可能平行、相交、异面，判断. 【详解】，，则可能平行，错； ，，由线面平行的性质可得，正确； ，，则， 与异面；错， ，，与可能平行、相交、异面，错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 5. 宝鸡市在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对4个垃圾桶编号，4袋垃圾编号，利用列举法结合古典概率公式计算作答. 【详解】记“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”的垃圾桶分别为1，2，3，4， 小陈提的“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”分别为a，b，c，d， 每桶投一袋的不同投法有： (a1，b2，c3，d4)，(a1，b2，c4，d3)，(a1，b3，c2，d4)，(a1，b3，c4，d2)，(a1，b4，c3，d2)，(a1，b4，c2，d3)， (a2，b1，c3，d4)，(a2，b1，c4，d3)，(a2，b3，c1，d4)，(a2，b3，c4，d1)，(a2，b4，c3，d1)，(a2，b4，c1，d3)， (a3，b1，c2，d4)，(a3，b1，c4，d2)，(a3，b2，c1，d4)，(a3，b2，c4，d1)，(a3，b4，c1，d2)，(a3，b4，c2，d1)， (a4，b1，c3，d2)，(a4，b1，c2，d3)，(a4，b2，c3，d1)，(a4，b2，c1，d3)，(a4，b3，c1，d2)，(a4，b3，c2，d1)，共24个，它们等可能， 恰好有两袋垃圾投对的事件A有： (a1，b2，c4，d3)，(a1，b3，c2，d4)，(a1，b4，c3，d2)，(a2，b1，c3，d4)，(a3，b2，c1，d4)，(a4，b2，c3，d1)，共6个， 所以恰好有两袋垃圾投对的概率为. 故选：D 6. 已知 为正实数， 且 ， 则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将变形为，所求式子乘1，然后展开由基本不等式可得. 【详解】因为 为正实数， 所以 所以 当且仅当，即时，取等号， 故 的最小值为8. 故选：C 7. 如图，在中，CD是AB边上的中线，点P是CD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的加法和数乘运算法则计算可得； 【详解】解：依题意可得， 所以 故选： 【点睛】本题考查平面向量的线性运算的几何表示，属于基础题. 8. 一人打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A. 至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C. 两次都不中靶 D. 只有一次中靶 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，若恰好中靶一次，则“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，A错误； 对于B，若两次都中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都中靶”同时发生，不是互斥事件，B错误； 对于C，若两次都不中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”不能同时发生，是互斥事件，C正确； 对于D，若只有一次中靶，则“至少有一次中靶”与“只有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，D错误. 故选：C. 9. 若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的最小正周期为，可得，令，分析即得解 【详解】由题意，函数的最小正周期为， 故 即 令 即 令，可得，故A正确； BCD选项中，不存在与之对应，故错误 故选：A 10. 在中，若，，，则其面积等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先由余弦定理求出一个角的余弦值，得其正弦值，再有求面积.已知三角形的三边，也可以直接由海伦-秦九韶公式求面积. 【详解】方法一：由余弦定理，得， 所以. 所以. 故选A. 方法二：海伦-秦九韶公式，其中， 所以. 故选A. 【点睛】本题考查已知三角形的三边求面积，可由余弦定理和，或(其中)求面积. 11. 高二年级某班甲同学自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下： 83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101 计算出学生甲的第25，50百分位数（ ） A. 86，98 B. 85，98.5 C. 85，97.5 D. 86，99 【答案】A 【解析】 【分析】首先将数据从小到大排列好，利用求百分位的规则求解即可. 【详解】首先将数据从小到大排列好， ， 由，所以第25百分位数为第四个数； 由，所以第50百分位数为第七个数. 故选：A. 12. 如图，在直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】∥，所以及为异面直线与所成的角或其补角，连接，根据余弦定理即可求得答案. 【详解】 如图，连接，则，由题知，，，∵∥，所以及为所求角或其补角， 所以. 故选：D. 13. 若在上定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用定义运算得到二次不等式恒成立问题，利用判别式来解答即可. 【详解】由已知得， 则对任意实数恒成立 整理得对任意实数恒成立， ， 解得. 故选：C. 14. 已知函数为定义在R上的函数，对任意的，均有成立，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递减，结合，把不等式转化为，即可求解. 【详解】由题意，函数均有，可得函数的图象关于对称， 又由在上单调递减，则在上单调递减， 因为，可得， 则不等式，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 15. 已知，，则 A. B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知的值，结合同角三角函数关系式可求tanα，然后根据两角差的正切公式即可求解． 【详解】 ∴ 则 故选C． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及两角差的正切公式的简单应用，属于基础题． 16. 如图，在棱长为的正方体中，为中点，则四面体的体积 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由体积桥可知，求解出和高，代入三棱锥体积公式求得结果. 【详解】为中点 又平面 本题正确选项： 【点睛】本题考查三棱锥体积的求解问题，关键是能够利用体积桥将所求三棱锥更换顶点，从而更容易求得几何体的高和底面积，属于基础题. 17. 若在上是减函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式和余弦函数单调性的求法可得的单调递减区间，对应已知区间即可确定结果. 【详解】； 令，解得：， 的单调递减区间为， ，，， 的最大值为. 故选：B. 18. 设函数，则函数的零点个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数与方程的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】解：， 由得， 作出与的图象，由图象知两个函数共有3个交点， 则函数的零点个数为3个， 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合或者定义法是解决本题的关键，属于中档题. 二、填空題（本大题4小题，每小题4分，共16分） 19. 若向量，，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】先算，再利用向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】解：因为， 所以. 故答案为： 【点睛】本题考查向量的坐标运算，是基础题. 20. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即复数的模的求法计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 21. 若，且，，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，由平方关系可得和的值，然后根据，利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】解：因为，，所以， 又，， 所以， 因为，所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 22. 设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数在每一段上都递增，列出不等式，且有，再联立求解即得. 【详解】因函数在上单调递增，则有在上递增，于是得， 在上也递增，于是得，即，并且有，即，解得， 综上得：， 所以的取值范围是. 故答案为： 三、解答題（本大题3小题，共30分） 23. 某公司全体员工的年龄的频率分布表如下表所示，其中男员工年龄的频率分布直方图如图所示.已知该公司年龄在35岁以下的员工中，男、女员工的人数相等. 年龄（岁） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45） [45，50） [50，55） [55，60） 合计 人数 6 8 11 23 18 9 5 80 （1）求图中实数a的值，并估计该公司男员工的平均年龄；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （2）若从年龄在[55，60）的员工中随机抽取2人参加活动，求这2人中至少有1名女员工的概率. 【答案】（1）0.016，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的定义和性质，求得a的值以及平均年龄； （2）先求出[55，60）的员工中男女员工人数，再列出取出2人的所有的情况，由古典概型可得至少有1名女员工的概率. 【小问1详解】 由男员工年龄的频率分布直方图得（0.012+2a十2×0.024+0.048+0.060 )×5=1，解得a=0.016. 则男员工的平均年龄 【小问2详解】 该校年龄在35岁以下的男女员工人数相等,且共14人，年龄在35岁以下的男员工共7人. 由（1）知，男员工年龄在[25, 35 )的频率为， 所以男员工共有（人），女员工共有（人）， 所以年龄在[55,60 ）的员工中，男员工为0.016×5×50=4（人），不妨设为，则女员工为1人，设为，从年龄在[55,60 ）的员工中随机抽取2人， 则有，共有10种可能情形，其中至少有1名女员工的有4种，故所求概率为. 24. 如图，在三棱柱中，，，，． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离， 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算出，利用勾股定理可证得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）分析可知点到平面的距离等于点到平面的距离，然后利用等体积法可计算得出点到平面的距离，即为所求. 【小问1详解】 证明：在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，，则，所以，， 又，，，所以，则， 又因为，因此，平面. 【小问2详解】 解：因为四边形为平行四边形，则， 所以，，即， 所以，点到平面的距离等于点到平面的距离， 设点到平面的距离为， 由（1）知平面， ， ，，解得. 因此，点到平面的距离为. 25. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，若对于任意，恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由，得到，求得，即可得到的值； （2）根据题意，化简得到，由，得到，结合对于任意， 恒成立，即，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，， 因为，可得，整理得， 即，又因为，则. 【小问2详解】 解：由 ， 因为，则，所以， 因为对于任意，而恒成立， 则，所以实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $