精品解析：湖南省岳阳市湘阴县知源高级中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题

知源学校2023年下学期新生入学考试 高一年级数学科试卷 满分：120分 考试时量：90分钟 一、选择题（本大题共8小题，共24分） 1. 下列各数中的正数是（ ） A. B. C. D. 2. 下面几何体中，从上面看不是圆形的为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 人数 3 4 8 5 课外书数量（本） 12 13 15 18 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ） A. 13，15 B. 14，15 C. 13，18 D. 15，15 5. 用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　) A. {x|y＝3x＋1} B. {y|y＝3x＋1} C. {(x，y)|y＝3x＋1} D. {y＝3x＋1} 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 同位角相等 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查的方式 D. 同弧所对的圆周角相等 8. 如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线上方的图象沿直线向下翻折，在直线下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（本大题共8小题，共32分） 9. 2022年5月，神舟十三号搭载的1.2万粒作物种子顺利出舱．其中1.2万用科学记数法表示为__________． 10. 分解因式：__________． 11. 使得分式有意义的条件是__________． 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值是__________． 13. 已知，则__________． 14. 假期前，小明家设计了三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营．妈妈将三种方案分别写在三张相同的卡片上，小明随机抽取1张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取1张，则小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率是__________． 15. 已知或，，若，则实数a的取值范围为________． 16. 如图，为等腰三角形的外接圆，是的直径，为上任意一点（不与点重合），直线交的延长线于点在点处的切线交于点，则下列结论：①若，则的长为；②若，则平分；③若，则；④无论点在上的位置如何变化，．其中正确结论的序号为__________． 三、解答题（共8小题，17、18各6分，19-22各8分，23、24各10分，共64分） 17. 计算：． 18. 三边满足试判定的形状. 19. 如图，直线与双曲线为常数，在第一象限内交于点，且与轴、轴分别交于两点． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）点在轴上，且的面积等于2，求点的坐标． 20. 为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为小时，将它分为4个等级：，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图： 学生课外阅读总时间条形统计图 学生课外阅读总时间扇形统计图 绘制了如图两幅不完整的统计图： 请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了______名学生；等级D所对应的扇形的圆心角为_____ （2）请补全条形统计图； （3）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中先后任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 21. 某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？ 22. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动.如图，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树.测得古树底端到山脚点的距离米，在距山脚点水平距离6米的点处，测得古树顶端的仰角（古树与山坡的剖面、点在同一平面上，古树与直线垂直），则古树的高度约为多少米?（参考数据：） 23. （1）如图1，在正方形中，点分别在边和上，于点，求证：． （2）如图2，在矩形中，将矩形折叠，得到四边形交于点，点落在边上的点处，折痕交边于，交边于，连接交于点，若，且，求与的长． 24. 如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点，连接，抛物线顶点． （1）求抛抛物线的解析式； （2）把抛物线在轴下方图象沿轴翻折得到新图象．平移直线得函数，当直线与新图象有四个公共点时，求的取值范围； （3）平移直线，使它过点，交轴于点，在轴上取点连接，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 知源学校2023年下学期新生入学考试 高一年级数学科试卷 满分：120分 考试时量：90分钟 一、选择题（本大题共8小题，共24分） 1. 下列各数中的正数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由有理数指数幂的运算求解． 【详解】对于选项A，，即选项A不符合题意； 对于选项B，，即选项B不符合题意； 对于选项C，，即选项C符合题意； 对于选项D，，即选项D不符合题意． 故选：C． 2. 下面几何体中，从上面看不是圆形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中几何体的俯视图，综合可得答案. 【详解】对于A，其旋转体为圆柱，从上面看在平面上的投影是圆，； 对于B，其旋转体为圆锥，从上面看在平面上的投影是圆形； 对于C，其几何体为三棱锥，从上面看在平面上的投影是三角形； 对于D，其旋转体为球体，从上面看在平面上的投影是圆形； 故选：C 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项的合并、同底数幂的乘法、积的乘方和完全平方公式计算判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确; 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误; 故选：B 4. 小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 人数 3 4 8 5 课外书数量（本） 12 13 15 18 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ） A. 13，15 B. 14，15 C. 13，18 D. 15，15 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数、中位数的概念计算即可. 【详解】因为阅读课外书数量为15本的人数最多，所以众数为15， 因为随机调查20名同学，所以中位数是第10、11两个数的平均数，所以中位数为：, 故选：D 5. 用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　) A. {x|y＝3x＋1} B. {y|y＝3x＋1} C. {(x，y)|y＝3x＋1} D. {y＝3x＋1} 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合是点集，代表元素是判断结果. 【详解】因为集合是点集，所以代表元素是，所以用描述法表示为. 故选C. 【点睛】本题考查了点集的表示方法，属于简单题型. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式转化为，解不等式组可求得结果. 【详解】由得：，解得：或， 不等式的解集为. 故选：A. 7. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 同位角相等 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查的方式 D. 同弧所对的圆周角相等 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，同位角不一定相等；对于B，当弦为直径时，结论不一定成立；对于C，载人航天器零部件的检查需采用全面调查的方式；对于D，同弧所对的圆周角一定相等. 【详解】对于A，只有两直线平行时，同位角相等，故A错误 对于B，只有当弦不是直径时，平分弦的直径才垂直于弦，当弦为直径时，结论不一定成立，故B错误； 对于C，抽样调查只能得到一个大概的情况，不一定准确，载人航天器零部件的检查需采用全面调查的方式，故C错误； 对于D，同弧所对的圆周角一定相等，故D正确. 故选：D. 8. 如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线上方的图象沿直线向下翻折，在直线下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数的性质找到最大值和最小值差刚好等于5的的值，则的范围可知，综合可得答案. 【详解】根据题意，，其顶点坐标为， 当时，，即函数与轴的交点为， 当时，，设，直线轴且过点， 将该函数在直线上方的图象沿直线向下翻折， 在直线下方的图象保持不变，得到一个新图象，分3种情况讨论： （1） 当时，如下图： ，此时最大值为0，最小值为； （2）当时，如下图： （3）当时，最大值与最小值之差大于5，不符合题意； 综上所述：，即的取值范围为：； 故选：C 二、填空题（本大题共8小题，共32分） 9. 2022年5月，神舟十三号搭载的1.2万粒作物种子顺利出舱．其中1.2万用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由有理数指数幂的运算求解． 【详解】1.2万用科学记数法表示为． 故答案为：． 10. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】由提公因式法和平方差公式运算求解． 【详解】． 故答案为：． 11. 使得分式有意义的条件是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0即可得出答案． 【详解】要使分式有意义，则，即． 故答案为：． 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】求方程的解即为的值，再将的值代入计算即可得解. 【详解】解方程得或，故或， 当时，； 当时，. 故答案为：. 13. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由条件得，再两边平方求出的值，再将代入结合完全平方公式即可得解. 【详解】由题，所以， 所以，满足，故， 所以. 故答案为：. 14. 假期前，小明家设计了三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营．妈妈将三种方案分别写在三张相同的卡片上，小明随机抽取1张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取1张，则小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的求法，将小明和姐姐的抽取结果同时考虑，再考虑方案相同的情形，即可求得． 【详解】三种度假方案，小明随机抽一张，有3种结果，放回后姐姐再抽，还是3种结果， 同时考虑小明和姐姐的抽取结果，一共有种组合， 而抽取的方案相同，有3种结果， 所以小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率是． 故答案为：． 15. 已知或，，若，则实数a的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】 转化为，分，两种情况讨论得到a 的范围即可. 【详解】∵， ∴． ①当时，有或解得． ②当时， 由，得． 综上可知，实数a的取值范围是或 故答案：或 【点睛】本题考查了集合运算的性质，考查了学生转化与化归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题. 16. 如图，为等腰三角形的外接圆，是的直径，为上任意一点（不与点重合），直线交的延长线于点在点处的切线交于点，则下列结论：①若，则的长为；②若，则平分；③若，则；④无论点在上的位置如何变化，．其中正确结论的序号为__________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】①根据，，即可求得弧长的长； ②根据切线的性质以及垂2定理，即可得到，据此可得平分； ③可得，在直角三角形中，即可确定的长； ④判定，即可判断. 【详解】连接,因为，所以 所以的长为，故①错误， 因为是的切线，所以，又因为，所以，所以，则，平分，故②正确； 因为，所以，则，因为，所以， 因为是的切线，所以，所以，所以，所以， 所以在直角三角形中，，故③正确； 由题可得等腰三角形中，，所以，因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以，故④错误； 故答案为：②③ 三、解答题（共8小题，17、18各6分，19-22各8分，23、24各10分，共64分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算零指数幂、负整数幂、再化简绝对值、代入特殊角的函数值算乘法，最后算加减即可. 【详解】原式. 18. 三边满足试判定的形状. 【答案】等腰三角形. 【解析】 【分析】根据得到，即可得到，从而可以判断三角形形状. 【详解】由得，即， 因为，所以，从而，所以是等腰三角形. 19. 如图，直线与双曲线为常数，在第一象限内交于点，且与轴、轴分别交于两点． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）点在轴上，且的面积等于2，求点的坐标． 【答案】（1）；； （2）或． 【解析】 【分析】（1）由题意，将点分别代入双曲线和直线解析式中，得到和的值，进而即可得到答案； （2）设出点的坐标，结合（1）中所得直线的解析式得到，两点的坐标，利用三角形面积公式再求解即可． 【小问1详解】 把代入双曲线，可得， 双曲线的解析式为； 把代入直线，可得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 设点的坐标为， 在中，令，则；令，则， ，即， 的面积等于2， ，即，解得或， 点的坐标为或． 20. 为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为小时，将它分为4个等级：，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图： 学生课外阅读总时间条形统计图 学生课外阅读总时间扇形统计图 绘制了如图两幅不完整的统计图： 请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了______名学生；等级D所对应的扇形的圆心角为_____ （2）请补全条形统计图； （3）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中先后任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）（1）50；； （2） C等级人数为（名）， 补全图形如下： （3）． 【解析】 【分析】（1）由条形统计图及扇形统计图求解； （2）由统计数据补全条形统计图即可； （3）由树形图，结合古典概型概率公式求解． 【小问1详解】 由题意可得：本次共调查了名学生， 等级所对应的扇形百分比为， 即等级所对应的扇形的圆心角为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为2， 所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率． 21. 某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？ 【答案】一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元 【解析】 【分析】设一次性医用外科口罩的单价是元，根据题意列出方程求解即可． 【详解】设一次性医用外科口罩的单价是元，则口罩的单价是元，依题意有，解得， 经检验，是原方程的解，则， 故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元； 22. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动.如图，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树.测得古树底端到山脚点的距离米，在距山脚点水平距离6米的点处，测得古树顶端的仰角（古树与山坡的剖面、点在同一平面上，古树与直线垂直），则古树的高度约为多少米?（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解. 【详解】如图： 延长交的延长线于点，则， 山坡上坡度， 令，则， 在Rt中，由勾股定理得， 解得， 在， 因此，古树的高度约为 23. （1）如图1，在正方形中，点分别在边和上，于点，求证：． （2）如图2，在矩形中，将矩形折叠，得到四边形交于点，点落在边上的点处，折痕交边于，交边于，连接交于点，若，且，求与的长． 【答案】（1）在正方形中， ， 又； （2）． 【解析】 【分析】（1）在正方形中，由题意可得，，可证得； （2）作于，作的延长线于，由题意可证得，进而证得，由题意可得与的长. 【详解】（1）略 （2）作于，作的延长线于，如图， 因为，所以, 因为， 所以， 因为 所以， 设,，所以， 所以，， 在中，，解得, ∴， 因为，所以，即 所以， ， 则，即 又， 综上， 24. 如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点，连接，抛物线顶点． （1）求抛抛物线的解析式； （2）把抛物线在轴下方图象沿轴翻折得到新图象．平移直线得函数，当直线与新图象有四个公共点时，求的取值范围； （3）平移直线，使它过点，交轴于点，在轴上取点连接，求的度数． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法，设抛物线解析式为，把点的坐标代入即可求得答案； （2）由题意可得翻折后的图象的解析式为，直线平移后的解析式为，联立得，利用根的判别式可求得，即可得出答案； （3）如图，过点作于，过点作轴于，利用解直角三角形求得、，再运用三角形外角性质即可求得答案. 【小问1详解】 设抛物线解析式为， 把代入，得：，解得：， , 故该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 把抛物线在轴下方图象沿轴翻折得到新图象，如图 则翻折后的图象的解析式为， 把代入，得：，解得，所以直线解析式为， 直线平移后的解析式为，与联立，得，整理得， 当直线平移后与抛物线相切时，，解得， 当直线与新图象有四个公共点时，的取值范围为； 【小问3详解】 ， 抛物线的顶点为， 把代入，得，解得， 直线的解析式为， 令，得，解得，即， 如图，过点作于，过点作轴于，则， 在中， 则 在中， ，即， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $