精品解析：广东省梅州市兴宁市第一中学2024-2025学年高三上学期开学测试数学试题

兴宁一中高三数学测试卷 20240828 一、单项选择题（每小题5分，共40分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均得0分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 化简的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 5. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知 是定义在R上的奇函数，又的图象关于对称，当时，则下列判断正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的周期为2 C. D. 是偶函数 8. 函数所有零点和等于（ ） A 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 二、多项选择题（每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，不选或有选错的得0分．） 9. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 形如的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线．已知为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 渐近线方程为和 B. 的对称轴方程为和 C. 是函数图象上两动点，为的中点，则直线的斜率之积为定值 D. 是函数图象上任意一点，过点作切线，交渐近线于两点，则的面积为定值 11. （多选题）已知函数，则下列说法正确是（ ） A. 若函数的最小值为，则 B. 若，则使得成立 C. 若，都有成立，则 D. 若函数在上存在最大值，则正实数的取值范围是 三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分） 12 设，则________. 13. 定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时．已知，则______． 14. 若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 16. 已知函数，，． （1）当时，解不等式； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的周长． 18. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. （1）求20以内的质数“理想数”； （2）已知.求m的值； （3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 兴宁一中高三数学测试卷 20240828 一、单项选择题（每小题5分，共40分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均得0分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反函数定义得到，代入求值即可. 【详解】的图象与的图象关于直线对称， 故与互为反函数，故， 所以. 故选：C 3. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系. 【详解】，，，又，即. 因此，. 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题. 4. 化简的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的性质及换底公式可求代数式的值. 【详解】原式. 故选：B 5. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理结合二倍角的正弦公式求出的值，求出的取值范围，即可得出角的值. 【详解】因为，，由正弦定理可得， 所以，因为，则，所以，解得. 故选：C. 6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 7. 已知 是定义在R上奇函数，又的图象关于对称，当时，则下列判断正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的周期为2 C. D. 是偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】利用是定义在R上的奇函数，图象关于对称，故是周期的周期函数，结合奇函数的性质，当时，可得函数的值域.再结合函数图像的平移变换可解. 【详解】对于A，当时，，此时， 又由是定义在R上的奇函数，则，且当时，， 故在区间上，，A错误; 对于B，函数图象关于直线对称，则有， 又由是定义在R上的奇函数，则， 则有，故是周期的周期函数，B错误； 对于C，是周期的周期函数，则，C错误; 对于D，的图象关于对称，向左平移1个单位得到, 则函数的图像关于轴对称，则是偶函数，D正确. 故选：D. 8. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】把问题转化为两个函数图像的交点的横坐标，画出函数的图像，即可求解. 【详解】函数所有零点转化为两个函数图像的交点的横坐标， 而可化， 如图，画出函数图像， 根据图像可知有6个交点，且两两关于直线对称，所以零点的和为 故选：C 二、多项选择题（每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，不选或有选错的得0分．） 9. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】采用作差法可知AB正确；通过反例可说明CD错误. 【详解】对于A，， ，，， ，即，A正确； 对于B，， ，，， ，即，B正确； 对于C，当，，，时，，C错误； 对于D，当，，，时，，D错误. 故选：AB. 10. 形如的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线．已知为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 渐近线方程为和 B. 的对称轴方程为和 C. 是函数图象上两动点，为的中点，则直线的斜率之积为定值 D. 是函数图象上任意一点，过点作切线，交渐近线于两点，则的面积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据题意结合图象分析判断；对于B：根据题意结合倍角公式以及垂直关系分析运算；对于C：根据题意结合斜率公式运算求解；对于D：根据导数的几何意义求切线方程，进而可求结果. 【详解】因为是双曲线，由图象可知：函数图象无限接近和，但不相交， 故渐近线为和，故A正确； 因为是双曲线，由双曲线的性质可得，对称轴为渐近线的角分线，且互相垂直， 一条直线的倾斜角为， 由二倍角公式可得， 整理得，解得或（舍去）， 故， 另一条直线的斜率为，故B正确； 设，所以， 故，故C错误； 因为， 设，则处切线的斜率， 所以切线方程为， 令，可得，即，则； 令，可得，即，则； 故面积为（定值），故D正确． 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法 （1）已知切点，求在点P处的切线方程：求出切线的斜率，由点斜式写出方程． （2）已知切线的斜率为k，求的切线方程：切点，通过方程解得，再由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点(非切点)，求的切线方程：设切点，利用导数求得切线斜率，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得，再由点斜式或两点式写出方程． 11. （多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数的最小值为，则 B. 若，则使得成立 C. 若，都有成立，则 D. 若函数在上存在最大值，则正实数的取值范围是 【答案】CD 【解析】 【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及正弦函数的性质，逐项进行检验即可求解. 【详解】，其中，， 对于，函数最小值为，解得，故选项A错误； 对于B，令，，所以 由，即，令，即，则，故选项B错误； 对于C，因为，所以，， 所以，又恒成立，即， 也即恒成立，所以，解得，故C正确； 对于D，，其中，，由正实数，不妨取，又，则，若函数在上存在最大值，则，即， 所以，即，故选项D正确． 故选：CD. 三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 设，则________. 【答案】2 【解析】 分析】 先求出，再求的值即可 【详解】解：由题意得，， 所以， 故答案为：2 13. 定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时．已知，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】先赋值求出，再赋值求出.根据，赋值得到，进而得到，再得到.根据得解. 【详解】由已知，对于任意实数，恒有， 令，，可得，因为当时，， 所以，故. 令，设，则，. 由于，则，，则. 由于，，则. 故答案为：8. 14. 若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】确定，根据正弦函数的递增区间求出的范围，结合正弦函数的周期性求出的范围可得答案. 【详解】当时，不具备单调性， 当时，， 若在区间上单调递增，则在在区间上单调递减， 可得，因为在上是单调递增的， 所以在上不可能单调递减，所以不成立， 于是. 若函数在区间上单调递增，则 ，， 若函数在区间上单调递增，则 ，， 因为，所以时，， 综上所述，. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16. 已知函数，，． （1）当时，解不等式； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用分类讨论的方式可分别构造不等式组求得结果； （2）分别在、和的情况下，结合图象确定不等关系，由此可得结果. 【小问1详解】 当时，由得：， 或，解得：或， 综上所述：不等式的解集为. 【小问2详解】 令，，恒过定点； 当时，恒成立，不合题意； 当时，在上单调递增， 若存在，使得，只需， 即，解得：； 当时，在上单调递减， 若存在，使得，只需， 即，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解. 【小问1详解】 证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； 【小问2详解】 解：因为， 由（1）得， 由余弦定理可得， 则， 所以， 故， 所以， 所以的周长为. 18. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 【答案】（1）证明见解析； （2）1 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， ， 又不在同一条直线上， . 【小问2详解】 设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. （1）求20以内的质数“理想数”； （2）已知.求m的值； （3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 【答案】（1）2和5为两个质数“理想数” （2）的值为12或18 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解； （2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解； （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 以内的质数为， ，故，所以为“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； 和5为两个质数“理想数”； 【小问2详解】 由题设可知必为奇数，必为偶数， 存在正整数，使得，即： ，且， ，或，或，解得，或， ，或，即的值为12或18． 【小问3详解】 显然偶数"理想数"必为形如的整数， 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：， 若奇数，不妨设， 若为"理想数"，则，且，即，且， ①当，且时，； ②当时，； ，且， 又，即， 易知为上述不等式的唯一整数解， 区间]存在唯一的奇数"理想数"，且， 显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为， 所有的奇数"理想数"的倒数为， ，即． 【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$