精品解析：黑龙江省哈尔滨市第一六三中学校2024-2025学年九年级上学期开学学情监测数学试题

哈163中学2024-2025学年度（上）开学学情监测 九年级数学学科 （满分：120分，时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列表示y与x之间的关系的图像中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 17，8，15 C. 8，12，15 D. 9，15，17 3. 某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂生产零件的月平均增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 5. 若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，如果∠A=125°，则∠BCE度数是( ) A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° 7. 对于一次函数y=-2x+5，下列结论错误的是（） A. 函数y随x的增大而减小 B. 函数图象向下平移5个单位得y=-2x的图象 C. 函数图象与x轴的交点是（0,5） D. 当x>0时，y<5 8. 如图，在菱形中，E、F分别是、的中点，如果，则菱形的周长是（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 9. 如图，中，D是边上一点，交于点E，连接 ，交于点F，则下列结论错误的是（ ）. A. B. C. D. 10. 在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是（　　） A. 小莹的速度随时间的增大而增大 B. 小梅的平均速度比小莹的平均速度大 C. 在起跑后180秒时，两人相遇 D. 在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 已知一张地图的比例尺是，量得北京到上海的图上距离约为，则北京到上海的实际距离大约是____________． 12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为_____． 13. 已知一次函数的图象经过点，则______． 14. 矩形中，对角线、相交于点O， ，，则________． 15. 若关于x的一元二次方程mx2＋(m－1)x-10＝0有一个根为2，则m的值是______． 16. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BFC=_________° 17. 哈市某中学组织篮球比赛庆祝建党100周年，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为___________． 18. 把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=4，BC=8，则DE的长为____． 19. 菱形有一个内角是120°，有一条对角线为6cm,则此菱形的边长是______cm. 20. 如图，在正方形中，F在的延长线上，E在上， 延长线交于点H，若， ， ，则____________． 三、解答题（共计60分） 21. 先化简，再求值代数式的值，其中． 22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段DE，点A、B、D、E均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以AB为一边的等腰直角三角形ABC，点C在小正方形的顶点上，且三角形ABC的面积为； （2）在方格纸中画出以DE为一腰且一个内角为钝角的等腰三角形DEF，点F在小正方形的顶点上，且三角形DEF的面积为4．连接CF，请直接写出线段CF的长. 23. 如图，已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）点P在x轴上，使的面积为5，求点P的坐标． 24. 在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF． （1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形； （2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）． 25. 绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元． （1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元； （2）绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？ 26. 在中，为边上一点，于点，交于点，平分 交 于点 ，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，点与点关于直线对称，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 27. 如图①，在平面直角坐标系中，点A在直线y＝﹣x上，且点A的横坐标为﹣6，直线AB分别交x轴、y轴于点B和点C．点B的坐标为（10，0）． （1）求直线AB的解析式； （2）如图②，点D坐标为（4，8），连接AD、BD，动点P从点A出发，沿线段AD运动．过点P作x轴的垂线，交AB于点Q，连接DQ．设△BDQ的面积为S（S≠0），点P的横坐标为t，求S与t之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，连接PC，若∠CPD+∠OBD＝90°，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈163中学2024-2025学年度（上）开学学情监测 九年级数学学科 （满分：120分，时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列表示y与x之间的关系的图像中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数；由此问题可求解． 【详解】解：由题意得：选项A、B、D都是函数，而选项C不符合函数的概念， 故选C． 【点睛】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 17，8，15 C. 8，12，15 D. 9，15，17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可． 【详解】A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选B． 3. 某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂生产零件的月平均增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该厂生产零件的月平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设该厂生产零件的月平均增长率为， 由题意得，， 故选：A． 4. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等． 5. 若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，根据勾股定理即可求得等腰底边上的高． 【详解】解：如图：BC=12．AB=AC=10， 在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC； ∴BD=DC=BC=6； Rt△ABD中，AB=10，BD=6； 由勾股定理，得：AD=8 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．等腰三角形的高也是等腰三角形的中线． 6. 如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，如果∠A=125°，则∠BCE度数是( ) A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和已知，可求出∠B，再进一步利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠A+∠B=180°， ∴∠B=180°-125°=55°， ∵CE⊥AB， ∴在Rt△BCE中，∠BCE=90°-∠B=90°-55°=35°． 故答案为A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，运用平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法． 7. 对于一次函数y=-2x+5，下列结论错误的是（） A. 函数y随x的增大而减小 B. 函数图象向下平移5个单位得y=-2x的图象 C. 函数图象与x轴的交点是（0,5） D. 当x>0时，y<5 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图像与性质即可求解. 【详解】解：A. k＜0，函数y随x的增大而减小，正确，不符合题意； B. 函数图像向下平移5个单位得 y=-2x的图像，正确，不符合题意； C. 函数图像与y轴的交点是（0,5），故错误，符合题意； D. 当x>0时，y<5，正确，不符合题意； 故选C. 【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质. 8. 如图，在菱形 中，E、F分别是 、的中点，如果，则菱形 的周长是（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握菱形的性质及三角形的中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理求出 的长，再根据菱形的四条边都相等即可得到答案． 【详解】E、F分别是 、的中点， 是的中位线， ， 菱形 的周长． 故选D． 9. 如图，中，D是 边上一点，交于点E，连接，交于点F，则下列结论错误的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴选项A、B、C正确，选项D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 10. 在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是（　　） A. 小莹的速度随时间的增大而增大 B. 小梅的平均速度比小莹的平均速度大 C. 在起跑后180秒时，两人相遇 D. 在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面 【答案】D 【解析】 【详解】A、∵线段OA表示所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象， ∴小莹的速度是没有变化的，故选项错误； B、∵小莹比小梅先到， ∴小梅的平均速度比小莹的平均速度小，故选项错误； C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等， ∴他们没有相遇，故选项错误； D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面， ∴小梅是在小莹的前面，故选项正确． 故选D． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 已知一张地图的比例尺是，量得北京到上海的图上距离约为，则北京到上海的实际距离大约是____________． 【答案】960 【解析】 【分析】本题主要考查了图上距离与实际距离的换算，熟知比例尺的定义是解题的关键． 根据比例尺图上距离实际距离进行求解即可． 【详解】∵一张地图的比例尺是，量得北京到上海的图上距离约为， ∴ ∴北京到上海的实际距离大约是． 故答案为：960． 12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据锐角的余弦值等于邻边比对边列式求解即可. 【详解】∵∠C=90°，AB=6， ∴， ∴BC=4. 【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中， ， ，. 13. 已知一次函数的图象经过点，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确函数图象上点的坐标满足函数解析式，通过代入坐标值求解未知数． 因为点在一次函数的图象上，所以该点的坐标满足函数解析式，将 ，代入解析式中，得到关于a的一元一次方程，求解方程即可得到a的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴将 ，代入，得． 移项，得，即． 故答案为：2． 14. 矩形 中，对角线、 相交于点O， ，，则________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理；先画出示意图，由勾股定理计算出 ，再由矩形性质得即可求解． 【详解】解：如图，四边形 是矩形， ∴ ，， 由勾股定理得：， ． 故答案为：2.5． 15. 若关于x的一元二次方程mx2＋(m－1)x-10＝0有一个根为2，则m的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入mx2＋(m－1)x-10＝0得4m+2(m-1)-10=0中求出m，然后根据一元二次方程的定义确定m的值． 【详解】解：把x=2代入mx2＋(m－1)x-10＝0得4m+2(m-1)-10=0，解得：m=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解是解题的关键． 16. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BFC=_________° 【答案】60 【解析】 【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ADE=15°，∠DAC=45°，再求∠DFC，证，可得∠BFC=∠DFC． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=CD=BC， =45°， 又∵△ABE是等边三角形， ∴AE=AB=BE，∠BAE=60°， ∴AD=AE， ∴∠ADE=∠AED，∠DAE=90°+60°=150°， ∴∠ADE=（180°-150°）÷2=15°， 又∵∠DAC=45°， ∴∠DFC=45°+15°=60°， 在 和中， ， ∴， ∴∠BFC=∠DFC=60°， 故答案为60． 【点睛】本题主要是考查了正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ADE=15°． 17. 哈市某中学组织篮球比赛庆祝建党100周年，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 设这次参加比赛的球队个数为x个，根据“赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛”，列出关于x的一元二次方程，解之即可． 【详解】解：设这次参加比赛的球队个数为x个， 根据题意得： 解得（舍去） 即这次参加比赛的球队个数为9个， 故答案为：9． 18. 把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=4，BC=8，则DE的长为____． 【答案】5 【解析】 【分析】利用勾股定理得出DF的长，进而得出DE的长 【详解】解： 由折叠可知：∠BFE=∠DFE,DF=BF. 在Rt△DFC中，设DF=x，则BF= x，CF=8-x， 由勾股定理得： ∴x2=（8-x）2+42， 解得：x=5， ∴线段DF的长为5． 在矩形ABCD中：AD//BC ∴∠BFE=∠DEF ∴∠DFE=∠DEF ∴DE=DF=5 故答案为5 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理全等等知识，解题关键是用方程思想求出线段DF的长，利用全等得出DE=DF． 19. 菱形有一个内角是120°，有一条对角线为6cm,则此菱形的边长是______cm. 【答案】6或2cm 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论，即可求解. 【详解】解：如图所示，∠BAD=120°， 当AC=6cm时， ∵AC平分∠BAD， ∴∠CAD=60°， ∵AD=CD， ∴△ADC为等边三角形， ∴菱形的边长为6cm； 当BD=6cm时， ∴OD=3cm，又∠ADO=30°， ∴设AO=x，则AD=2x. ∴2x2=x2+32, 解得x=， ∴菱形的边长为2cm 故答案为：6或 【点睛】此题主要考查菱形的边长，解题的关键是熟知菱形的性质. 20. 如图，在正方形 中，F在 的延长线上，E在 上，延长线交于点H，若， ， ，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】延长， 交于点G，设，则，首先得到，，代入得到，进而求得 ；然后同理证明出，根据相似三角形的性质得到，然后代入得到，然后在中利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，延长， 交于点G， ∵四边形 是正方形， ， ，， ∴设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（共计60分） 21. 先化简，再求值代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先根据分式的混合运算法则化简，然后利用特殊角的三角函数值求出a的值，然后代数求解即可． 【详解】 ， ∵ ∴原式． 22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段DE，点A、B、D、E均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以AB为一边的等腰直角三角形ABC，点C在小正方形的顶点上，且三角形ABC的面积为； （2）在方格纸中画出以DE为一腰且一个内角为钝角的等腰三角形DEF，点F在小正方形的顶点上，且三角形DEF的面积为4．连接CF，请直接写出线段CF的长. 【答案】（1）画图略；（2）CF=. 【解析】 【分析】(1)根据题意画图即可； （2）根据题意画图，利用勾股定理求出线段长度即可. 【详解】解：（1）如图所示：等腰直角三角形ABC为所求； （2）如图所示：等腰三角形DEF为所求； 根据勾股定理可得：CF= 【点睛】本题考查了根据条件画图形，审清题意是解题的关键. 23. 如图，已知正比例函数 经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）点P在x轴上，使的面积为5，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点 的坐标有两个． （1）根据题意求得点的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得 ，然后根据坐标与图形的性质求得点 的坐标． 【小问1详解】 点的横坐标为3，且的面积为3 点的纵坐标为，点的坐标为， 正比例函数 经过点， 解得， 正比例函数的解析式是； 【小问2详解】 的面积为5，点的坐标为， ∴ ， 点 的坐标为或． 24. 在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF． （1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形； （2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）． 【答案】 （1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠EDC， ∵E是AC中点， ∴AE＝EC， 在△AEF和△CED中， ， ∴△AEF≌△CED， ∴EF＝DE，∵AE＝EC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF是矩形． （2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形． （2）根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定即可找出图中的所有平行四边形． 【详解】（1）略 （2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC， ∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC， ∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 25. 绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元． （1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元； （2）绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？ 【答案】（1）每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元 （2）该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料 【解析】 【分析】（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，根据题意，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可； （2）设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，则可以购买盒B种型号的颜料，根据总费用不超过3920元，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元． 根据题意得， 解得 ∴每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元． 【小问2详解】 解：设该中学可以购买a盒A种型号的颜料， 根据题意得 解得 ∴该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，关键是（1）根据题意找出对应关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系正确列出一元一次不等式． 26. 在中， 为边 上一点，于点 ，交 于点，平分 交于点 ，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，点 与点 关于直线对称，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由角平分线得出，进而由三角形全等的判定定理判断出 ，由全等三角形性质即可得出 ； （2）先判断出，再由等角的余角相等得出 ，再由折叠的性质得出即可判断出结论； （3）先判断出得出，，进而判断出得出，得出 ，最后用勾股定理求出即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵ 的角平分线交于点 ， ， 在和中， ， ∴， ； 【小问2详解】 证明：如图2所示： 同（1）可证，， ， ∵， ， ∵， ， ∵， ， ， ， 由对称得， ； 【小问3详解】 解：连接， ，过 作交于 ，如图3所示： ， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 由对称得 ，，， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， 在 中， ， ，则由勾股定理可得： ． 27. 如图①，在平面直角坐标系中，点A在直线y＝﹣x上，且点A的横坐标为﹣6，直线AB分别交x轴、y轴于点B和点C．点B的坐标为（10，0）． （1）求直线AB的解析式； （2）如图②，点D坐标为（4，8），连接AD、BD，动点P从点A出发，沿线段AD运动．过点P作x轴的垂线，交AB于点Q，连接DQ．设△BDQ的面积为S（S≠0），点P的横坐标为t，求S与t之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，连接PC，若∠CPD+∠OBD＝90°，求t的值． 【答案】（1）y＝﹣x+5；（2）S＝﹣t+25；（3）t＝﹣4 【解析】 【分析】（1）因为A点在直线上，且横坐标为-6，可求得A点坐标，设直线AB的解析式为y=kx+b，将A、B两点的坐标代入，即可求得直线AB的解析式； （2）根据已知条件得到四边形OADB是平行四边形，过A作x轴的垂线，垂足为E，过P作x轴的垂线，垂足为F，交AB与点Q，连接OQ，求得E(﹣6，0)，推出四边形OADB是菱形，且可证≌，故=，求得Q(t，)，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）设AD交y轴于F，连接CD，可证≌，根据全等三角形的性质得到∠AOC＝∠ACD，求得∠CPD＝∠ADC，再证≌，可得PF=DF，故t的值可得． 【详解】解：（1）∵点A在直线，且点A的横坐标为-6，将x=-6代入，求得y=8， ∴A点坐标为(﹣6，8)，且由题意可知B点坐标(10，0)， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴，解得：， ∴直线AB的解析式为：； （2）∵D(4，8)，A(﹣6，8)， ∴AD＝10，且AD∥OB， 又∵B(10，0)，O(0，0)，故OB＝10， ∴四边形OADB是平行四边形（对边平行且相等）， 如图②，过A作x轴的垂线，垂足为E，过P作x轴的垂线，交AB与点Q，垂足为F，连接OQ， ∵A(-6，8)，故E(-6，0)， ∴AE＝8，OE＝6， ∴根据勾股定理，可得， ∴OA＝AD， ∴四边形OADB是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），故BO=BD，菱形对角线平分每组对角，故∠QBD=∠QBF， 在和中， ∴≌（SAS）， ∴=， ∵点P的横坐标为t，∴点Q的横坐标为t， ∵直线AB的解析式为； ∴Q(t，)， ∴QF＝， ∴=＝＝， ∴； （3）在（2）的条件下，四边形OADB是菱形，如图③，设AD交y轴于F，连接CD， 在和中， ∴≌（SAS）， ∴∠AOC＝∠ADC， ∵∠OAD+∠AOC＝90°，∠OAD＝∠OBD， ∴∠OBD+∠AOC＝90°， ∵∠CPD+∠OBD＝90°， ∴∠CPD＝∠AOC， ∴∠CPD＝∠ADC， 又∵AD⊥y轴， ∴∠CFP＝∠CFD＝90°， 在和中， ∴≌（AAS）， ∴PF＝DF， ∵D(4，8)， ∴P(-4，8)， ∴t＝-4． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、菱形的性质、勾股定理、全等三角形的证明及应用、动点问题与函数的结合，该题融合了较多知识点，解题的关键在于找出全等三角形，并应用全等的性质去计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $