精品解析：2024年浙江省初中学业水平考试数学试题（潮汐卷）

浙江省2024年初中学业水平考试数学试题 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷，试题卷共6页，有三个大题，24个小题，满分为120分，考试时长为120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑，涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区城内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式的值等于的相反数的是（ ） A. B. C. D. 2. 2023年杭州亚运会，报名运动员人数达到12500多名，报名规模创历届之最，数12500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个“U”形工件，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 杭州亚运会吉祥物“莲莲”寓意纯洁善良、活泼可爱、热情好客、美丽动人，某亚运会专卖店某周销售吉祥物“莲莲”的个数统计如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 个数 40 45 50 48 45 46 47 这一周该店销售“莲莲”的个数的中位数和众数分别是（ ） A. 45，46 B. 46，45 C. 47，45 D. 46.5，45 6. 不等式的解为（ ） A. B. C. D. 7. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”，即利用的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，如图，的半径为，如用的内接正八边形来近似估计圆的面积，则可得的近似值为．若用的内接正边形的面积估计圆的面积，能得出的近似值为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，是抛物线上不同的两点，当时，的取值范围是，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 10. 如图，已知中，点，，，分别为，，，上的点，且分别与，相交于点，．若，则的面积一定可以表示为（ ） A. B. C. D. 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 4的平方根是_______． 12. 如表是小甬做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖着地”的概率为______． 抛掷次数 100 300 500 600 800 900 1000 针尖着的频数 36 120 190 240 312 351 390 针尖着的频率 0.36 040 0.38 0.4 0.39 0.39 0.39 13. 定义一种新运算：，若，则______． 14. 如图．在中，对角线，交于点，且，平分交的延长线于点，点为的中点．若，，则的长为______． 15. 工地上放置的大型水管，为防止滑动，用直角三角形木塞固定，如图，是水管及木塞的横截面示意图，水管与地面的接触点为，已知，，切于点，，，则这根水管的直径为______． 16. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图①所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，如图②，其中四边形，四边形和四边形都是正方形，连结．若，则正方形与正方形的面积比为______． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 用两种不同的方法计算：．（方法一：运用完全平方公式计算；方法二：运用因式分解计算，两种方法都须做） 18. 科学课中，同学们用如图电路做《探究电流与电压、电阻的关系》的实验，采用控制变量法，发现当U（V）一定时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数关系．小甬所在小组控制电压不变，测得当电阻时，电流． （1）求I与R的函数关系式． （2）调节变阻器，测得电流为，求此时电阻的值． 19. 某种溶液的体积与温度之间的关系在一定范围内符合一次函数关系．现测得一定量的这种溶液在时的体积为，在时的体积为． （1）求该溶液体积与温度的函数关系式，并求当时，该溶液的体积． （2）若用容积为容器来盛这些溶液，为了不使溶液溢出，温度应控制在多少摄氏度内？ 20. 教育部提出了要改进美育教学，某学校准备开设感受美、表现美，鉴赏美，创造美4项艺术课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小甬根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为________，请将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中“创造美”对应的圆心角的度数为_____，若该学校共有学生1200名，请估计参加“感受美”的有多少人？ （3）通过课程学习和初选有4名优秀同学（两男两女）在“创造美”上表现突出，学校将推荐2名同学到市上参加“创造美”比赛．请用画树状图或列表法求出到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率． 21. 【问题背景】某学习小组研究一种手提电脑支架设计的科学性，如Ⅲ-11①所示，它的侧面可视作如图②，为底板，为支撑杆，为电脑托板，分别可绕转动，测得，． 【实验研究】绕支点转动，调节角度，测量数据，数学推算． 任务1：若，，求此时电脑托板的最高点离底板的距离（精确到，）． 【应用研究】为了适应个性化需要，增强舒适度，进行应用研究． 任务2：陈老师工作时习惯于把电脑打开成大于角（如图③，）．现小甬同学为陈老师准备电脑，把电脑展开后发现电脑屏幕垂直于底板，量得，点到底板的距离是，问这样是否符合陈老师的工作习惯？说明理由．（参考数据：，，） 22. 如图，已知，，，以为底在外作腰长为10的等腰． （1）如图①，若，求的长； （2）如图②，若．求的值． 23. 已知二次函数的图象过点． （1）若该函数图象对称轴为直线，求该函数的表达式． （2）在（1）条件下，当时，函数有最小值，求的值． （3）已知，二次函数的图象经过点，，，且，试比较与的大小． 24. 如图①，是的外接圆，，以为边作菱形，点B，E在直线的同侧，与交于点M，连结交于N，交于T． （1）如图②，若点E在上，与交于点F，连结，求证． （2）在（1）的条件下，若，，求的半径． （3）如图①，连结，若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省2024年初中学业水平考试数学试题 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷，试题卷共6页，有三个大题，24个小题，满分为120分，考试时长为120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑，涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区城内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式的值等于的相反数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数的运算、相反数，先得到的相反数是2，再根据绝对值、负整数指数幂、有理数的乘法、算术平方根的运算法则计算各选项的值，进而可得答案． 【详解】解：的相反数2， A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：，不符合题意； D：，符合题意； 故选：D． 2. 2023年杭州亚运会，报名运动员人数达到12500多名，报名规模创历届之最，数12500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此解答即可． 【详解】解：将数12500用科学记数法表示为． 故选：A． 3. 如图是一个“U”形工件，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．找到从上面面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面观察物体可以发现：它的俯视图应为矩形，又因为该几何体的上方为镂空半圆柱体，故中间的两条棱在俯视图中应为实线． 故选：C． 4. 下列各式计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方法则逐项判断即可得． 【详解】A、，此项不符题意； B、，此项不符题意； C、，此项不符题意； D、，此项符合题意； 故选：D． 5. 杭州亚运会吉祥物“莲莲”寓意纯洁善良、活泼可爱、热情好客、美丽动人，某亚运会专卖店某周销售吉祥物“莲莲”的个数统计如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 个数 40 45 50 48 45 46 47 这一周该店销售“莲莲”的个数的中位数和众数分别是（ ） A. 45，46 B. 46，45 C. 47，45 D. 46.5，45 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查众数与中位数的计算，掌握众数与中位数的定义并应用是解题的关键． 根据中位数、众数的定义即可求得． 【详解】观察数据可知，45出现二次，次数最多，故众数为45；将数据从小到大排列为：40，45，45，46，47，48，50，则中位数为46． 故选：B． 6. 不等式的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，去分母，移项，合并，系数化1求出不等式的解集，即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 7. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”，即利用的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，如图，的半径为，如用的内接正八边形来近似估计圆的面积，则可得的近似值为．若用的内接正边形的面积估计圆的面积，能得出的近似值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆的面积，再根据内接正多边形面积与圆面积的关系求出正多边形的边数．本题考查了圆的面积公式，正边形的面积公式，正边形的面积与圆的面积关系，锐角三角函数，掌握正边形的面积与圆的面积关系是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵, ∴， ∵的半径为， ∴，， ∵用的内接正边形的面积估计圆的面积，能得出的近似值为， ∴， ∴解得： 依次代入选项： 当时，， ∴项不符合题意； 当时，， ∵， ∴， ∴项不符合题意； 当 时，， ∴项符合题意； 当时，， ∴项不符合题意； 故选． 8. 如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，连接，延长交于，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ， 在中，， ∵铁夹的剖面图是轴对称图形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：A． 9. 已知点，是抛物线上不同的两点，当时，的取值范围是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的增减性是关键． 依据题意，根据题意求得抛物线的对称轴为直线，即可求得或2时，，由可知，则函数为，然后利用二次函数的增减性即可得到的取值范围． 【详解】解：，是抛物线上不同的两点， ． ． 抛物线． 抛物线开口向上，对称轴为直线， 函数在时有最小值，或2时，． 当时，有， ． 故选：C． 10. 如图，已知中，点，，，分别为，，，上的点，且分别与，相交于点，．若，则的面积一定可以表示为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，平行四边形的判定及性质，解直角三角形，相似形的性质，如图，过点作于点，过点作于点，过作于，设，，，，由可得，，再证，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边，得，，，，进而得，又解直角三角形得，，即得，由，可得，又由三角形函数得，即得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过作于，设，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边， ∴，，，， ∴， ∵于，于， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 如表是小甬做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖着地”的概率为______． 抛掷次数 100 300 500 600 800 900 1000 针尖着的频数 36 120 190 240 312 351 390 针尖着的频率 0.36 0.40 0.38 0.4 0.39 0.39 0.39 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到附近， 所以可估计“钉尖着地”的概率为， 故答案为：． 13. 定义一种新运算：，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，由结合题意得出，解方程即可得出答案，理解题意，正确得出方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图．在中，对角线，交于点，且，平分交的延长线于点，点为的中点．若，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设交于点H，由平行四边形的性质得，则，而，所以，则，由，根据勾股定理求得，进而得到，再证明，得，根据三角形的中位线定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，设交于点H， ∵四边形是平行四边形，对角线交于点O，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点O是的中点，点E是的中点， 是的中位线， ∴， 故答案为：2． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，证明及是解题的关键． 15. 工地上放置的大型水管，为防止滑动，用直角三角形木塞固定，如图，是水管及木塞的横截面示意图，水管与地面的接触点为，已知，，切于点，，，则这根水管的直径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，连接，，过作于，由切于点，切于点，则，则有，证明，设的半径为，根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，过作于， ∵切于点，切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则，得， 则直径为， 故答案为：． 16. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图①所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，如图②，其中四边形，四边形和四边形都是正方形，连结．若，则正方形与正方形的面积比为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，过作于，证明得出，证明，得出．设，，则，，，结合，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，过作于， ， ∵四边形，四边形和四边形都正方形， ∴，， ∵， ∴, ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，，则，，，， ， 解得或（不合题意，舍去）， ∴面积比为16． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 用两种不同的方法计算：．（方法一：运用完全平方公式计算；方法二：运用因式分解计算，两种方法都须做） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，提公因式法进行因式分解等知识．熟练掌握完全平方公式，提公因式法进行因式分解是解题的关键． 根据完全平方公式，提公因式法进行因式分解，求解作答即可． 【详解】解：方法一： ． 方法二： ． 18. 科学课中，同学们用如图电路做《探究电流与电压、电阻的关系》的实验，采用控制变量法，发现当U（V）一定时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数关系．小甬所在小组控制电压不变，测得当电阻时，电流． （1）求I与R的函数关系式． （2）调节变阻器，测得电流为，求此时电阻的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求函数自变量的值等知识．熟练掌握反比例函数的应用，求函数自变量的值是解题的关键． （1）设，将，，代入得，，计算求解，然后作答即可； （2）当时，，计算求解即可． 【小问1详解】 解：设， 将，，代入得，， 解得，， ∴与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴电阻的值为． 19. 某种溶液的体积与温度之间的关系在一定范围内符合一次函数关系．现测得一定量的这种溶液在时的体积为，在时的体积为． （1）求该溶液体积与温度的函数关系式，并求当时，该溶液的体积． （2）若用容积为的容器来盛这些溶液，为了不使溶液溢出，温度应控制在多少摄氏度内？ 【答案】（1）； （2）温度应控制在内 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求出与的函数关系式，将代入函数关系式，计算即可得出答案； （2）将（1）中求得的关系式代入并求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设， 由已知，时，；时，． ， 解得：， ． 当时，， ∴该溶液的体积为． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得． 答：温度应控制在内． 20. 教育部提出了要改进美育教学，某学校准备开设感受美、表现美，鉴赏美，创造美4项艺术课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小甬根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为________，请将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中“创造美”对应的圆心角的度数为_____，若该学校共有学生1200名，请估计参加“感受美”的有多少人？ （3）通过课程学习和初选有4名优秀同学（两男两女）在“创造美”上表现突出，学校将推荐2名同学到市上参加“创造美”比赛．请用画树状图或列表法求出到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率． 【答案】（1）40，补全条形图见解析 （2），420 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率、扇形统计图与条形统计图信息相关联，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件是解题的关键． （1）根据鉴赏美的人数和所占的百分比，得出本次调查的学生人数，即可解决问题；由总人数减去感受美、表现美，鉴赏美的人数即可据此补充完整条形统计图； （2）由创造美的人数除以调查总人数得到创造美所占的百分比，由乘以创造美人数的百分比得对应扇形的圆心角的度数；利用总人数乘以感受美的学生人数对应的比例即可求得； （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的总人数为：（人）， 参加创造美的人数为：（人）， 故补全条形统计图如下图： 【小问2详解】 解：扇形统计图中，创造美占比为：， 故参加创造美对应的圆心角的度数为：， 扇形统计图中，感受美占比为：， 全校参加感受美的有：（人）； 【小问3详解】 解：设4名优秀同学分别为甲（男）、乙（男）、丙（女）、丁（女）， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰为一男一女的结果有8种，所以恰为一男一女的概率为：． 21. 【问题背景】某学习小组研究一种手提电脑支架设计的科学性，如Ⅲ-11①所示，它的侧面可视作如图②，为底板，为支撑杆，为电脑托板，分别可绕转动，测得，． 【实验研究】绕支点转动，调节角度，测量数据，数学推算． 任务1：若，，求此时电脑托板的最高点离底板的距离（精确到，）． 【应用研究】为了适应个性化需要，增强舒适度，进行应用研究． 任务2：陈老师工作时习惯于把电脑打开成大于角（如图③，）．现小甬同学为陈老师准备电脑，把电脑展开后发现电脑屏幕垂直于底板，量得，点到底板的距离是，问这样是否符合陈老师的工作习惯？说明理由．（参考数据：，，） 【答案】任务1：点离底板的距离约为；任务2：不符合陈老师的工作习惯，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、三角形的外角的定义及性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 任务1：过作于，过作于，过作于，在中，解直角三角形得出的长，在中，解直角三角形得出的长，从而得出的长，即可得出答案； 任务2：延长交于，过作于，利用正弦的定义得出的度数，结合平行线的性质以及三角形外角的定义及性质得出的度数，即可得解． 【详解】解：任务1：如图①，过作于，过作于，过作于， 在中，． 在中，， ， 即点离底板的距离约为． 任务2：如图②，延长交于，过作于， 在中，，． ， ， ， 不符合陈老师的工作习惯． 22. 如图，已知，，，以为底在外作腰长为10的等腰． （1）如图①，若，求的长； （2）如图②，若．求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）证明，得到，求解即可； （2）分别作于，作于，设，证明，得到，勾股定理求出的值，再根据，进行求解即可． 【小问1详解】 ， ． ，是以为底的等腰三角形， ∴，， ， ． ， ， ． 【小问2详解】 如图，分别作于，作于，设， 则， ，，． ， ． ， ， ，即，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或， ∵，， 或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键． 23. 已知二次函数图象过点． （1）若该函数图象的对称轴为直线，求该函数的表达式． （2）在（1）的条件下，当时，函数有最小值，求的值． （3）已知，二次函数的图象经过点，，，且，试比较与的大小． 【答案】（1） （2）或 （3）时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用对称轴和点求函数表达式; （2）分和两种情况分类讨论: （3）通过点，，与对称轴之间的距离，比较与的大小. 【小问1详解】 图象过点， ， 函数图象的对称轴为直线， ， 联立得 解得：，， ． 【小问2详解】 解：n和的中点为， 当即，则时，， 解得：或（不合，舍去）， 当即，则时，． 解得：或（不合，舍去）， 综上所述，或． 【小问3详解】 二次函数的图象过点， ，即， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ，且， ，又 当，即时，； 当时，； 当时，． 24. 如图①，是的外接圆，，以为边作菱形，点B，E在直线的同侧，与交于点M，连结交于N，交于T． （1）如图②，若点E在上，与交于点F，连结，求证． （2）在（1）的条件下，若，，求的半径． （3）如图①，连结，若，，求值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质即可得证； （2）连接，，连接并延长交于H，根据，得到为=的直径，根据圆周角定理求出，设的半径为r，利用勾股定理即可解答； （3）连接，，过B作于K，设，证明，列出比例式，求出，，设，则，设，则，根据，代入数值，得到①，延长交的延长线于点G，②，由①得③，由②得④，求解即可． 【小问1详解】 证明：菱形， ，， ． ， ． 【小问2详解】 解：如图①，连结，，连结并延长交于， ， 为的直径． ，， ， ，， ， ． 设的半径为，则， 解得：． 【小问3详解】 解：如图②，连结，，过B作于K，设， ，． ， ． 同理可得：， ． ， ． ， ， ． 同理． 为直径， ， 而． ， ，． 设，则，设，则． ， ，① 延长交的延长线于点，则， 在中，，，，则， 即，② 由①得：，③ 由②得：，④ 得：，代入③得：， ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，主要考查勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$