精品解析：江苏省泰州市兴化市五校联考2022-2023学年九年级上学期第一次独立作业数学试题

2022年秋学期初三年级数学 第一次独立作业 一、选择题（3*6分） 1. 下列图形中的角，是圆心角的为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； B、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； C、是圆心角，故本选项符合题意； D、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦，有4条 B. 长度相等的弧是等弧 C. 如果的周长是周长的4倍，那么的面积是面积的8倍 D. 已知的半径为8，A为平面内的一点，且，那么点A在上 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的相关概念解答即可. 【详解】解：A.直径是圆中最长的弦，有无数条,故该选项不符合题意； B.在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意； C.如果的周长是周长的4倍,那么的面积是面积的16倍,故该选项不符合题意； D.已知的半径为8，A为平面内的一点，且OA=8，那么点A在上，故该选项符合题意. 故选：D . 【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解答本题的关键. 3. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 4. 方程是关于x的一元二次方程，则（　　） A. m＝﹣1或3 B. m＝3 C. m＝﹣1 D. m≠﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次放程”，再根据二次项系数不等于0，即可求解． 【详解】∵是关于x的一元二次方程， ∴，解得：m=3或m=-1， ∵m+1≠0，即m≠-1， ∴m=3， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．注意：一元二次方程二次项系数不等于0． 5. 如图，是的内接三角形，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据是的内接三角形，可得OA=OC，从而得到∠ACO=∠OAC=20°，进而得到∠AOC=140°，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵是的内接三角形， ∴OA=OC， ∴∠ACO=∠OAC=20°， ∴∠AOC=180°-∠OAC-∠ACO=140°， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半是解题的关键． 6. 如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案． 【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆 ∵四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上 连接OB交圆O与点N ∵点B为圆O外一点 ∴当直线BM过圆心O时，BM最短 ∵， ∴ ∴ ∵ 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识． 二、填空（3*10分） 7. 一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】直接利用旋转图形的性质结合正多边形中心角相等进而得到答案 【详解】∵一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合 ∴ n的值为： 故答案为：10 【点睛】本题主要考查了旋转对称图形，正确把握正多边形的性质是解题关键． 8. 中，弦的长恰等于半径，则弦对圆心角是________度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定和性质． 先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦所对的圆心角． 【详解】解：如图，， 为等边三角形， ， 故答案为：60． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点．则经画图操作可知：的外心坐标应是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用． 首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心. 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的交点即为所求的的外心， 的外心坐标是， 故答案为：． 10. 直线l上的一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆的位置关系是____________． 【答案】相交或相切 【解析】 【分析】此题考查直线与圆的关系，注意：直线上一点到圆心的距离不一定是圆心到直线的距离．若直线上一点到圆心的距离等于圆的半径，则园心到直线的距离等于或小于圆的半径，此时直线和圆相交或相切． 【详解】解：圆心到直线的距离等于或小于圆的半径， 直线和圆相交或相切． 故答案为：相交或相切． 11. 美国有一人感染新冠肺炎，经过两轮传染后共有100个人感染，那么每轮传染中，平均一个人感染x人，可列方程为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】由每轮传染中平均一个人感染人，可得出第一轮传染有人被传染，第二轮传染有人被传染，结合经过两轮传染后共有100个人感染，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：每轮传染中平均一个人感染人， 第一轮传染有人被传染，第二轮传染有人被传染． 依题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则________ 【答案】##80度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，平角的定义，熟知圆内接四边形对角互补是解题的关键． 13. 如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PCD的周长等于 _____． 【答案】 【解析】 【分析】连接OA，OB，OP，根据切线的性质以及角平分线的判定得出PO是∠APB的角平分线，利用勾股定理求出PA的长，再根据切线长定理得出AC＝CE，BD＝DE，即可求解． 【详解】解：如图，连接OA，OB，OP， ∵PA，PB切⊙O于A，B两点，OA，OB是半径， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，且OA＝OB， ∴PO是∠APB的平分线， ∵∠APB＝60°， ∴∠APO＝30°， ∴OP＝2OA＝4， 在Rt△APO中，由勾股定理得AP＝， ∵PA，PB切⊙O于A，B两点， ∴PA＝PB＝， ∵CD切⊙O于点E， ∴AC＝CE，BD＝DE， ∴△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线性质，角平分线的判定，勾股定理，切线长定理等知识，熟练掌握切线的性质以及角平分线的判定是解题的关键． 14. 如图，在⊙O内有折线ABCO，点A、B在圆上，点C在⊙O内，其中AB=9，OC=3，∠B=∠C=60°，则BC的长为_____. 【答案】6 【解析】 【分析】延长CO交AB于点D，过点O作OE⊥AB垂足为E，设OD=x，根据BD=CD，用含x的代数式具体化，求解即可． 【详解】延长CO交AB于点D，过点O作OE⊥AB垂足为E， 因为∠B=∠C=60°， 所以∠BDC=60°， 所以△BDC是等边三角形， 所以BC=BD=CD，∠DOE=30°． 因为OE⊥AB，AB=9， 所以BE=AE=4.5． 设OD=x，OC=3 所以DE= ，BD=4.5+，CD=OC+DO=x+3， 所以4.5+=x+3， 解得x=3， 所以BC=CD=OC+OD=3+3=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理和等边三角形的性质是解题的关键． 15. 为内接三角形，若，则 _____________ 【答案】或 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴的度数为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．注意数形结合思想与分类讨论思想的应用． 16. 如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为4，点C是OB中点，点D是弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明△ECM≌△DCO（SAS），得到EM＝OD＝4，点E在以点M为圆心，半径为4的圆上，当A、E、M三点共线时，AE取最小值AM－EM，过点M作MN⊥AO交AO的延长线于点N，证明四边形COMN是正方形，得到MN＝OC＝ON＝2，用勾股定理求出AM，得到答案． 【详解】解：过点C作MC⊥OB，且使得CM＝OC，连接EM，OD，则∠OCM＝90°， ∵点C是OB中点， ∴OC＝BC＝OB＝2， ∴CM＝OC＝2， ∵CD绕点C逆时针旋转90°得到CE， ∴CD＝CE，∠DCE＝90°， ∴∠OCM＝∠DCE， ∴∠OCM＋∠OCE＝∠DCE＋∠OCE， ∴∠ECM＝∠DCO， 在△ECM和△DCO中， ， ∴△ECM≌△DCO（SAS）， ∴EM＝OD＝4， ∴点E在以点M为圆心，半径为4的圆上， ∴当A、E、M三点共线时，AE取最小值， 作M作MN⊥AO交AO的延长线于点N， ∴∠MNO＝∠MCO＝∠CON＝90°， ∴四边形COMN是矩形， ∵CM＝OC， ∴四边形COMN是正方形， ∴MN＝OC＝ON＝2， ∴AN＝AO＋ON＝6， ∴AM＝， ∴AE的最小值为AM－EM＝， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了圆的基本性质、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，构造辅助圆是解决此题的关键． 三．解答题 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）x1=4，x2=0； （2）x1=5，x2=-1． 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解方程； （2）利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解． 【小问1详解】 解：（x-2）2-4=0， ∴（x-2）2=4， ∴x-2=±2， ∴x=2±2， ∴x1=4，x2=0； 【小问2详解】 解：x2-4x-5=0． ∴（x-5）（x+1）=0， ∴x1=5，x2=-1． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法和直接开平方法是解题的关键． 18. 已知：如图，⊙O中弦．求证：AD=BC． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到，从而得到，再由等弧所对的弦相等即可得到． 【详解】证明：∵AB=CD， ∴， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了弧与弦之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握等弦所对的劣弧相等，等弧所对的弦相等． 19. 关于的一元二次方程为 (1)求证:无论为何实数，方程总有实数根; (2) 为何整数时，此方程的两个根都为正数. 【答案】（1）为任何实数方程总有实数根；（2）. 【解析】 【分析】（1）表示出根的判别式，得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系列出方程，结合题目条件求解即可. 【详解】（1） ∴为任何实数方程总有实数根． （2）设方程两根为，，则 由题可得， ∴或 ∴ ∵是整数，∴ 【点睛】此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 20. 如图，是⊙O的直径，点D是延长线上的一点，与相切于点C．连接，． （1）求证：； （2）若，的半径为2，求线段的长． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是切线的性质以及圆的基本性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据是的直径，得到，根据，证明； （2）根据，半径为2，求出，进而求出． 【小问1详解】 证明：连接， 是的切线， ，即， 是的直径， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：在中，，， ， ， 21. 如图，在中，． （1）作的平分线交边于点O，再以点O为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）判断（1）中与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）与相切，理由见详解 【解析】 【分析】(1)首先利用角平分线的作法得出，进而以点O为圆心，为半径作即可； (2)利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可． 此题考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出是解题关键. 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：相切；过O点作于D点； 平分， ，即， 与直线相切． 22. 2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”． （1）据市场调研发现，江西某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增加20%，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？ （2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利44元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1600元，每个应降价多少元？ 【答案】（1）720个 （2）每天要盈利1600元，每个应降价4元 【解析】 【分析】（1）先根据增长率求出3月份生产量，再求4月份的生产量即可； （2）关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）=1600，列出一元二次方程，求解并进行判断即可． 【小问1详解】 3月份的产量为：（个） 4月份的产量为：（个） 【小问2详解】 设每个“冰墩墩”降价x元（x≤10），则每天可多售5x件．根据题意得， 整理得， 解得， ∵ ∴ 所以，如果每天要盈利1600元，每个应降价4元 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 23. 如图，在△AEF中，点O是AF上的一点，以点O为圆心，AO为半径的⊙O与△AEF的三边分别交于点B、C、D． 给出下列信息：①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；③直线EF是⊙O的切线 ． （1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由 ． （2）在（1）的情况下，若AO＝2，DF＝，求BF的长 ． 【答案】（1）①②，③（答案不唯一）理由见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质与判定任选2个作为条件，剩下的一个作为结论； （2）连接，直角三角形ODF中利用勾股定理得，即可求解． 【小问1详解】 解：选择条件是①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；结论是③直线EF是⊙O的切线．理由如下， 连接， AD平分∠EAF； ， ， ， ， ， ， ， ， 直线EF是⊙O的切线． 故答案为：①②，③ 选择条件是①AD平分∠EAF；③直线EF是⊙O的切线；结论是②∠AEF＝90°．理由如下， 连接， AD平分∠EAF； ， ， ， ， ， 直线EF是⊙O的切线． ， ， ， 选择条件是②∠AEF＝90°；③直线EF是⊙O的切线；结论是①AD平分∠EAF．理由如下， 连接，直线EF是⊙O的切线，， ，， ， ， ， ， ， AD平分∠EAF； 【小问2详解】 连接，直线EF是⊙O的切线， ， 在直角三角形ODF中，由勾股定理得， AO＝2，DF＝， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键． 24. 如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E． （1）求证：EB=EI； （2）若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长． 【答案】（1）见解析 （2）AI=4 【解析】 【分析】（1）欲证明EB=EI，只要证明∠EBI=∠EIB； （2）连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，证明△AEM≌△AEN和△BME≌△CNE，再利用勾股定理计算即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵I是△ABC的内心， ∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC， ∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI， ∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD， ∵∠CBE=∠CAE， ∴∠BIE=∠EBI， ∴EB=EI； 【小问2详解】 解：连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，则EM=EN， ∵∠BAE=∠CAE， ∴=， ∴BE=EC=4． ∵AE=AE，EM=EN， ∴△AEM≌△AEN， ∴AM=AN． ∵BE=EC，EM=EN， △BME≌△CNE(HL)， ∴BM=CN． 设BM为x，则8-x=6+x，解得x=1，即BM=1， ∴AM=7． 又∵BE=4，由勾股定理得，EM==． ∴AE==8， ∵EI=BE=4， ∴AI=AE−EI=4． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 25. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米， （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米是否要采取紧急措施？ 【答案】（1）米 （2）不需要采取紧急措施，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论． 【小问1详解】 连接， 由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 解得，； 【小问2详解】 连接， ， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：． ． ， 不需要采取紧急措施． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 26. 问题提出： （1）如图1，已知是边长为2的等边三角形，则的面积为___________． 问题探究： （2）如图2，在中，已知，，求的最大面积． 问题解决： （3）如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角．请你通过所学的知识进行分析，在墙面区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，的长度为8米或12米 【解析】 【分析】（1）过作于，根据已知算出的长，即可求出面积； （2）作的外接圆，当点在的中点时，最大，根据题意，此时是等腰 三角形，，，根据锐角三角函数求得的长，进而求出的最大 面积； （3）存在，如图③，以为斜边作等腰，使得，再以点为圆心， 长为半径作圆，过作于，延长交于点，根据圆周角定理得出 ，根据等腰直角三角形的性质，求出，算出的半径，算出的长与比较 得出此时的顶点在矩形的边的外侧，与有两个交点，故在上存在 点，满足，再根据勾股定理算出的长，进而得到结论． 【小问1详解】 解：如图①：过作于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 如图②，作的外接圆，当点在的中点时，最大， 根据题意，此时是等腰三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 存在，如图③，以为斜边作等腰，使得，再以点为圆心，长为半径作圆，过作于，延长交于点， ∵， ∴， ∵在等腰中，米，， ∴米， ∴的半径米， ∴米， ∵米， ∴， ∴此时的顶点在矩形的边的外侧， ∴与有两个交点，故在上存在点，满足． 记与的两个交点为，，过点作于，过点作于，因此，，连接， ∵ ，， ∴（米）， ∵在中，米， ∴（米）， ∴（米）， 同理（米）， ∴在墙面区域上存在点满足，且的长度为8米或12米． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆心角与圆周角的关系，这是一道几何综合题，学会灵活运用所学知识解决问题是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022年秋学期初三年级数学 第一次独立作业 一、选择题（3*6分） 1. 下列图形中的角，是圆心角的为（ ） A B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦，有4条 B. 长度相等的弧是等弧 C. 如果的周长是周长的4倍，那么的面积是面积的8倍 D. 已知的半径为8，A为平面内的一点，且，那么点A在上 3. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 方程是关于x一元二次方程，则（　　） A. m＝﹣1或3 B. m＝3 C. m＝﹣1 D. m≠﹣1 5. 如图，是的内接三角形，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空（3*10分） 7. 一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n的值为______． 8. 中，弦的长恰等于半径，则弦对圆心角是________度． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点．则经画图操作可知：的外心坐标应是_______． 10. 直线l上的一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆的位置关系是____________． 11. 美国有一人感染新冠肺炎，经过两轮传染后共有100个人感染，那么每轮传染中，平均一个人感染x人，可列方程为____________________． 12. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则________ 13. 如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若⊙O半径为2，∠P＝60°，则△PCD的周长等于 _____． 14. 如图，在⊙O内有折线ABCO，点A、B在圆上，点C在⊙O内，其中AB=9，OC=3，∠B=∠C=60°，则BC的长为_____. 15. 为的内接三角形，若，则 _____________ 16. 如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为4，点C是OB中点，点D是弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是________． 三．解答题 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知：如图，⊙O中弦．求证：AD=BC． 19. 关于的一元二次方程为 (1)求证:无论为何实数，方程总有实数根; (2) 为何整数时，此方程的两个根都为正数. 20. 如图，是⊙O的直径，点D是延长线上的一点，与相切于点C．连接，． （1）求证：； （2）若，的半径为2，求线段的长． 21. 如图，在中，． （1）作的平分线交边于点O，再以点O为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）判断（1）中与的位置关系，并说明理由． 22. 2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”． （1）据市场调研发现，江西某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增加20%，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？ （2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利44元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1600元，每个应降价多少元？ 23. 如图，在△AEF中，点O是AF上的一点，以点O为圆心，AO为半径的⊙O与△AEF的三边分别交于点B、C、D． 给出下列信息：①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；③直线EF是⊙O的切线 ． （1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由 ． （2）在（1）的情况下，若AO＝2，DF＝，求BF的长 ． 24. 如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E． （1）求证：EB=EI； （2）若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长． 25. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它跨度米，拱高米， （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米是否要采取紧急措施？ 26. 问题提出： （1）如图1，已知是边长为2的等边三角形，则的面积为___________． 问题探究： （2）如图2，在中，已知，，求的最大面积． 问题解决： （3）如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角．请你通过所学的知识进行分析，在墙面区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$