精品解析：陕西省西安市莲湖区2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题

高二数学期中考试质量监测 注意事项： 1．答题前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（ ） A. 9 B. 20 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理即可计算． 【详解】因为每名同学都有4种选择， 所以由分步乘法计数原理可知不同选法的种数为：． 故选：D. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用导数几何意义去求切线方程即可. 【详解】由，得， 所以该曲线在点处的切线斜率为， 故所求切线方程为， 即． 故选：C. 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义及极限的相关计算计算可得. 【详解】因为，即， 所以. 故选：C 4. 被8除所得的余数为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】借助二项式的展开式计算即可得. 【详解】 ， 因为能被8整除， 所以被8除所得的余数为1． 故选：A. 5. 在高台跳水运动中，某运动员在（单位：秒）时的重心相对于水面的高度（单位：米）满足关系式，当时，的平均变化率是米/秒，则当时的瞬时变化率是（ ） A. 米/秒 B. 15米/秒 C. 米/秒 D. 25米/秒 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平均变化率得，求导函数，利用导数定义求解瞬时变化率. 【详解】由题意可得，解得，则， 从而，故. 故选：C 6. 从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（ ） A. 60种 B. 80种 C. 90种 D. 150种 【答案】B 【解析】 【分析】分甲被选中和甲没被选中两种情况，结合排列数公式即可求解. 【详解】当甲被选中时，不同的选派方案有种； 甲没被选中时，不同的选派方案有种. 故满足条件的不同的选派方案有种. 故选：B. 7. 已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由导数的几何意义结合函数图象即可求解. 【详解】由导数的几何意义可知，表示曲线在处的切线斜率， 表示曲线在处的切线斜率， 表示，两点连线的斜率， 由图可知，当从0变化到1时，切线斜率越来越大， 所以，对比选项可知，D正确. 故选：D. 8. 在的展开式中，形如的所有项的系数之和是（ ） A. 256 B. C. 1512 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二项式定理求解即可. 【详解】形如的所有项，即展开式中所有项， 令，得的所有项的系数之和是， 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数求导正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的运算法则及简单复合函数的导数计算规则计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为，，所以，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：BC 10. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令求出，即可求出，从而判断A；利用赋值法判断B；写出展开式的通项，即可判断C；令，则，设，求导，再利用赋值法计算即可判断D. 【详解】令，得，解得，故A正确； 所以， 令，得， 令，得， 所以，故B正确； 展开式的第项（且）， 所以，故C错误； 令，则， 设， 则， 令，得， 又， 所以 ，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知不等式进行常变量分离，得到，观察分母，联想不等式，结合指数的运算性质进行放缩进行求解即可.. 【详解】由题意可得， 则. 设，则. 由，得，由，得，则在上单调递减， 在上单调递增，故，即. 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 则，故. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题的关键是常变量分离后，利用不等式和指数的运算性质进行放缩. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算即得. 【详解】根据分类加法计数原理，不同的取法种数为． 故答案为：10 13. 已知函数，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】求导，代入，可求导，进一步可得函数表达式，从而代入即可得解. 【详解】因为，所以，则，解得， 则，故. 故答案为：3. 14. 某校开设美术、篮球、足球和象棋兴趣班，其中美术兴趣班有4个，篮球兴趣班有5个，足球兴趣班有2个，象棋兴趣班有3个.已知该校的学生小明报名参加其中的两种兴趣班，且至少参加了一种球类的兴趣班，则小明参加兴趣班的不同方案有______种. 【答案】59 【解析】 【分析】小明至少参加了一种球类的兴趣班，分为小明参加了两种球类的兴趣班和小明参加了一种球类的兴趣班两种情况，根据分类加法计数原理计算即可. 【详解】第一种情况：小明参加了足球兴趣班和篮球兴趣班，共有种方案. 第二种情况：小明只参加了一种球类兴趣班， 则小明参加的另一种兴趣班为美术或象棋中的一种， 共有种方案. 故小明参加兴趣班的不同方案有种. 故答案为：59. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种产品的加工需要经过6道工序． （1）若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? （2）若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? （3）若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序? 【答案】（1）288； （2）144； （3）144. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （2）根据给定条件，利用相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （3）根据给定条件，利用不相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. 【小问1详解】 先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面，有种不同的排法， 再将其余的4道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序． 【小问2详解】 先排这3道工序，有种不同的排法， 再将它们看作一个整体，与其余的3道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. 【小问3详解】 先排其余的3道工序，有种不同的排法，有4个空档， 再将这3道工序插入空档，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. 16. 已知函数在定义域内不单调， （1）求a的取值范围； （2）若，求在上的值域． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由在上有零点求出的范围. （2）利用导数求出函数上的最大值和最小值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 由在内不单调，得关于x的方程在内有根，则，即， 所以a的取值范围是. 【小问2详解】 由及（1）知，得， 由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，而， 所以在上的值域为． 17. 已知． （1）求； （2）指出，，，⋯，中最大的项． 【答案】（1）-513 （2） 【解析】 【分析】（1）直接由赋值法即可求解； （2）将问题转换为判断展开式的系数谁最大，由不等式法即可求解. 【小问1详解】 令，得， 令，得， 所以； 【小问2详解】 判断中谁最大即判断展开式的系数谁最大． 展开式的通项， 由，得，因为，所以或6． 故中最大的项为． 18. 已知函数在处取得极值． （1）求的值； （2）求经过点与曲线相切的切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意由点在函数上和极值点处导函数为零即解出即可； （2）设切点为，由导数的意义可得切线的斜率为，然后由切点在曲线上和切线上以及切线经过点建立方程组，解出切点坐标，最后有点斜式写出切线方程. 【小问1详解】 由题意可得，① ， 所以，② 由①②解得， 经验证，当时，在左右异号，成立. 【小问2详解】 设切点为，则，① 由导数的意义可得切线的斜率为， 由点斜式可得切线方程为， 又点在切线上，所以，② 联立①②，化简消去可得， 解得或1， 代入函数可得切点为， 当时，， 此时切线方程为，即； 当时，， 此时切线方程为，即， 综上，经过点与曲线相切的切线方程为或. 【点睛】方法点睛：本题第二问为求过点的切线，（区别与在点的切线），设出切点，利用导数的意义求出切线的斜率，再由切点在切线和曲线上以及切线过定点联立解出切点坐标，求出斜率，写出切线方程. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：方程至多只有一个实数解． 【答案】（1）当时，在上单调递增；在上单调递减；当时，在R上是减函数；当时，在上单调递增，在上单调递减； （2） （3） 设， 则， ①当时，恒成立，令得， 则时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以， 此时函数无零点，即方程无实根； ②当时，令得，， （i）当时，恒成立，所以在上单调递增， 又，此时函数有唯一的零点， 即方程唯一的根； （ii）当时，， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 则函数在区间上无零点，在上至多只有一个零点， 所以方程至多只有一个实数解； （iii）当时，， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 则函数在区间上无零点，在上至多只有一个零点， 故至多只有一个实数解； 综上，方程至多只有一个实数解. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导函数的范围确定原函数的单调性； （2）根据（1）中函数单调性，确定函数的最值，即可得结论； （3）设函数，求导确定函数的单调性，从而可函数的取值请况. 【小问1详解】 因为函数，， 所以， 当时，，单调递减； 当时，由，得，解得，单调递增； 由，得，解得，单调递减； 当时，由，得无解； 由，得恒成立，单调递减；； 当时，，单调递减； 当时，由，得，解得； 由，得，解得， 综上：当时，在上单调递增；在上单调递减； 当时，在R上是减函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 当时，由于，故不满足恒成立； 当时，单调递减，又，故不满足恒成立； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 要使得恒成立，则， 即， 所以，解得， 综上，实数的取值范围为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期中考试质量监测 注意事项： 1．答题前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（ ） A. 9 B. 20 C. D. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 被8除所得的余数为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 5 5. 在高台跳水运动中，某运动员在（单位：秒）时的重心相对于水面的高度（单位：米）满足关系式，当时，的平均变化率是米/秒，则当时的瞬时变化率是（ ） A. 米/秒 B. 15米/秒 C. 米/秒 D. 25米/秒 6. 从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（ ） A. 60种 B. 80种 C. 90种 D. 150种 7. 已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 在的展开式中，形如的所有项的系数之和是（ ） A. 256 B. C. 1512 D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数求导正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为______． 13. 已知函数，则______. 14. 某校开设美术、篮球、足球和象棋兴趣班，其中美术兴趣班有4个，篮球兴趣班有5个，足球兴趣班有2个，象棋兴趣班有3个.已知该校的学生小明报名参加其中的两种兴趣班，且至少参加了一种球类的兴趣班，则小明参加兴趣班的不同方案有______种. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种产品的加工需要经过6道工序． （1）若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? （2）若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? （3）若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序? 16. 已知函数在定义域内不单调， （1）求a的取值范围； （2）若，求在上的值域． 17. 已知． （1）求； （2）指出，，，⋯，中最大的项． 18. 已知函数在处取得极值． （1）求的值； （2）求经过点与曲线相切的切线方程． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：方程至多只有一个实数解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $