精品解析：黑龙江省大庆市东传高级中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

东传高中2024秋季学期高二开学考试 数学试题 一、单选题（每题5分，40分） 1. 在空间四边形ABCD中，，顺次连接它的各边中点E、F、G、H，所得四边形EFGH的形状是　　 A. 梯形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形，可证明其是一个菱形． 【详解】如图所示，空间四边形ABCD中，连接AC，BD可得一个三棱锥， 将四个中点连接，得到四边形EFGH，由中位线的性质知， EH∥FG，EF∥HG；∴四边形EFGH是平行四边形， 又AC=BD，∴HG=AC=BD=EH，∴四边形EFGH是菱形． 故选D． 【点睛】本题考查了空间中直线与直线位置关系的应用问题，也考查了线线平行、中位线的性质应用问题，是基础题． 2. 已知，且，则等于（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直得出其数量积为0，即可根据向量的模长求法得出答案. 【详解】， ， ， 故选：A. 3. 在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由求出，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理可得. 因为，所以，所以，又， 所以或， 又因为，所以，故为等边三角形. 故选：C 4. 函数（A＞0，，）的部分图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图像计算出，和，即可求出的值. 【详解】由题意及图象知，， 最小正周期， ∴． 又， ∴， ∴，， ∴，，又， ∴， ∴， 故选：B． 5. 已知集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】由集合，则，故选：C. 6. 在正方体中，为的中点，为侧面的中心为棱上任意一点，则异面直线与所成的角等于 A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，在正方体中，根据线面垂直的判定定理可得平面，进而得到，即可得到答案. 【详解】如图所示，取的中点，正方体中，M为AD的中点，O为侧面的中心，P为上任意点， 故，且平面，所以, 又由，可得， 根据线面垂直的判定定理可得平面， 又由平面，所以， 所以直线与所成的角为，故选A. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，以及线面垂直的判定定理的应用，其中解答中根据正方体的结构特征，利用线面垂直的判定定理证得平面是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 7. 虚数z满足，则z的虚部为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数相等可得①，②，即可将选项中的值代入验证.或者利用因式分解求解。 【详解】解法一：设复数, 则，化简得， 故，即①，② 此时，对于选项中的值，代入： 若，则，符合要求， 若，由②得，但不符合①，故舍去， 若，由②得，但不符合①，故舍去， 若，由②得，但不符合①，故舍去， 综上可得 故选：A 解法二：由可得， 故，故或， 由于为虚数，故， 故虚部为1， 故选：A 8. 给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； ③若与同向，且，则>； ④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线． 其中假命题的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线定义判断①；根据向量相等的定义和平行四边形的定义判断②；根据两向量不能比较大小判断③；举反例否定④. 【详解】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线； ②正确．∵＝，∴||＝||且； 又∵是不共线的四点，∴四边形是平行四边形． 反之，若四边形是平行四边形， 则且与方向相同，因此＝； ③不正确．两向量不能比较大小． ④不正确．当时，与可以为任意向量， 满足λ＝μ，但与不一定共线． 故选：. 二、多选题（每题6分，18分） 9. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（ ） A. M与N互斥 B. C. M与N相互独立 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断C；根据古典概型的计算公式即可判断B；根据对立事件的概率公式结合交事件的概率公式即可判断D. 【详解】解：由题意，第一枚骰子的点数与第二枚骰子的点数互不影响， 故事件与事件为相互独立事件，故A错误，C正确； ，故B正确； ，故D正确. 故选：BCD. 10. 以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积为（ ） A. 64π cm2 B. 96π cm2 C. 168π cm2 D. 224π cm2 【答案】CD 【解析】 【分析】分以长所在的直线为旋转轴和以宽所在的直线为旋转轴两种情况求解即可. 【详解】当以长所在的直线为旋转轴时，则得到的圆柱的表面积为 cm2， 当以宽所在的直线为旋转轴时，则得到的圆柱的表面积为 cm2， 故选：CD 11. 甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为： 甲 68 71 72 72 82 乙 66 70 72 78 79 则（ ） A. 甲组数据的极差小于乙组数据的极差 B. 甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数 C. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D. 甲组数据的第60百分位数等于乙组数据的第60百分位数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知数据求出甲与乙的极差、平均数、方差、第60百分位数，比较，即可得出答案. 【详解】对于A项， 由已知可得，甲组数据的极差为， 乙组数据的极差为，故A项错误； 对于B项， 由已知可得，甲组数据的平均数为， 乙组数据的平均数为，故B项正确； 对于C项， 由已知可得，甲组数据的方差为， 乙组数据的方差为，故C项正确； 对于D项， 因为， 所以，甲组数据的第60百分位数为， 乙组数据的第60百分位数为，故D项错误. 故选：BC. 三、填空题（每题5分，40分） 12. 已知一个多面体的三视图如图所示：其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三视图分析该多面体的结构特征，并把该多面体补形成正方体，利用正方体的结构特征求外接球的半径和表面积. 【详解】由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，高等于1，其底面是边长为1的正方形， 将四棱锥补形成正方体，可知四棱锥的外接球即是棱长为1的正方体的外接球， 则外接球的直径为，所以外接球的表面积. 故答案为：. 13. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为，那么这个三棱柱的侧面积为________，二面角的正弦值为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由球的体积可求出球的半径，即可得出正三棱柱的高与底面正三角形的边长，即可求出三棱柱的侧面积与二面角的正弦值. 【详解】设球的半径为r，则，解得r＝2， 所以正三棱柱的高为2r＝4． 又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等， 设底面正三角形的边长为，则，解得， 所以正三棱柱的侧面积， 取中点为,连接. 因为、、平面、平面 所以平面，平面 所以 所以二面角的平面角为. 在中： 在中： 所以二面角的正弦值为. 故答案为：；. 14. 样本数据24，8，35，23，7，10，11，30的60%分位数为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】将样本数据从小到大排列为 其中，所以分位数为从小到大排列的第5个数，即为， 故答案为： 四、解答题 15. 写出函数的定义域、最小正周期、单调区间、对称中心． 【答案】定义域，周期，在递增，无递减区间，对称中心. 【解析】 【分析】由，可求得其定义域，利用整体思想结合正切函数的周期性、单调性及对称性可求得其最小正周期、单调区间、对称中心； 【详解】解：由，得：，． 所以，其定义域为； 由得：其最小正周期； 由，得：，． 所以，函数的单调递增区间为，．无递减区间； 由得：，． 所以的对称中心为； 16. 某市司法部门为了宣传《中华人民共和国宪法》举办法律知识问答活动，从该市岁的人群中随机抽取一个容量为的样本，并将样本按年龄分成五组：、、、、，再将其按从左到右的顺序分别编号为第组，第组，，第组，绘制了样本的频率分布直方图．对回答问题的情况进行统计后，结果如下表所示． 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例 第组 第组 第组 第组 第组 （1）分别求出、的值； （2）从第、、组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人，则第、、组各应抽取多少人？ （3）根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数． 【答案】（1）； （2）第、、组各应抽取人、人、人 （3） 【解析】 【分析】（1）利用每组的频数、频率与总人数之间的关系可求得、的值； （2）计算出第、、组回答正确的人数之比，结合分层抽样可求得第、、组各应抽取的人数； （3）利用中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值. 【小问1详解】 解：第组人数为，所以． 第组频率为，人数为，所以． 第组人数为，所以． 【小问2详解】 解：第、、组回答正确的人数的比为， 从第、、组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人，则从第、、组各应抽取人、人、人． 【小问3详解】 解：设中位数为，前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为，所以，中位数在内， 由，可得． 所以抽取的样本数据的中位数约为． 17. 如图，平面，四边形为矩形，且为的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的正切值； （3）探究在上是否存在点，使得∥平面，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）为中点时，∥平面 【解析】 【分析】（1）根据线面角的几何法即可利用线面垂直求解， （2）利用垂直关系求解二面角的平面角，由三角形的边角关系即可求解， （3）利用线线平行即可求证线面平行. 【小问1详解】 取中点为，连接, 由于四边形为矩形， 分别为中点，所以, 由于平面，平面,所以平面平面， 又平面平面,平面, 所以平面,故为直线与平面所成的角， , 故. 【小问2详解】 由于, 所以, 又平面，平面，所以， 平面，平面, 平面,故, 故即为二面角的平面角， 由于为直角三角形，且，故 【小问3详解】 取中点为，中点为,连接, 则, 又, 因此故四边形为平行四边形，故, 平面,平面， 故平面, 因此在上是存在点，使得平面，此时为中点， 18. 在第19届杭州亚运会上中国女篮以74:72战胜日本队，成功卫冕．甲、乙两名亚运选手赛前进行三分球投篮训练，甲每次投中三分的概率为0.8，乙每次投中三分的概率为p，在每次投篮中，甲和乙互不影响．已知两人各投篮一次至少有一人命中三分球的概率为0.94． （1）求p； （2）甲、乙两人各投篮两次，求两人共投中三分球3次的概率． 【答案】（1） （2）0.4256． 【解析】 【分析】（1）利用对立事件的概率公式列等式求； （2）“两人共投中三分球3次”即“甲中2次且乙中1次”与“甲中1次且乙中2次”的和事件，利用互斥事件的概率加法公式可得. 【小问1详解】 ，解得． 【小问2详解】 设分别表示事件甲投篮两次投中三分球一次、两次，设分别表示事件乙投篮两次投中三分球一次、两次． 则，， ，． 设“甲、乙两人各投篮两次，两人共投中三分球3次”， 则． 故甲、乙两人各投篮两次，两人共投中三分球3次的概率为0.4256． 19. 设函数在处取最小值． （）求的值，并化简． （）在中，，，分别是角，，的对边，已知，，，求角． 【答案】(1)， . (2) 或． 【解析】 【详解】分析：（）由题意可得．结合三角函数的性质可得．则． （）由（）知，则．结合正弦定理解三角形可得或． 详解：（）依题意得 ． 因为函数在处取得最小值，所以． 由诱导公式知，因为，所以． 所以． （）由（）知， 因为，且为的内角，所以． 又因为，，所以由正弦定理得， 即， 因为，所以或． 当时，． 当时，． 综上，或． 点睛：本题主要考查三角函数的化简，正弦定理解三角形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东传高中2024秋季学期高二开学考试 数学试题 一、单选题（每题5分，40分） 1. 在空间四边形ABCD中，，顺次连接它的各边中点E、F、G、H，所得四边形EFGH的形状是　　 A. 梯形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 2. 已知，且，则等于（ ） A. 5 B. C. D. 3. 在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 4. 函数（A＞0，，）的部分图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，则为（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，为的中点，为侧面的中心为棱上任意一点，则异面直线与所成的角等于 A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 7. 虚数z满足，则z的虚部为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； ③若与同向，且，则>； ④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线． 其中假命题的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（每题6分，18分） 9. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（ ） A. M与N互斥 B. C. M与N相互独立 D. 10. 以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积为（ ） A. 64π cm2 B. 96π cm2 C. 168π cm2 D. 224π cm2 11. 甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为： 甲 68 71 72 72 82 乙 66 70 72 78 79 则（ ） A. 甲组数据的极差小于乙组数据的极差 B. 甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数 C. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D. 甲组数据的第60百分位数等于乙组数据的第60百分位数 三、填空题（每题5分，40分） 12. 已知一个多面体的三视图如图所示：其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_________. 13. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为，那么这个三棱柱的侧面积为________，二面角的正弦值为________． 14. 样本数据24，8，35，23，7，10，11，30的60%分位数为______. 四、解答题 15. 写出函数的定义域、最小正周期、单调区间、对称中心． 16. 某市司法部门为了宣传《中华人民共和国宪法》举办法律知识问答活动，从该市岁的人群中随机抽取一个容量为的样本，并将样本按年龄分成五组：、、、、，再将其按从左到右的顺序分别编号为第组，第组，，第组，绘制了样本的频率分布直方图．对回答问题的情况进行统计后，结果如下表所示． 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例 第组 第组 第组 第组 第组 （1）分别求出、的值； （2）从第、、组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人，则第、、组各应抽取多少人？ （3）根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数． 17. 如图，平面，四边形为矩形，且为的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的正切值； （3）探究在上是否存在点，使得∥平面，并说明理由． 18. 在第19届杭州亚运会上中国女篮以74:72战胜日本队，成功卫冕．甲、乙两名亚运选手赛前进行三分球投篮训练，甲每次投中三分的概率为0.8，乙每次投中三分的概率为p，在每次投篮中，甲和乙互不影响．已知两人各投篮一次至少有一人命中三分球的概率为0.94． （1）求p； （2）甲、乙两人各投篮两次，求两人共投中三分球3次的概率． 19. 设函数在处取最小值． （）求的值，并化简． （）在中，，，分别是角，，的对边，已知，，，求角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $