精品解析：福建省三明第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题

三明一中2024—2025学年高三上学期第一次月考数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求集合，注意，再求. 【详解】，又因为，所以，得． 故选：D． 2. 已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求得定点，然后再由角的终边经过点，利用三角函数的定义求解. 【详解】令，则， 所以函数（，且）的图象恒过点， 又角的终边经过点， 所以， 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正余弦公式求出，再利用二倍角的正切公式计算即得. 【详解】由，得，而，即， 则，所以. 故选：C 4. 某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数与可见叶片数进行分析研究，其关系可以用函数（为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（ ）（参考数据：，） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数，由题意已知，求出待定系数，再用，去求解，当然这里面有取自然对数及取值计算. 【详解】由题意知，，则等式两边同时取自然对数得，， ．，，，， 故选：C． 5. 设，，.若，，则最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用指、对数的关系，用表示，再利用基本不等式求最大值. 【详解】∵，，，， ∴，， ∴， 当且仅当，时取等号. ∴的最大值为1. 故选：C. 6. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先设过点的切线方程，切点，利用导数的几何意义列式，转化为有三个解，通过设函数，问题转化为与有三个交点，求的取值范围. 【详解】设过点的直线为， ，设切点为， 则 ，得有三个解， 令，， 当，得或，，得， 所以在，单调递增，单调递减， 又，，有三个解， 得，即. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍. 7. 已知，，且，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的知识先求得对应的三角函数值，进而求得. 【详解】因为，，所以， 所以，. 因为，所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 则， 故（）. 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以，所以. 故选：D. 8. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用导数判断的单调性，再构造函数，利用导数判断得，从而得解. 【详解】因为， 所以， 令，则恒成立， 所以当时，，即， 又在上单调递增，所以， 所以在上恒成立，则在上单调递增， 构造函数，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即，可得，， 所以，， 所以，， 即 所以，， 即 . 故选：D. 【点睛】思路点睛：先利用导数判断的单调性，再构造函数，利用导数判断得，是解决本题的关键. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 命题“”的否定是 B. 满足的集合的个数为4 C. 已知，则 D. 已知指数函数（且）的图象过点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用特称命题的否定形式可判定A；利用集合的基本关系可判定B；利用对数的运算可判定C；利用指数函数的性质可判定D. 【详解】对于A，根据特称命题的否定形式可知命题“”的否定 是“”，故A错误； 对于B，由集合的基本关系可知满足的集合可以 为，故B正确； 对于C，由，故C正确； 对于D，由题意可知，所以，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 点为图象的一个对称中心 C. 若在上有两个实数根，则 D. 若的导函数为，则函数的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接由周期公式即可判断；对于B，直接代入检验即可；对于C，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D，求导后结合辅助角公式即可得解. 【详解】由题意可得，故A正确； ，所以不是图象的一个对称中心，故B错误； 令，由得， 根据题意可转化为直线与曲线，有两个交点， 数形结合可得，故C正确； 设为的导函数， 则， 其中， 当且仅当， 即当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：ACD． 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数在上一定单调递增 B. 当时，函数有两个零点 C. 当时，方程一定有解 D. 当时，在上恒成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，根据导函数正负判断单调性和极值最值，判断AB正确，C错误；构造函数，求导，求出最小值，得其最小值大于2，判断D正确. 【详解】对于时，，所以在上一定单调递增，故选项正确； 对于B，当时，，令，得，故在区间上单调递减，上单调递增，，又，所以在上各有一个零点，共两个零点，故选项B正确； 对于，取，则， 当时，，单调递减，当时，单调递增， 所以，故选项C错误. 对于，当时，，此时，令在递增，，由零点定理，在上存在，使①，从而在递减，递增，所以，由①，所以（因为在上，所以等号不成立），故选项正确. 故选： 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为奇函数，则实数的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，即， 故， 解得. 故答案为： 13. 已知，，则的值域为___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，再结合平方关系将用表示，根据三角函数的性质求出的范围，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】令， 则，故， 因为，所以，所以， 令，则在单调递增， 则当， 所以的值域为. 故答案为：. 14. 已知为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】先对不等式等价变换为，令得，构造函数，从而，又，利用不等式性质即可求解范围. 【详解】因为，所以， 则不等式等价于， 等价于，令，则， 从而，令，由对勾函数的性质知， 因为，即，所以， 令，则，解得， 所以，当且仅当即时取等号， 故的最大值是6. 故答案为：6 【点睛】关键点点睛：本题考查了复合函数的值域及不等式的性质，解题的关键是对不等式等价变形，利用换元法结合对勾函数性质求解函数范围，最后利用不等式性质求解即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）化简； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简即可； （2）由诱导公式化简（注意以为整体），再结合平方关系求解． 【小问1详解】 由题意； 【小问2详解】 由（1）知， ， ， ，则，， ∴， ∴． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． （1）求函数的解析式； （2）解不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质求解解析式即可； （2）判断出为增函数，结合单调性和定义域列出不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，． 【小问2详解】 任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 故在上为增函数； 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由在上为增函数， 所以， 解得， 故原不等式的解集为． 17. 已知1是函数（a，b，）的极值点，在处的切线与直线垂直. （1）求a，b的值； （2）若函数在上有最大值2，在上有最小值也有最大值，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值点和切线的斜率列方程来求得. （2）利用导数求得的单调区间，根据的最大值求得，根据在上有最小值也有最大值求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意，在处的切线的斜率为， ，，， 所以，，经检验符合题意； 【小问2详解】 由（1）得，， ，，的变化情况如下表所示 x 1 2 0 0 递增 递减 递增 所以在上单调递增，在上单调递减，上单调递增， 所以，所以， 所以，又在上有最大值和最小值， 所以. 18. 设，．已知函数的图像关于直线成轴对称． （1）求函数的表达式； （2）若，且为锐角，求； （3）设，．若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数． 【答案】（1） （2） （3）；函数在区间上恰有个零点 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数对称轴方程即可求解. （2）利用二倍角的正切公式求出，再利用正弦形式的倍角公式、分母为“1”将变形后弦化切即可求解. （3）根据零点定义令得，再数形结合根据函数图像性质可求解. 【小问1详解】 由题意， 所以，故，又， 所以，故. 【小问2详解】 因为，且为锐角， 所以 故由（1）. 【小问3详解】 由（1）， 令， 则函数在区间上恰有奇数个零点 在区间有奇数个解， 因为，最小正周期为，如图， 故由图像特征以及周期性质可知， 只有当时其在区间才有奇数个解， 此时，两边平方解得， 故此时或， 由图可知时有个解；时，有个解， 所以函数在区间上恰有个零点. 【点睛】易错点睛：在算函数在区间上的零点个数时，易漏算时这一组解导致零点个数算错. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个不同的根． (i)求的取值范围； (ii)证明：． 【答案】（1） 当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． （2）（i）； （ii）不妨设，则，且． 证法一： 当时，，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 证法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增， 又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）(i)参变分离可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最值，即可求出的取值范围；(ii) 不妨设，则，分、两种情况讨论，当时，，利用导数说明函数的单调性，即可证明，再由基本不等式即可得证. 【小问1详解】 由题意得，，则， 由，解得． 显然， 若，则当时，单调递增，当时，单调递减； 若，则当时，单调递减，当时，单调递增． 综上，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． 【小问2详解】 （i）由，得， 设，由(1)得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故的取值范围是． （ii）略 【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2024—2025学年高三上学期第一次月考数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数与可见叶片数进行分析研究，其关系可以用函数（为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（ ）（参考数据：，） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 5. 设，，.若，，则最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 命题“”的否定是 B. 满足的集合的个数为4 C. 已知，则 D. 已知指数函数（且）的图象过点，则 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 点为图象的一个对称中心 C. 若在上有两个实数根，则 D. 若的导函数为，则函数的最大值为 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数在上一定单调递增 B. 当时，函数有两个零点 C. 当时，方程一定有解 D. 当时，在上恒成立 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为奇函数，则实数的值为__________. 13. 已知，，则的值域为___________. 14. 已知为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）化简； （2）若，，求的值． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． （1）求函数的解析式； （2）解不等式． 17. 已知1是函数（a，b，）的极值点，在处的切线与直线垂直. （1）求a，b的值； （2）若函数在上有最大值2，在上有最小值也有最大值，求实数m的取值范围. 18. 设，．已知函数的图像关于直线成轴对称． （1）求函数的表达式； （2）若，且为锐角，求； （3）设，．若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数． 19. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个不同的根． (i)求的取值范围； (ii)证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $