精品解析：山西省名校2022-2023学年高二下学期7月期末联合测评数学试题

高二年级七月名校联合测评 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 二项式的展开式中第5项的系数为（ ） A. B. C. D. 2. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的中心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则运动员在时瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 3. 为研究变量的相关关系，收集得到如下数据： 5 6 7 8 9 9 8 6 4 3 若由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则据此计算残差为0的样本点是（ ） A. B. C. D. 4. 碘—131经常被用于对甲状腺的研究，它的半衰期大约是8天（即经过8天的时间，有一半的碘—131会衰变为其他元素）.今年3月1日凌晨，在一容器中放入一定量的碘—131，到3月25日凌晨，测得该容器内还剩有2毫克的碘—131，则3月1日凌晨，放入该容器的碘—131的含量是（ ） A. 8毫克 B. 16毫克 C. 32毫克 D. 64毫克 5. 袋中有个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件甲和乙至少一人摸到红球，事件甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数且，若函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 7. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 8. 已知函数，，若存在两条不同的直线与函数和图像均相切，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 现有一场流水席，共有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是（ ） A. 两份汤相邻的摆法共有种 B. 每道素菜不相邻的摆法共有种 C. 若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法 D. 两汤不摆在首尾的摆法共有种 10. 已知某学校高二年级男生人数是女生人数的2倍，该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如下，下列说法正确的是（ ） A. 参加调查的学生中喜欢徒步的男生比喜欢徒步的女生多 B. 参加调查的学生中不喜欢徒步的男生比不喜欢徒步的女生少 C. 若参加调查的学生总人数为300，则能根据小概率的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关 D. 无论参加调查的学生总人数为多少，都能根据小概率的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关 11. 关于及其展开式，下列说法错误的是（ ） A. 该二项式展开式中二项式系数和是 B. 该二项式展开式中第项为 C. 当 时，除以的余数是 D. 该二项式展开式中共有有理项是项 12. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．下列结论正确的是（ ） A. 每次随机抽取一个零件，抽出的零件不放回，第1次抽到次品的概率和第2次抽到次品的概率不相同 B. 任取一个零件，它不是第1台车床加工的概率是0.75 C. 任取一个零件，它是次品的概率小于0.06 D. 如果取到的零件是次品，那么它是第2台车床加工的概率是 三、填空题（本题共4小题，每小题5分、共20分） 13. 设，则曲线在点处的切线的倾斜角是_______． 14. 设，将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则使复数为纯虚数的概率为__________. 15. 在的展开式中，若按的升幂进行排列，则第3项为_________． 16. 现有5种不同的颜色，给四棱锥的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点的颜色不能同色，则涂色的方法一共有______种.（用数字作答） 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 快到采摘季节了，某农民发现自家果园里的某种果实每颗的重量有一定的差别，故随机采摘了100颗，分别称出它们的重量（单位：克），并以每10克为一组进行分组，发现它们分布在区间，，，，并据此画得频率分布直方图如下： （1）求的值，并据此估计这批果实的第70百分位数； （2）若重量在（单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择3颗果实，其中不是此次采摘对象的颗数为，求的分布列和数学期望. 注意：把频率分布直方图中的频率视为概率. 18. 已知函数，. （1）若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的单调增区间； （2）若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值. 19. 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. （1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 20. 某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择： 方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元； 方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元. （1）若用方案一，求的分布列与数学期望； （2）比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说明理由； （3）若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为100万元，为数据的方差，计算结果为225万元，若规定奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）参考数据：若随机变量服从正态分布，则 21. 已知定义在上的两个函数，. （1）求的单调区间及极值； （2）求函数的最小值. 22. 一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为． （1）在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望; （2）设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级七月名校联合测评 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 二项式的展开式中第5项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出二项式的展开式的通项，令即可求出第5项的系数. 【详解】根据题意，二项式的展开式的通项为： ， 当时，二项式的展开式中第5项的系数为：， 故选：C. 2. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的中心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则运动员在时瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，然后把代入即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 令，得瞬时速度为． 故选：D. 3. 为研究变量的相关关系，收集得到如下数据： 5 6 7 8 9 9 8 6 4 3 若由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则据此计算残差为0的样本点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出回归方程的样本中心点，从而可求得，再根据残差的定义可判断. 【详解】由题意可得：， 即样本中心点为，可得，解得， 所以，可得 5 6 7 8 9 9 8 6 4 3 9.2 7.6 6 4.4 2.8 0 所以残差为0的样本点是. 故选：C. 4. 碘—131经常被用于对甲状腺的研究，它的半衰期大约是8天（即经过8天的时间，有一半的碘—131会衰变为其他元素）.今年3月1日凌晨，在一容器中放入一定量的碘—131，到3月25日凌晨，测得该容器内还剩有2毫克的碘—131，则3月1日凌晨，放入该容器的碘—131的含量是（ ） A. 8毫克 B. 16毫克 C. 32毫克 D. 64毫克 【答案】B 【解析】 【分析】设自变量建立函数，利用指数运算求解即可. 【详解】设3月1日凌晨放入该容器的碘—131的含量是x毫克， 由题意，3月1日凌晨到月25日凌晨共经历了3个半衰期，所以， 解得，即放入该容器的碘—131的含量是16毫克. 故选：B 5. 袋中有个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件甲和乙至少一人摸到红球，事件甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出和的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，事件甲、乙只有一人摸到红球， 则，， 因此，. 故选：D. 6. 已知函数且，若函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数有3个不同的零点，即函数的图象与直线有三个交点，画出函数的图象，根据数形结合可得出答案. 【详解】函数 当时，其图象可以看成是由的图象向右平移1个单位得到的. 画出函数的图象如图所示. 函数有3个不同的零点，即函数的图象与直线有三个交点. 当时函数有极小值，当时函数有极大值， 所以实数a的取值范围为， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，根据零点个数求参数的范围，关键是数形结合思想的应用，属于中档题. 7. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】C 【解析】 【分析】本题只需考虑游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况即可. 【详解】①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有种， ②游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有种， 所以不同的安排方法有种. 故选：C 8. 已知函数，，若存在两条不同的直线与函数和图像均相切，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取，此时函数和不满足条件，当时，设直线与切于，与切于，根据导数的几何意义可得，求出函数和的切线方程，由条件可得，条件可转化为方程有两个不同的解，设，利用导数研究函数图象，结合图象可得的范围. 【详解】当时，，，不存在公切线， 当时，设直线与切于， 与切于， 又，， 则直线的斜率， 所以， 所以直线为，即， 直线也可以写成，即， 所以， 将代入可得，， 又，所以， 因为存在两条不同的直线与函数和图像均相切， 所以方程有两个不同的解， 设， 则， 当时，解得， 当时，解得， 所以， 又因为且无穷接近时，趋近正无穷； 当时，趋近正无穷； 函数的大致图象如下： 所以， 所以， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：A. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 现有一场流水席，共有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是（ ） A. 两份汤相邻的摆法共有种 B. 每道素菜不相邻的摆法共有种 C. 若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法 D. 两汤不摆在首尾的摆法共有种 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用捆绑法即可判断；对于B，利用插空法即可判断；对于C，利用定序倍缩法即可判断；对于D，利用分步计数原理即可判断. 【详解】对于A，先将两份汤捆绑在一起，看作一个整体，有种摆法； 再与其余十道菜品排列在一起，有种摆法； 所以两份汤相邻的摆法共有种，故A错误； 对于B，先将6荤2汤共八道菜品进行排列，有种摆法； 再利用插空法将4道素菜插到上述八道菜品共9个空中，有种摆法； 所以每道素菜不相邻的摆法共有种，故B正确； 对于C，先将十六道菜品进行排列，有种摆法； 其中十二道菜品的顺序已经固定，利用定序倍缩法可知有种不同摆法，故C正确； 对于D，将十二道菜品看作12个空，去掉首尾两个空还有10个空，在其中任选两个空将两份汤放进去，共有种方法； 再将剩余的十道菜品排列到剩余的10个空中，共有种方法； 所以两汤不摆在首尾的摆法共有种，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知某学校高二年级男生人数是女生人数的2倍，该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如下，下列说法正确的是（ ） A. 参加调查的学生中喜欢徒步的男生比喜欢徒步的女生多 B. 参加调查的学生中不喜欢徒步的男生比不喜欢徒步的女生少 C. 若参加调查的学生总人数为300，则能根据小概率的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关 D. 无论参加调查的学生总人数为多少，都能根据小概率的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关 【答案】AC 【解析】 【分析】对AB，设该学校高二年级男生人数为，女生人数为，再计算喜欢与不喜欢徒步的男生与女生人数判断即可；对CD，计算卡方，对照表格判断即可. 【详解】对AB，设该学校高二年级男生人数为，女生人数为， 则学生中喜欢徒步的男生为，喜欢徒步的女生为，故A正确； 不喜欢徒步的男生为，不喜欢徒步的女生为，故B错误； 对C，若参加调查的学生总人数为300，则男生200人，女生100人，列联表可得： 是否喜欢徒步 性别 合计 男生 女生 喜欢 140 40 180 不喜欢 60 60 120 合计 200 100 300 则， 故能根据小概率的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关，故C正确； 对D，设该学校高二年级男生人数为，女生人数为，列联表可得： 是否喜欢徒步 性别 合计 男生 女生 喜欢 不喜欢 合计 则，不能判断与的大小关系 故不能根据小概率的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关，故D错误； 故选：AC 11. 关于及其展开式，下列说法错误的是（ ） A. 该二项式展开式中二项式系数和是 B. 该二项式展开式中第项为 C. 当 时，除以的余数是 D. 该二项式展开式中共有有理项是项 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质可判断A的正误，利用二项展开式的通项公式可判断BD的正误，利用二项展开式结合整数的性质可判断C的正误. 【详解】的二项展开式中二项式系数和为， 故A错误. 的二项展开式中的第10项为， 故B正确. 当 时， ， 故除以100的余数为，故C错误. 的二项展开式的通项公式为， 当且仅当时，为有理项，故共有个有理项， 故D错误. 故选：ACD. 12. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．下列结论正确的是（ ） A. 每次随机抽取一个零件，抽出的零件不放回，第1次抽到次品的概率和第2次抽到次品的概率不相同 B. 任取一个零件，它不是第1台车床加工的概率是0.75 C. 任取一个零件，它是次品的概率小于0.06 D. 如果取到的零件是次品，那么它是第2台车床加工的概率是 【答案】BC 【解析】 【分析】由条件概率公式计算后判断． 【详解】记事件为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第台机床加工”，，，且两两互斥， 由题意，，，，， 由全概率公式第1次抽到次品的概率， 第2次取得次品与第1次取得次品这两个事件是相互独立的，因此第2次取得次品的概率仍然是，A错； 任取一个零件，它不是第1台车床加工的概率是，B正确； 由A选项计算结论知C正确； ，D错； 故选：BC． 三、填空题（本题共4小题，每小题5分、共20分） 13. 设，则曲线在点处的切线的倾斜角是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】因为 =， 所以， 则曲线在点处的切线斜率为，即， 又 所以所求切线的倾斜角为． 故答案为： 14. 设，将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则使复数为纯虚数的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到共有个基本事件，再由复数为纯虚数，得到，利用列举法求得所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b， 可得共有个基本事件，即， 又由复数，可得， 若复数为纯虚数，则满足，即， 此时所包含的基本事件有，共有6个，即， 所以使复数为纯虚数的概率为. 故答案为：. 15. 在的展开式中，若按的升幂进行排列，则第3项为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，展开计算的系数即可. 【详解】由，可得按的升幂进行排列分别为常数项，的项和的项，故第3项为含的项. 其中的项为. 故答案为： 16. 现有5种不同的颜色，给四棱锥的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点的颜色不能同色，则涂色的方法一共有______种.（用数字作答） 【答案】420 【解析】 【分析】利用分布计数原理逐个顶点来进行涂色，注意讨论同色与不同色. 【详解】 如图： 当顶点，同色时，顶点有5种颜色可供选择， 点有4种颜色可供选择，点有3种颜色可供选择， 此时与同色，1种颜色可选，点有3种颜色可选， 共有种； 当顶点，不同色时，顶点有5种颜色可供选择， 点有4种颜色可供选择，点有3种颜色可供选择， 此时与不同色，2种颜色可选，点就有2种颜色可选， 共有种； 综上可得共有种. 故答案为：420 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 快到采摘季节了，某农民发现自家果园里的某种果实每颗的重量有一定的差别，故随机采摘了100颗，分别称出它们的重量（单位：克），并以每10克为一组进行分组，发现它们分布在区间，，，，并据此画得频率分布直方图如下： （1）求的值，并据此估计这批果实的第70百分位数； （2）若重量在（单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择3颗果实，其中不是此次采摘对象的颗数为，求的分布列和数学期望. 注意：把频率分布直方图中的频率视为概率. 【答案】（1）0.030；31 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图和百分位数的计算方式直接计算即可； （2）由题知，再根据二项分布求解即可； 【小问1详解】 解：因为频率分布直方图的组距为10， 所以，落在区间，，上的频率分别为0.20，0.32，0.18， 所以，. 因为落在区间上的频率为， 而落在区间上的频率为， 所以第70百分位数落在区间之间，设为， 则，解得， 所以估计第70百分位数为31. 【小问2详解】 解：由（1）知，重量落在的频率为0.2，由样本估计总体得其概率为0.2， 因为可取0，1，2，3，且， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为（或直接由）. 18. 已知函数，. （1）若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的单调增区间； （2）若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，根据条件求出函数的周期和，即可求解单调区间. （2）根据函数的对称性和单调性建立不等式关系进行求解即可. 【小问1详解】 ， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以，则，所以，解得， 所以. 由，，解得 ， 因此的单调增区间是，. 【小问2详解】 由， 函数的图象关于对称， 所以，，所以，， 由，，则， 又函数在上单调， 所以，解得， 由，解得，此时. 19. 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完. （1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果； （2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可. 【小问1详解】 当时，， 当时,， 所以. 【小问2详解】 当时，, ∴当时，， 当时, , 当且仅当，即时，， 因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元. 20. 某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择： 方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元； 方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元. （1）若用方案一，求的分布列与数学期望； （2）比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说明理由； （3）若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为100万元，为数据的方差，计算结果为225万元，若规定奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）参考数据：若随机变量服从正态分布，则 【答案】（1）分布列见解析， （2）方案二，理由见解析 （3）（万元） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式，计算出概率，列分布列即可得出期望； （2）根据方案二，按照（1）的方法计算期望，比较方案一的期望即可； （3）根据正态分布，利用给定区间的概率计算即可得解. 【小问1详解】 对于方案一，由条件可知有可能取值为3，4，5，6， ， ， ， ， ∴的分布列为： 3 4 5 6 期望值. 【小问2详解】 对于方案二，由条件可得值为3，4，5，6， ， ， ， ， ∴的期望值 ∵所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高. 【小问3详解】 由（1）（2）可知，平均每位员工获得奖金的数学期望的最大值为， 则给员工颁发奖金的总数为（万元）， 设每位职工为企业的贡献的数额为， 所以获得奖金的职工数约为 . （人） 则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）. 21. 已知定义在上的两个函数，. （1）求的单调区间及极值； （2）求函数的最小值. 【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为； 极小值为，无极大值 （2）1 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出极值点，列表分析单调区间，利用单调性求极值即可； （2）构造函数，对函数求导，列表分析函数的单调性，由函数单调性即可分析求出函数的最小值. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 令， 列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：的单调减区间为， 的单调增区间为， 的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 由， 所以令， 所以， 所以在上单调递增， 而， ， 由零点存在性定理可知， 存在一个， 使得， 则有， 即 有上述对函数分析： 列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 故 . 所以函数的最小值为1. 22. 一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为． （1）在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望; （2）设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式． 【答案】（1） 0 1 2 （2）, 【解析】 【分析】(1)设妻子驾车天数为,写出的可能取值,根据题意求出相对应的概率,列出分布列,根据期望公式求出结果即可; (2)由于丈夫驾车的概率与前一天驾车的对象有关系,不妨假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,得到关于的递推关系式,构造等比数列,求出等比数列通项公式即可求得通项公式. 【小问1详解】 解:设妻子驾车天数为,则的可能取值为:, 由题意可知:, , , 所以的分布列如下表所示: 0 1 2 所以; 【小问2详解】 假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为, 此时第n天时,由丈夫驾车的概率为, 即,则有, 所以,因为, 所以是以为首项,为公比的等比数列, 即,故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $