精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市桃李高级中学有限公司2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

桃李高中2024~2025学年上学期开学验收 高二 数学 命题人：高二数学组 分值：150分 时间：2小时 一、单选题（每题5分，40分） 1. 甲、乙、丙人投篮，投进的概率分别为，，，现人各投篮次，是否投进互不影响，则人都投进的概率为． A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 青岛二中戏剧节中，6个MT除人文MT有两个节目参加决赛外，其他MT各有一个节目参加决赛，一共7个节目，在决赛中，要从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛，则人文MT两支队伍不同时被抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A 0 B. C. D. 5. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 的内角、、的对边分别为、、，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B 若，，，则有两解 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，，则面积的最大值为 7. 在中， ， ， 分别是角， ， 的对边，且，则= A. B. C. D. 8. 已知，为直线，为平面，下列结论正确的是 A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 二、多选题（每题6分，18分） 9. 在等腰直角中，，是的中点，若点为线段的三等分点，则的值可能为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 高一某次数学考试中，某班学生原始成绩最高分为100分，最低分为20分，现将每个学生的原始分数按（a，b为常数，）进行转换，是转换后的分数，转换后，全班最高分为100分，最低分为60分，则下列结论正确的是（ ） A. 转换后分数众数的个数不变 B. 转换后分数标准差是原始分数标准差的0.5倍 C. 转换后分数的平均数一定大于原始分数的平均数 D. 转换后分数的中位数一定大于原始分数的中位数 11. 已知是两个随机事件，，下列命题正确的是（ ） A. 若相互独立， B. 若事件，则 C. 若是对立事件，则 D. 若是互斥事件，则 三、填空题（每题5分，15分） 12. __________________． 13. 棱长都是3三棱锥的高等于______. 14. 平面向量与的夹角为60°，，，则等于______. 四、解答题 15. 用平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为，圆锥母线的长为． （1）建立与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）圆锥的轴截面为正三角形，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米 16. 已知向量满足． （1）若，求与的夹角； （2）若与共线，求的坐标． 17. 在中，已知内角成等差数列，边.设内角，的周长为． （1）求函数的解析式和定义域. （2）求的最大值. 18. 某高校为了解即将毕业的男大学生的身体状况检测了960名男大学生的体重（单位：），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示.图中从左到右的前3个小组的频率之比为. （1）求这960名男大学生中，体重小于的男大学生的人数； （2）从体重在范围的男大学生中用分层抽样的方法选取6名，再从这6名男大学生中随机选取2名，记“至少有一名男大学生体重大于”为事件，求事件发生的概率. 19. 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB=∠A1AD=120°. （1）求AC1的长; （2）证明:AC1⊥BD． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 桃李高中2024~2025学年上学期开学验收 高二 数学 命题人：高二数学组 分值：150分 时间：2小时 一、单选题（每题5分，40分） 1. 甲、乙、丙人投篮，投进的概率分别为，，，现人各投篮次，是否投进互不影响，则人都投进的概率为． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：利用相互独立事件的概率乘法公式即可. 详解：利用相互独立事件概率乘法公式. 3人都投进的概率为. 故选：A. 点睛：本题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】，， 因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了对数函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 3. 青岛二中戏剧节中，6个MT除人文MT有两个节目参加决赛外，其他MT各有一个节目参加决赛，一共7个节目，在决赛中，要从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛，则人文MT两支队伍不同时被抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛，总共有种可能，人文两支队伍同时被抽到的共有2种情况，利用正难则反法，求出即可． 【详解】解：从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛，总共有种可能， 人文两支队伍同时被抽到的共有2种情况， 所以人文两支队伍不同时被抽到概率为， 故选：． 【点睛】考查古典概型概率的应用，本题还用了对立事件求概率的方法，属于基础题． 4. 如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的中位线做出异面直线所成角，然后利用余弦定理计算即可. 【详解】如图所示: 连接A1C,交AC1于D,取BC的中点E,连接AE,DE, 则DE//A1B,∴为异面直线A1B和AC1所成的角或其补角. 由题意，可设该正三棱柱的棱长为2，易得, 则AE=, ∴, ∴异面直线A1B和AC1所成的角的余弦值为， 故选：B. 5. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算，求出复数z，可求. 【详解】由题意得，所以，所以， 故，所以. 故选：B. 6. 的内角、、的对边分别为、、，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，，则面积的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】A. 根据，得到，再由正弦定理求解判断； B.由判断； C. 由为钝角三角形且C为钝角，利用余弦定理求解判断； D. 由余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式求解判断. 【详解】A. 因为，所以，由正弦定理，得到，故正确； B.，则，所以有两解，故正确； C. 为钝角三角形且C为钝角，则，则，故错误； D. 由余弦定理与基本不等式得， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，则面积的最大值为，故正确； 故选：C 7. 在中， ， ， 分别是角， ， 的对边，且，则= A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理化简条件式，结合余弦定理即可求得角A． 【详解】∵ ∴由正弦定理可得，即. ∴由余弦定理可得，整理可得. ∴ ∵ ∴ 故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题． 8. 已知，为直线，为平面，下列结论正确的是 A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线线，线面的位置关系进行判断即可. 【详解】由题可得，对于选项A，由直线与平面垂直的判定可知，直线必须垂直于平面内的两条相交直线，直线才能垂直平面，所以错误； 对于选项B，由垂直于同一平面的两条直线平行可知，选项B正确； 对于选项C，时或，所以错误；. 当，有或或，所以错误. 故选：B. 二、多选题（每题6分，18分） 9. 在等腰直角中，，是的中点，若点为线段的三等分点，则的值可能为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，分类讨论可能的情况，结合向量数量积的坐标运算公式求解答案. 【详解】在等腰直角中，，则， 如下图所示，以为坐标原点，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系， 则， ①为线段靠近的三等分点，则， 此时，，则； ②为线段靠近的三等分点，则， 此时，，则. 所以的值可能为2或. 故选：BD 10. 高一某次数学考试中，某班学生原始成绩最高分为100分，最低分为20分，现将每个学生的原始分数按（a，b为常数，）进行转换，是转换后的分数，转换后，全班最高分为100分，最低分为60分，则下列结论正确的是（ ） A. 转换后分数的众数的个数不变 B. 转换后分数的标准差是原始分数标准差的0.5倍 C. 转换后分数的平均数一定大于原始分数的平均数 D. 转换后分数的中位数一定大于原始分数的中位数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，列出方程，求出得值，由此分析选项是否正确即可. 【详解】根据题意，由于，由， 解得 即转换规则为，由此分析选项： 对于,转化后分数的众数的个数不变，正确； 对于，由于转化规则为，转换后分数的方差是原始分数方差的倍，故转化后分数的标准差是原始分数标准差的倍，正确； 对于,设原始分数平均数为，必有，则转化后的平均数为， 所以，正确； 对于,反例：当中位数成绩为时，其转化后的成绩的中位数也为错误. 故选： 11. 已知是两个随机事件，，下列命题正确的是（ ） A. 若相互独立， B. 若事件，则 C. 若是对立事件，则 D. 若是互斥事件，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用条件概率、相互独立事件判断A；利用条件概率的定义判断B；利用条件概率及对立、互斥事件的意义判断C，D作答. 【详解】对于A，随机事件相互独立，则，，A正确； 对于B，事件，，，B正确； 对于C，因是对立事件，则，，C不正确； 对于D，因是互斥事件，则，，D正确. 故选：ABD 三、填空题（每题5分，15分） 12. __________________． 【答案】 【解析】 【分析】分母完全平方展开，利用，在利用分母实数化处理，即可求出答案. 【详解】． 故答案为：. 13. 棱长都是3的三棱锥的高等于______. 【答案】 【解析】 【分析】顶点P在底面上的射影为，在直角三角形中，利用勾股定理求棱锥的高. 【详解】如图，三棱锥棱长都是3，    设顶点P在底面上的射影为，则是等边的中心， 为外接圆半径，， 则在直角三角形中，， 所以三棱锥的高， 故答案为： 14. 平面向量与的夹角为60°，，，则等于______. 【答案】 【解析】 【分析】先求向量，再根据向量模的运算求. 【详解】因为，所以， 又因为与的夹角为，， 所以 ； 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 用平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为，圆锥母线的长为． （1）建立与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）圆锥的轴截面为正三角形，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，制作该容器需要的铁皮面积，即圆锥的表面积，得到方程，分离出即可，利用求出定义域； （2）利用母线与底面所成的角大小为，结合（1）所得，求出底面半径和圆锥的高，利用圆锥的体积公式求出所制作的圆锥形容器容积即可． 【小问1详解】 根据题意，因为圆锥的表面积，， ， ，解得， 即，. 【小问2详解】 圆锥的轴截面为正三角形，设圆锥高为h， 则，， ， 由（1）知，即， 解得， ． 16. 已知向量满足． （1）若，求与的夹角； （2）若与共线，求的坐标． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）结合向量垂直性质，以及平面向量的夹角公式，即可求解； （2）根据已知条件，结合向量共线的性质，以及向量模公式，即可求解． 【小问1详解】 ，则， 设与的夹角为，,， 因为，， 则，解得， 故； 【小问2详解】 与共线，，则， 由，故，解得， 故或． 17. 在中，已知内角成等差数列，边.设内角，的周长为． （1）求函数的解析式和定义域. （2）求的最大值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差中项的性质求得的大小，利用正弦定理求得，由此求得的解析式和定义域. （2）利用两角差的正弦公式和辅助角公式，化简，根据的范围求得的范围，由此求得的最大值. 【小问1详解】 因为成等差数列，所以，又，所以. 由，得，即. 由正弦定理得：， 所以， 所以. 【小问2详解】 . 因为，所以， 所以当时，取得最大值为. 18. 某高校为了解即将毕业的男大学生的身体状况检测了960名男大学生的体重（单位：），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示.图中从左到右的前3个小组的频率之比为. （1）求这960名男大学生中，体重小于的男大学生的人数； （2）从体重在范围的男大学生中用分层抽样的方法选取6名，再从这6名男大学生中随机选取2名，记“至少有一名男大学生体重大于”为事件，求事件发生的概率. 【答案】（1）360人（2） 【解析】 【分析】（1）由所有频率之和为1求得前3个小组的频率，然后可得体重小于的频率，从而得人数； （2）由频率分布直方图，求出体重在与的各抽取的人数，把6人编号，用列举法列举出任取2人的所有基本事件，同时得出事件包含的基本事件的个数，求得概率． 【详解】解：（1）设这个小组对应的频率为. ∵对应的频率为， ∴.解得. ∴对应的频率为0.375，从而所求人数为 （人）. （2）∵男大学生体重在与的频率之比为， ∴这6名男大学生体重在与的人数分别为4，2. 分别记他们为，，，，，，从中随机选取2 名的所有情况为，，， ，，，，，， ，，，，， ，共15个基本事件，其中事件包含9个基本事件，∴. 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查古典概型．用列举法写出所有基本事件是解决古典概型的常用方法． 19. 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB=∠A1AD=120°. （1）求AC1的长; （2）证明:AC1⊥BD． 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）直接根据向量的加法把所求问题分解，再平方计算出模长的平方，进而求出结论； （Ⅱ）以，，为基底表示，，通过向量数量积的运算证明⊥，可证得AC1⊥BD 【详解】（1）∵||2=(+)2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·= a2+a2+b2+2a2cos 90°+2abcos 120°+2abcos 120°=2a2+b2-2ab, ∴AC1=||=. （2）∵·=(++)·(-)=·+||2+·-||2-·-··-·=bacos 120°-bacos 120°=0 ∴⊥,即AC1⊥BD． 【点睛】本题主要考查异面直线的垂直以及两点间的距离计算．考查转化能力和运算能力，属于基础题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$