精品解析：2024年浙江省舟山市普陀区初中毕业生学业水平适应性考试数学试题

2024年普陀区初中毕业生学业水平适应性考试 数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 2024年5月1日至5月5日18时，汽车进出甬舟高速总流量达43.3万辆次，数据43.3万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，几何体的俯视图是（ ） A B. C. D. 4. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（ ） A. 15 B. 8 C. D. 5. 2023年杭州亚运会有三种吉祥物，分别是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”，这三种吉祥物各自代表着杭州的一处世界文化遗产．现甲、乙两名同学从三种吉祥物中挑选一个作为纪念品，则两人挑选的吉祥物相同的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小慧的眼睛离地面的距离为，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离为，则旗杆的高度（单位：）为（ ） A. 6.6 B. 11.6 C. D. 7. 在中，只用无刻度直尺和圆规比较与的大小．除了“叠合法”外，嘉琪又想出两种方法： 方法一：作的高和角平分线，若点在线段上，则说明． 方法二：作边中垂线，若与边相交（不包括点），则说明 下列说法正确的是（ ） A. 方法一可行，方法二不可行 B. 方法二可行，方法一不可行 C. 两种方法都可行 D. 两种方法都不可行 8. 一次函数的图象经过点，则下列关系式不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是的重心，连接，作，使与互补，交边于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线，直线与新抛物线有两个交点，，则t的取值范围为（ ） A B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解______． 12. 小聪同学在学习了七年级下册“多项式的乘法”、“乘法公式”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的代数式____，感受这种特殊化的学习过程． 13. 如图，正三角形边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 14. 如图，AB是⊙O的直径， BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D．若⊙O的半径为3，∠C＝40°，则的长为__．（结果保留π） 15. 如图，在中，，，，点D，E分别为、的中点，将绕着点B顺时针旋转，得到，当C，，在同一直线上时，则的长为________． 16. 如图，已知反比例函数图象上有，两点，连接，，且，是轴上的点，连接，且，连接，交于点，连接，若，点坐标，则面积为________． 三、解答题（本题有8小题，第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24每题12分，共72分） 17. （1）计算： （2）化简： 18. 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 19. 已知平行四边形，观察如图所示的尺规作图痕迹． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求菱形的周长． 20. 中国大学生篮球一级联赛（CUBAL）东南赛区的赛事，3月30日晚在浙江舟山普陀体育馆迎来巅峰对决，最终广东工业大学男篮获封“东南王”，以下是决赛中广东工业大学和宁波大学各节分数的条形统计图和扇形统计图： 球队 各节得分 平均分 中位数 宁波大学 16.25 ________ 广东工业大学 ________ 17.5 （1）填空：在扇形统计图中，第二节所在扇形的圆心角为________； （2）请完成表中所缺的数据（单位：分）； （3）已知宁波大学得分的方差为，请你计算广东工业大学各节得分的方差，并运用以上数学统计知识来说明广东工业大学为什么能夺冠． 21. 某跨海大桥东西走向，双向四条车道，在旅游旺季经常拥堵，交警部门为了缓解交通压力，他们对该路段的汽车流量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到以下表格，发现时间和汽车流量的变化规律符合一次函数的特征． 时间x 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 200 320 440 560 680 自西向东交通量（辆/分钟） 500 440 380 320 260 （1）请用一次函数分别表示与x、与x之间的函数关系． （2）如图，交警希望启用“潮汐式”通行方式来缓解交通压力，根据汽车流量情况改变车道的行车方向：大流量方向的汽车可在该路段借用相邻的对向机动车道通行，对向机动车道实行双向通行．单位时间内交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使用“潮汐式”通行方式以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置“潮汐式”通行方式以缓解交通拥堵（在何时间段借用何方向机动车道通行），并说明理由． 22. 在综合与实践课上，王老师以“等腰直角三角形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作验算 如图1，是等腰直角三角形纸片，，为上一点，．甲同学沿对折，使点的对应点落在射线上，折痕分别交射线、射线于点、点． ①求的值； ②若，求、的值； （2）迁移探究 如图2，是等腰直角三角形纸片，，为线段上任意一点．乙同学沿对折，使点的对应点落在射线上，折痕分别交射线、射线于点、点． 探究与数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 如图3，是等腰直角三角形纸片，，丙同学在取点，使，沿对折，使点的对应点落在射线上，折痕交线段于点，连接，求证：． 23. 抛物线，，是常数，． （1）若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； （2）若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； （3）若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 24. 已知：如图1，是的直径，弦与半径平行． （1）求证：； （2）如图2，过点作的垂线，交于点，交于点，连接，若，，求的长； （3）在（2）的条件下，如图3，连接、，延长、，相交于点， ①请在图中找出与相似的所有三角形？并选择其中一对说明理由？ ②求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年普陀区初中毕业生学业水平适应性考试 数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 2024年5月1日至5月5日18时，汽车进出甬舟高速总流量达43.3万辆次，数据43.3万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：数据43.3万用科学记数法表示为， 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算中相关运算方法是解题的关键．分别利用幂的运算，平方差公式，单项式除法，完全平方公式计算即可． 详解】解：A中，，选项错误，故本选项不符合题意； B中，，选项正确，故本选项符合题意； C中，，选项错误，故本选项不符合题意； D中，，选项错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图所示，几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形中间有一个圆． 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 4. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（ ） A. 15 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故选：C． 5. 2023年杭州亚运会有三种吉祥物，分别是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”，这三种吉祥物各自代表着杭州的一处世界文化遗产．现甲、乙两名同学从三种吉祥物中挑选一个作为纪念品，则两人挑选的吉祥物相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的列表法与树状补法利用列表或树状图法展示所有或树状图法展示所有可能的结果，求出n．再从中选出符合事件a或b的结果数目m．然后根据概率公式计算事件a或事件b的概率，画树状图展示所有9种等可能的情况数．找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有9种等可能的情况数．其中甲和乙拿到同一种吉祥物的有3种情况， 则甲和乙拿到同一种吉祥物的概率是． 故选：C． 6. 如图，小慧的眼睛离地面的距离为，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离为，则旗杆的高度（单位：）为（ ） A. 6.6 B. 11.6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知米，．再利用特殊角的三角函数解直角三角形即可求出AC长，从而求出AD长． 【详解】根据题意可知米，． ∵， ∴在中，米． ∴米． 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 7. 在中，只用无刻度直尺和圆规比较与的大小．除了“叠合法”外，嘉琪又想出两种方法： 方法一：作的高和角平分线，若点在线段上，则说明． 方法二：作边中垂线，若与边相交（不包括点），则说明 下列说法正确的是（ ） A. 方法一可行，方法二不可行 B. 方法二可行，方法一不可行 C. 两种方法都可行 D. 两种方法都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、垂线的定义、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，分别画出图形，结合角平分线的定义、垂线的定义、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理进行判断即可得出答案． 【详解】解：方法一：如图所示， 平分， ， ， ， ，， ，， ，， ； 方法二：如图所示， 垂直平分， ， ， ， ； 综上所述，两种方法都可行， 故选：C． 8. 一次函数的图象经过点，则下列关系式不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．将点的坐标代入函数解析式，用表示即可解决问题． 【详解】解：因为一次函数的图象经过点， 所以， 则， 所以， 所以， 故不可能等于． 故选：D． 9. 如图，点是的重心，连接，作，使与互补，交边于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查重心性质及相似三角形．利用三角形重心的性质得出，通过作平行线得到．进而证出，由，得解． 【详解】解：连接并延长交于点，过点作交于点． 点是的重心， ，， ， ． ． 又， ． 又， ， ， ． 故选：C． 10. 二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线，直线与新抛物线有两个交点，，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，先根据对称性得到抛物线对称轴为直线，则平移后的抛物线对称轴为直线；再证明，则点Q离平移后抛物线的对称轴的距离小于点P离平移后抛物线的对称轴的距离，则有，解之即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，且与y轴交于， ∴抛物线对称轴为直线， ∴平移后的抛物线对称轴为直线， ∵直线与新抛物线有两个交点，， ∴， ∵， ∴原抛物线开口向下， ∴平移后的抛物线开口向下， ∴点Q离平移后抛物线的对称轴的距离小于点P离平移后抛物线的对称轴的距离， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案． 【详解】解：（x﹣1）2． 故答案为：（x﹣1）2． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 12. 小聪同学在学习了七年级下册“多项式的乘法”、“乘法公式”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的代数式____，感受这种特殊化的学习过程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式．直接利用平方差公式得结论． 【详解】解：， 当，时， ． 故答案为：． 13. 如图，正三角形边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 14. 如图，AB是⊙O的直径， BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D．若⊙O的半径为3，∠C＝40°，则的长为__．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】连接OD．由切线的性质和三角形内角和定理可求出，再由圆周角定理即可求出，最后由弧长公式即可求出的长． 【详解】如图，连接OD． 由切线的性质可知， ∴． ∴． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，三角形内角和定理，圆周角定理以及弧长公式．连接常用的辅助线是解答本题的关键． 15. 如图，在中，，，，点D，E分别为、的中点，将绕着点B顺时针旋转，得到，当C，，在同一直线上时，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理、旋转的性质和分类讨论思想的应用，根据三角形中点得，，，则，由旋转的性质得，，，分情况讨论可得，利用线段和差关系即可． 【详解】解：∵，，点D，E分别为、的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵绕着点B顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， 故的长或． 16. 如图，已知反比例函数的图象上有，两点，连接，，且，是轴上的点，连接，且，连接，交于点，连接，若，点坐标，则面积为________． 【答案】7.5 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，反比例函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式．过点作轴于，过点作轴于，延长与的延长线交于，过点作轴于，设，证明为等腰直角三角形得，则点，进而得点，再求出直线的表达式为，再证明得，，则点，将点的坐标代入之中求出，进而得点，点，点，由此即可求出的面积． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，延长与的延长线交于，过点作轴于，如图所示： 设， ， ， 为等腰直角三角形， ， 点， ， 点， ，两点在反比例函数的图象上，且， 根据反比例函数的对称性可知点， 设直线的表达式为：， 将点，点代入， 得：，解得：， 直线的表达式为：， ， ， 轴，轴， ， ， 即， ，， 点的坐标为， 点在直线上， ， 解得：， 点，点， 点， ，，， ， ，，， ． 故答案为：7.5． 三、解答题（本题有8小题，第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24每题12分，共72分） 17. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的加减，熟练掌握零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、分式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值分别计算即可； （2）根据分式的加减法则运算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程 【详解】解： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． （×） 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （×） 正确解答： 移项，得， 提取公因式，得， 去括号，得， 则或， 解得，． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键． 19. 已知平行四边形，观察如图所示的尺规作图痕迹． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求菱形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）菱形的周长为20 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定定理和勾股定理． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明是菱形； （2）先根据勾股定理求出边长，再求出周长． 【小问1详解】 解：设交于点， 在平行四边形中，有， ， 由作图得：，平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 为菱形； 【小问2详解】 证明：为菱形； ，，， ， 菱形的周长为：． 20. 中国大学生篮球一级联赛（CUBAL）东南赛区的赛事，3月30日晚在浙江舟山普陀体育馆迎来巅峰对决，最终广东工业大学男篮获封“东南王”，以下是决赛中广东工业大学和宁波大学各节分数的条形统计图和扇形统计图： 球队 各节得分 平均分 中位数 宁波大学 16.25 ________ 广东工业大学 ________ 17.5 （1）填空：在扇形统计图中，第二节所在扇形的圆心角为________； （2）请完成表中所缺的数据（单位：分）； （3）已知宁波大学得分的方差为，请你计算广东工业大学各节得分的方差，并运用以上数学统计知识来说明广东工业大学为什么能夺冠． 【答案】（1） （2）17.5；16.5 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）将第二节的百分比乘以即可求出第二节所在扇形的圆心角的度数； （2）根据平均数和中位数的计算公式和确定方法即可完成表中所缺的数据； （3）根据方差公式计算出广东工业大学各节得分的方差，并运用以上数学统计知识来说明广东工业大学为什么能夺冠即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：宁波大学得分为：15，20，21，9，由小到大排列为：9，15，20，21， 宁波大学得分的中位数为：（分）； 广东工业大学得分为：19，16，20，11， 广东工业大学得分的平均分为：（分）， 球队 各节得分 平均分 中位数 宁波大学 16.25 广东工业大学 17.5 故答案为：，； 【小问3详解】 解：广东工业大学各节得分的方差为：， 从平均数看，广东工业大学成绩的平均数高于宁波大学成绩的平均数，说明广东工业大学成绩好些； 从中位数看，广东工业大学成绩的中位数等于宁波大学成绩的中位数，说明两校相当； 从方差看，广东工业大学成绩的方差小于宁波大学成绩的方差，说明广东工业大学成绩比较稳定． 所以广东工业大学能夺冠． 【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数，方差，能从统计图中获取数据，掌握相关统计量的确定方法或计算公式以及意义是解题的关键． 21. 某跨海大桥东西走向，双向四条车道，在旅游旺季经常拥堵，交警部门为了缓解交通压力，他们对该路段的汽车流量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到以下表格，发现时间和汽车流量的变化规律符合一次函数的特征． 时间x 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 200 320 440 560 680 自西向东交通量（辆/分钟） 500 440 380 320 260 （1）请用一次函数分别表示与x、与x之间的函数关系． （2）如图，交警希望启用“潮汐式”通行方式来缓解交通压力，根据汽车流量情况改变车道的行车方向：大流量方向的汽车可在该路段借用相邻的对向机动车道通行，对向机动车道实行双向通行．单位时间内交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使用“潮汐式”通行方式以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置“潮汐式”通行方式以缓解交通拥堵（在何时间段借用何方向机动车道通行），并说明理由． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出，时的范围，进行分析即可． 【小问1详解】 解：设， 把代入，得： ，解得： ∴， 把代入，得： ，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：． 当时，即，解得； 当时，即，解得． ∴8时到9时，自西向东的车可借用自东向西的车道通行； 18时到20时，自东向西的车可借用自西向东的车道通行． 22. 在综合与实践课上，王老师以“等腰直角三角形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作验算 如图1，是等腰直角三角形纸片，，为上一点，．甲同学沿对折，使点的对应点落在射线上，折痕分别交射线、射线于点、点． ①求的值； ②若，求、的值； （2）迁移探究 如图2，是等腰直角三角形纸片，，为线段上任意一点．乙同学沿对折，使点的对应点落在射线上，折痕分别交射线、射线于点、点． 探究与的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 如图3，是等腰直角三角形纸片，，丙同学在取点，使，沿对折，使点的对应点落在射线上，折痕交线段于点，连接，求证：． 【答案】（1）① ②， （2）；理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①先得出，得到；②过点作交于点，，，； （2）过点作交于点，交于点，，，得出，根据，得出，再根据，，得出； （3）过点作的平行线交的延长线于点，根据，得出，得到，再证明，得到，，得到，得出． 【小问1详解】 解：①由题意得：， ， ， ； ②过点作交于点， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点作交于点，交于点， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， 又， ； 【小问3详解】 解：过点作的平行线交的延长线于点， ，由（2）可得， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，折叠的性质等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 抛物线，，是常数，． （1）若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； （2）若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； （3）若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）1.5 【解析】 【分析】（1）由可知图象过，则图象不过点，将点，代入抛物线，即可解答； （2）根据根与系数关系即可得证； （3）将代入得①，根据抛物线的对称轴为直线，可得，整理得②，由①②得到，整理得到，，根据题意，将，代入得，即可解答． 【小问1详解】 解：， 图象过， 图象不过点， 将点，代入抛物线， 得， 解得， ； 【小问2详解】 证明：抛物线与轴两个交点的横坐标为、， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：将代入得①， 抛物线对称轴为直线， ， ②， 由①②得到， ， ， ， ， ． 且， ，， ，，， ， ， 将，代入得， 当时，符合， 有最小值1.5． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象的性质，最值问题，掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 24. 已知：如图1，是的直径，弦与半径平行． （1）求证：； （2）如图2，过点作的垂线，交于点，交于点，连接，若，，求的长； （3）在（2）的条件下，如图3，连接、，延长、，相交于点， ①请在图中找出与相似的所有三角形？并选择其中一对说明理由？ ②求的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）①、与相似；理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）由同圆的半径相等可得，根据等边对顶角可得，再由平行线性质得，推出，即可证得结论； （2）连接，由直径所对的圆周角是直角可得，设，则，，由平行线性质得，则，推出，即，解得：，再运用勾股定理即可求得答案； （3）①与相似的三角形有：和，运用垂径定理得，则，再由公共角得，即可证得；利用圆内接四边形的性质可得出，，即可证得； ②连接交于，过点作于，过点作交的延长线于，设与交于，由，得，可得，求得，，推出，，利用勾股定理可得，运用面积法可得，进而得出，再由相似三角形性质即可求得答案． 【小问1详解】 证明：如图1， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图2，连接， 是的直径，且， ，， ， ， 设，则，， ， ， ， ，即， 解得：， ， 在中，， 直径弦， ，， ， ； 【小问3详解】 解：①如图3，与相似的三角形有：和， 选择，理由如下： 直径弦， ， ，即， ， ； 选择，理由如下： 四边形是圆内接四边形， ， ， ， 同理可得：， ， ， ； ②如图3，连接交于，过点作于，过点作交的延长线于，设与交于， 由（2）得：，，，，， 则， ， ， ， ，即， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 的周长， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握圆的相关性质和相似三角形的判定和性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$