精品解析：山东省泰安市宁阳县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

2022-2023学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 一、选择题（共12题，每题4分，共48分） 1. 给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断． 【详解】解：①∵，∴是二次根式； ②6不是二次根式； ②∵，∴不是二次根式； ④∵，∴，∴是二次根式； ⑤∵，∴是二次根式； ⑥是三次根式，不是二次根式． 所以二次根式有3个． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次根式的定义，解题时，要注意：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，5，1 B. 3，1，5 C. 3，，1 D. 3，1， 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式：（a，b，c为常数且），即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，1， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．对于一元二次方程（），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 3. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件可得关于x的不等式组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 4. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. b 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意得到，然后化简绝对值和二次根式即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，二次根式的化简，正确得到是解题的关键． 5. 设，是方程的两个不相等实数根，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2023 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个不相等实数根， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 6. 不解方程，判断方程的根的情况是( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定． 【答案】B 【解析】 【分析】利用根的判别式进行求解并判断即可． 【详解】解：∵ ∴ 原方程中，，，， ， 原方程有两个不相等的实数根 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答此题的关键，当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根． 7. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的一般步骤，准确计算．根据配方法解一元二次方程的方法进行解答即可． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同加上16得：， 此方程可变形为． 故选：D． 8. 如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为，设小路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路的宽米，小路的面积一个长32宽的矩形面积一个长20宽的矩形的面积，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽米， 则． 故选：B 9. 如图，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为（ ） A. 12 B. 14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用菱形的性质和勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． ∵， ∴菱形的面积， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形对角线互相垂直平分是解题的关键． 10. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ） A. （-1，） B. （-，1） C. （-2，1） D. （-1，2） 【答案】B 【解析】 【详解】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，如图所示： 则∠OEC=∠ADO=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵A的坐标为（1，）， ∴AD=，OD=1， ∵四边形OABC是正方形， ∴OA=OC，∠AOC=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠3=∠2， 在△OCE和△AOD中，， ∴△OCE≌△AOD（AAS）， ∴OE=AD=，CE=OD=1， ∴C（-，1）， 故选B． 【点睛】考点：1．全等三角形的判定与性质；2．坐标与图形性质；3．正方形的性质． 11. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作交AD于E，若，则AE的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形ABCD，得到AD=BC=8，∠ADC=90°，OA=OC，从而得证△AOE≌△COE，AE=CE，设AE=x，则EC=x，DE=8-x，利用勾股定理计算即可． 【详解】如图，连接EC， ∵ 矩形ABCD，，， ∴AD=BC=8，AB=CD=4，∠ADC=90°，OA=OC， ∵，∴∠AOE=∠COE=90°， ∵OE=OE， ∴△AOE≌△COE，AE=CE， 设AE=x，则EC=x，DE=8-x， 在Rt△DEC中，， ∴， ∴x=5， ∴AE=5， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形全等，勾股定理是解题的关键． 12. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝4，CE＝2，T为AF的中点，则CT的长是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】据正方形的性质得到AB=BC=4，CG=CE=2，连接AC、CF，求出∠ACF=90°，得到CT=AF，根据勾股定理求出AF的长度即可得到答案． 【详解】解：连接AC、CF，如图， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，AB=BC=4，CG=CE=2， ∴AC＝AB＝4 ，CF＝CE＝2，∠ACD＝45°，∠GCF＝45°， ∴∠ACF＝45°+45°＝90°， 在Rt△ACF中，AF＝， ∵T为AF的中点， ∴CT＝AF＝． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，解题的关键是正确引出辅助线得到∠ACF=90°． 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 13. 最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x=___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式化成最简根式后，被开方数相同的即为同类二次根式进行判断即可． 【详解】解：， ∵与是同类二次根式， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 14. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到，且，求解即可, 本题考查了，根据一元二次方程根的情况求参数，解题的关键是：熟记一元二次方方程成立的条件． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故答案为：且． 15. 已知是方程的一个根，则______． 【答案】2022 【解析】 【分析】把代入方程可得，进而问题可求解． 【详解】解：把代入方程可得， ∴； 故答案为：2022． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 16. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝20，证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD＝10即可． 【详解】解：∵DEAC，CEBD， ∴四边形OCED为平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8， ∴∠DOC＝90，CD＝＝＝10， ∴平行四边形OCED为矩形， ∴OE＝CD＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 17. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．由矩形的性质得出，由已知条件得出，，由线段垂直平分线的性质得出，得出为等边三角形，即可求出的长，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 已知正方形的边长为6，点E、F分别在、上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正方形的性质证出，所以，进而证得是直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 在△ABE和△DAF中， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考点涉及正方形的性质、三角形全等的证明、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识点，难度适中，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 三、解答题（共7题，共78分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式先化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）利用二次根式的乘除法法则，进行计算即可解答． 【小问1详解】 【小问2详解】 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【小问1详解】 解：， 整理得：， ∴原方程的解是，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， ∴原方程的解是，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 21. 为防控新冠疫情，减少交叉感染，某超市在线上销售优质农产品，该超市于今年一月底收购一批农产品，二月份销售256盒，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400盒．若农产品每盒进价25元，原售价为每盒40元， （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）该超市五月份降价促销，经调查发现，若该农产品每盒降价1元，销售量可增加5盒，当农产品每盒降价多少元时，这种农产品在五月份可获利4250元？ 【答案】（1）三、四月份两个月的平均增长率为25% （2）当农产品每盒降价5元时，这种农产品在五月份可获利4250元 【解析】 【分析】（1）直接利用2月销量× =4月的销量进而求出答案； （2）首先设出未知数，再利用每袋的利润×销量=总利润列出方程，再解即可． 【小问1详解】 解：设三、四月份两个月的平均增长率为x，由题得： ， 解得（不合题意，舍去）， ∴三、四月份两个月的平均增长率为25%； 【小问2详解】 设每盒降价m元时，五月份获利4250元，由题得： （40-25-m）（400+5m）=4250， 解得（不合题意，舍去）， ∴当农产品每盒降价5元时，这种农产品在五月份可获利4250元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 22. 如图，菱形的边长为10， ，对角线相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作且边EF与直线DC相交于点F． （1）求菱形的面积； （2）求证． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，再根据题意及特殊角的三角函数值求出AC和BD的长度，根据菱形的面积＝对角线乘积的一半即可求解． （2）连接EC，设∠BAE的度数为x，易得EC=AE，利用三角形的内角和定理分别表示出∠EFC和∠ECF的度数，可得∠EFC=∠ECF，即EC=EF，又因为EC=AE，即可得到AE=EF． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD且AO=CO，BO=DO， ∵ ∴ ∵AB=10， ∴， ∴， ∴菱形的面积= 【小问2详解】 证明：如图，连接EC， 设∠BAE的度数为x， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD是AC的垂直平分线， ∴AE=CE，∠AED=∠CED，∠EAC=∠ECA=60°-x， ∵∠ABD=30°， ∴∠AED=∠CED =30°+x， ∴∠DEF=∠AEF-∠AED=120°-（30°+x）=90°-x ∵∠BDC=∠ADC=30° ∴∠EFC=180°-（∠DEF+∠BDC）=180°-（90°-x+30°）= x+60°， ∵∠CED =30°+x， ∴∠ECD =180°-（∠CED+∠BDC）=180°-（30°+x+30°）=120°- x， ∴∠ECF =180°-∠ECD =180°-（120°- x）= x+60°， ∴∠EFC=∠ECF， ∴EF=EC， ∵AE=CE， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、菱形面积的求解、特殊角的三角函数值以及三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 23. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动、同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．几秒后，四边形的面积等于？请写出过程． 【答案】1秒或4秒 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”．利用时间路程速度，可分别求出点，到达终点所需时间，当运动时间为时，，，．根据四边形的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合当时，点重合，即可得出结论． 【详解】．由（1）得：， ，，运动时间t的取值范围为：， ∵四边形APQC的面积等于， ∴， 整理得：， 解得，， ∴或4时，四边形APQC的面积等于． 答：1秒或4秒后，四边形APQC的面积等于． 24. 如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：， ，即， 四边形是平行四边形， ∴，， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，再由勾股定理的逆定理得为直角三角形，，然后由面积法求出的长，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形为矩形， ，， ，，， ， 为直角三角形，， ， ，即，解得， ． 25. 如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． （1）求证：； （2）求证： （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由正方形，正方形可得，，，后利用即可证明结论； （2）由，得，再根据得，解答即可； （3）由（1）则可得，后在中，利用勾股定理可得的长，进而求得的长． 【小问1详解】 证明：四边形，是正方形， ，，， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， 四边形是正方形，， ，， ，， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 一、选择题（共12题，每题4分，共48分） 1. 给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（　　 ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，5，1 B. 3，1，5 C. 3，，1 D. 3，1， 3. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 4. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. b 5. 设，是方程的两个不相等实数根，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2023 D. 6. 不解方程，判断方程的根的情况是( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定． 7. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为，设小路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为（ ） A. 12 B. 14 C. D. 10. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ） A. （-1，） B. （-，1） C. （-2，1） D. （-1，2） 11. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作交AD于E，若，则AE的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 12. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝4，CE＝2，T为AF的中点，则CT的长是（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 13. 最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x=___________． 14. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 15. 已知是方程的一个根，则______． 16. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为_____． 17. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为________ 18. 已知正方形的边长为6，点E、F分别在、上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为________． 三、解答题（共7题，共78分） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 为防控新冠疫情，减少交叉感染，某超市在线上销售优质农产品，该超市于今年一月底收购一批农产品，二月份销售256盒，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400盒．若农产品每盒进价25元，原售价为每盒40元， （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）该超市五月份降价促销，经调查发现，若该农产品每盒降价1元，销售量可增加5盒，当农产品每盒降价多少元时，这种农产品在五月份可获利4250元？ 22. 如图，菱形的边长为10， ，对角线相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作且边EF与直线DC相交于点F． （1）求菱形的面积； （2）求证． 23. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动、同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．几秒后，四边形的面积等于？请写出过程． 24. 如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 25. 如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． （1）求证：； （2）求证： （3）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $