精品解析： 2024年河南省商丘市九年级下学期毕业会考数学试题

2024年九年级毕业会考试卷数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 数学美是简洁性、对称性、统一性和奇异性的有机结合．下列曲线中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. 爱心曲线 B. 蝴蝶曲线 C. 费马螺线曲线 D. 四叶花曲线 2. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A. 瓜熟蒂落 B. 旭日东升 C. 守株待兔 D. 夕阳西下 3. 在中，若|，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的方程的一根为0，另一根不为0，则m的值为（　　） A. 1 B. C. 1或 D. 以上均不对 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A. （―1，2） B. （―9，18） C. （―9，18）或（9，―18） D. （―1，2）或（1，―2） 6. 抛物线y=kx2-1与双曲线在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，并且，．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，CD为的直径，，，，则弦（ ） A B. C. D. 9. 如图，在中，延长斜边到点C，使，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，，点P为平面内一点，且，点Q为CD上一个动点，则的最小值为（ ） A. 11 B. C. D. 13 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则的值为 __． 12. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 13. 若函数y=mx+（m+2）x+m+1图象与 x 轴只有一个交点，那么m的值为_______． 14. 如图，在中，，点B在x轴上，分别为、的中点，连接，E为上任意一点，连接、，反比例函数的图象经过点A，若的面积为6，则k的值为__________． 15. 如图，在中，，将绕直角顶点顺时针旋转得，点的对应点是点，则图中阴影部分面积为______． 三、计算题（本题共8题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. “二十四节气”是中华上古农耕文明智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． （1）小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的的概率． 18. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为． （1）求行进路线和所在直线夹角的度数； （2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）． 19. 某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示． （1）求关于的函数表达式： （2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】 20. 已知抛物线交轴于，，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记的中点为，直线，的交点为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若，，且，求证：，，三点共线； （3）小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值，请求出此定值． 21. 如图，是的外接圆，为的直径，过点作平分交于点，过点作的平行线分别交、的延长线于点，，于点，连接． （1）求证：； （2）求证：是切线； （3）若，，求劣弧的长度（结果保留． 22. 《函数）复习课后，为加深对函数的认识，李老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下，请完成探究过程： （1）初步感知：函数的自变量取值范围是 　　； （2）作出图象：①列表： 0 1 2 3 2 3 5 表中　　，　　； ②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； （3）研究性质： 小明观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数是中心对称图形，对称中心为，则函数的对称中心为 　　； （4）拓展应用：当时，关于的方程有实数解，求的取值范围． 23. 如图①，是一块锐角三角形材料，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个定点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少？ （1）解这个题目，求出这个正方形零件的边长是多少？ 变式训练： （2）如果要加工成一个矩形零件，如图②，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长是多少？ （3）如图③，在中，，正方形的边长是8，且四个顶点都在的各边上，．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年九年级毕业会考试卷数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 数学美是简洁性、对称性、统一性和奇异性的有机结合．下列曲线中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. 爱心曲线 B. 蝴蝶曲线 C. 费马螺线曲线 D. 四叶花曲线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）逐项判断，即可解题． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 2. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A. 瓜熟蒂落 B. 旭日东升 C. 守株待兔 D. 夕阳西下 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案． 【详解】解：A选项，瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； B选项，旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； C选项，守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，发生的可能性大于0且小于1； D选项，夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意． 故选C． 3. 在中，若|，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出，，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选A． 4. 已知关于x的方程的一根为0，另一根不为0，则m的值为（　　） A. 1 B. C. 1或 D. 以上均不对 【答案】A 【解析】 【分析】首先将根为0代入方程解得的值，然后利用根的判别式进行判断的范围，再根据二次项系数不能为0，从而得到所求的的值． 【详解】解：关于的方程的一根为0， ， 即， 解得：或． 当时，方程为， 解之得，，符合题意； 当时，方程为， 方程只有一个根，不符合题意； ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解和根的判别式的综合运用，关键是求到的取值范围． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A. （―1，2） B. （―9，18） C. （―9，18）或（9，―18） D. （―1，2）或（1，―2） 【答案】D 【解析】 【详解】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似 ∴△ ABO∽△A′B′O且＝ .∴＝＝ ∴A′E＝AD＝2 OE＝OD＝1 ∴A′（-1,2） 同理可得A′′（1,-2） 方法二：∵点A（-3，6）且相似比为 ∴点A对应点A′的坐标是（-3×，6×）， ∴A′（-1,2） ∵点A′′和点A′（-1,2）关于原点O对称 ∴A′′（1,-2） 故选：D． 6. 抛物线y=kx2-1与双曲线在同平面直角坐标系中图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况：①当时，②当时，分别判断反比例函数图像与抛物线的位置，即可求解． 【详解】分两种情况讨论：①当时，反比例函数在第一、三象限，而二次函数开口向上，顶点在y轴上，且与y轴交点为，四个选项都不符合；②当时，反比例函数在第二、四象限，而二次函数开口向下，顶点在y轴，且与y轴交点为，D选项符合． 【点睛】本题主要考查反比例函数与二次函数的综合，熟练掌握反比例函数与二次函数的图像和性质，是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，并且，．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，直接利用相似三角形的判定与性质得出三边关系，再利用勾股定理得出答案． 【详解】解：过点作轴于点N，过点作轴于点M， 由题意可得：， ∴轴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， 则， 解得：（负数舍去）， 则， 故点C的对应点的坐标为：． 故选：A． 8. 如图，在中，CD为的直径，，，，则弦（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接BD，由圆周角定理得出∠BDC=60°，进而证明△OBD是等边三角形，由CD⊥AB及勾股定理，可求出BF的长度，再由垂径定理即可得出AB的长度． 【详解】解：连接BD， ∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB， ∴AB=2BF，， ∵∠AEC=60°， ∴∠ODB=∠AEC=60°， ∵OD=OB， ∴△OBD是等边三角形， ∴OB=OD=4， ∴OF=OD=2， ∴BF=， ∴AB=2BF=， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理及垂径定理，理解垂径定理是解题的关键． 9. 如图，在中，延长斜边到点C，使，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质和正切的定义是解题关键，过点D作交于点E，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴设，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，矩形中，，，点P为平面内一点，且，点Q为CD上一个动点，则的最小值为（ ） A. 11 B. C. D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短；作点关于的对称点，连接，，则：，再根据，进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，，则， ∴， 又∵， ∴当四点共线时，的值最小为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴的值最小为； 故选A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则的值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，设，，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：设，， 则 ． 故答案为：． 12. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 13. 若函数y=mx+（m+2）x+m+1的图象与 x 轴只有一个交点，那么m的值为_______． 【答案】0,2,-2 【解析】 【分析】当m=0时，函数为一次函数满足题意，当m≠0时，函数为二次函数，此时△=0，可求得m的值. 【详解】解:①当m=0时,函数为y=2x+1，此时图象与x轴有一个交点； ②当m≠0时,函数y=mx+ (m+2)x+m+1的图象是抛物线, 若抛物线图象与x轴只有一个交点,则方程mx+ (m+2)x+m+1=0只有一个根, 即△=0，可得△=(m+2)-4m(m+1)=0, 解得=2，=-2. 综上可得m的值为0,2,-2. 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识,解答本题的关键是对函数中m的值进行分类讨论,此题难度不大,但是很容易出现错误. 14. 如图，在中，，点B在x轴上，分别为、的中点，连接，E为上任意一点，连接、，反比例函数的图象经过点A，若的面积为6，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象、等腰三角形以及中位线的性质、三角形面积，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质. 根据等腰中位线得出, 应用的几何意义求. 【详解】如图: 连接, 中， 在轴上, 分别为的中点, ∴, ， ， 故答案为： 15. 如图，在中，，将绕直角顶点顺时针旋转得，点的对应点是点，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，直角三角形的边角关系以及扇形的面积，掌握旋转的性质，直角三角形的边角关系以及扇形、三角形的面积的计算方法是正确解答的关键．根据旋转的性质，直角三角形的边角关系以及扇形、三角形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：取的交点为，如图， 由题意可知，， 在中，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、计算题（本题共8题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，特殊角三角函数的混合运算： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）将特殊角三角函数值代入计算即可． 【详解】解：（1）， ， 或， 解得，； （2） ． 17. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． （1）小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率、概率公式． （1）根据概率公式进行解答即可； （2）根据题意画出树状图，得到共有9种等可能的结果，其中，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”有5种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：有题意可知，“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）共有三种情况，则小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为． 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意可画树状图如下： 由图知一共9种结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的情况有5种， 小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率为． 18. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为． （1）求行进路线和所在直线的夹角的度数； （2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）行进路线和所在直线的夹角为 （2）检查点和之间的距离为 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可； （2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【小问1详解】 解：如图，根据题意得，，， ， ． 在中，， ． 答：行进路线和所在直线的夹角为． 【小问2详解】 过点A作，垂足为． ， ， ． , 在中， ， ． , 在中，， ， ． 答：检查点和之间的距离为． 【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键． 19. 某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示． （1）求关于的函数表达式： （2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】 【答案】（1） （2）销售价格为元时，利润最大为 【解析】 【分析】（1）分时，当时，分别待定系数法求解析式即可求解； （2）设利润为，根据题意当时，得出，当时，， 进而根据分时，当时，分别求得最大值，即可求解． 【小问1详解】 当时，设关于的函数表达式为，将点代入得， ∴ 解得： ∴， 当时，设关于的函数表达式为，将点代入得， 解得： ∴， 【小问2详解】 设利润为 当时， ∵在范围内，随着的增大而增大， 当时，取得最大值为； 当时， ∴当时，w取得最大值为 ， 当销售价格为元时，利润最大为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 20. 已知抛物线交轴于，，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记的中点为，直线，的交点为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若，，且，求证：，，三点共线； （3）小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值，请求出此定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查属于二次函数综合题，考查二次函数的交点式，一次函数解析式，两条直线的交点坐标等． （1）根据抛物线与x轴的交点坐标设交点式，与对比，求出a的值即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点D坐标，证明点D满足直线的解析式即可； （3）在（2）的条件下，求出直线，的解析式，联立求出点P的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 则， 即抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 证明：设直线对应的函数表达式为， 为中点， ． 又， ，解得：， 直线对应的函数表达式为， 点在抛物线上， ， 解得：或， ， ，， ，即满足直线对应的函数表达式， 点在直线上，即，，三点共线； 【小问3详解】 解：小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值， 故在（2）的条件下，，，，， 直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为， 联立上述两式得：， 解得：， 则点，， 此时的面积． 21. 如图，是的外接圆，为的直径，过点作平分交于点，过点作的平行线分别交、的延长线于点，，于点，连接． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求劣弧的长度（结果保留． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由是的外接圆，为的直径，可得，由，可得，由平分，可得，，则，，进而可证； （2）如图1，连接，由，可得，则，由，可得，则，，进而结论得证； （3）证明，则，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，则，，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是的外接圆，为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图1，连接， 图1 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， 是的切线； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 由勾股定理得，，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ． ∴劣弧的长度为． 【点睛】本题考查了外接圆，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的判定与性质，角平分线，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，正切，弧长等知识．熟练掌握外接圆，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的判定与性质，角平分线，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，正切，弧长是解题的关键． 22. 《函数）复习课后，为加深对函数的认识，李老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下，请完成探究过程： （1）初步感知：函数的自变量取值范围是 　　； （2）作出图象：①列表： 0 1 2 3 2 3 5 表中　　，　　； ②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； （3）研究性质： 小明观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数是中心对称图形，对称中心为，则函数的对称中心为 　　； （4）拓展应用：当时，关于的方程有实数解，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①，0；②见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合等知识．熟练掌握分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合是解题的关键． （1）由题意知，，求解作答即可； （2）①将，分别代入求解即可；②描点连线即可； （3）由图象与反比例函数的性质可知，函数的对称中心为，然后作答即可； （4）由题意知，当时，函数中，，把，代入函数得，，解得，把，代入函数得，解得，然后作答即可． 【小问1详解】 解：∵函数， ∴，解得， ∴函数的自变量的取值范围是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①时，， ， 当时，， ， 故答案为：，0； ②函数图象如图所示： 【小问3详解】 解：函数的对称中心为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：当时，函数中，， 把，代入函数得，，解得， 把，代入函数得，解得， 当时，关于的方程有实数解，的取值范围是． 23. 如图①，是一块锐角三角形材料，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个定点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少？ （1）解这个题目，求出这个正方形零件的边长是多少？ 变式训练： （2）如果要加工成一个矩形零件，如图②，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长是多少？ （3）如图③，在中，，正方形边长是8，且四个顶点都在的各边上，．求的值． 【答案】（1）；（2）当，时，此时矩形面积最大．（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质： （1）设正方形零件的边长为，根据，可得，即可求解； （2）设，根据，可得，从而得到，即可求解； （3）根据，可得，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ， ， 设正方形零件的边长为 ，则 ，，， ， 即， 解得， 故这个正方形零件的边长是． （2）设 ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 矩形面积， 时，此时矩形面积最大． 即当，时，此时矩形面积最大． （3）四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $