1.4 充分条件与必要条件（五大题型）（精练）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

1．4 充分条件与必要条件 目录 【题型归纳】 2 题型一：充分条件与必要条件的判断 2 题型二：根据充分条件求参数取值范围 2 题型三：根据必要条件求参数取值范围 3 题型四：根据充要条件求参数取值范围 3 题型五：充要条件的证明 4 【重难点集训】 4 【高考真题】 7 【题型归纳】 题型一：充分条件与必要条件的判断 1．（2024·山西朔州·模拟预测）设，则“且”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·高二·福建龙岩·阶段练习）下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·黑龙江·期末）褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类.若甲是一只鸟，则“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（多选题）（2024·高一·浙江温州·阶段练习）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 题型二：根据充分条件求参数取值范围 5．（2024·高一·江苏徐州·期末）已知集合，. (1)求的真子集； (2)若______，求实数的取值集合. 从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答. ①“”是“”的充分条件；②. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 6．（2024·高一·上海·课堂例题）设，，是的充分条件，求实数的取值范围. 7．（2024·高一·山东济南·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 题型三：根据必要条件求参数取值范围 8．（2024·高一·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 9．（2024·高一·江苏镇江·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围. 10．（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）已知集合或，. (1)若，求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 题型四：根据充要条件求参数取值范围 11．（2024·高一·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 12．（2024·高一·陕西西安·开学考试）命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ． 13．（2024·高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 14．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 题型五：充要条件的证明 15．（2024·高一·全国·专题练习）设a，b，c分别是△ABC的三条边，且．则△ABC为直角三角形的充要条件是．试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明． 16．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 17．（2024·高一·全国·课堂例题）已知，求证：成立的充要条件是. 【重难点集训】 1．（2024·高一·四川泸州·期末）已知实数x，y，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·高一·广东江门·期中）设，当时；当时.例如，则“，或，”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（2024·高二·江西宜春·期末）已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 4．（2024·高一·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024·高一·江苏·专题练习）的一个必要条件但不是充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高三·河南焦作·开学考试）对于任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2024·高一·辽宁·期中）使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高一·广西玉林·期中）已知表示不超过的最大整数，例如：，，下列说法正确的是（    ） A．集合 B．集合的非空真子集的个数是30个 C．若“”是“”的充分不必要条件，则 D．若，则 10．（多选题）（2024·高一·河北·阶段练习）设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的必要条件的图为（    ） A．   B．   C．   D．   11．（多选题）（2024·高一·安徽亳州·阶段练习）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·高一·全国·课后作业）下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 ． 13．（2024·高一·北京·阶段练习）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是 . 14．（2024·高一·上海宝山·阶段练习）已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 . 15．（2024·高一·全国·课堂例题）已知，，其中，若“”是“”的充分而不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 16．（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 17．（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）已知非空集合，. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 18．（2024·高一·广东广州·阶段练习）设集合． (1)，求； (2)若“”是“”的必要条件，求m的取值范围． 【高考真题】 1．（2023年北京高考数学真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023年天津高考数学真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2022年新高考天津数学高考真题）“为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2008 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（安徽卷））是方程有一个负数根的（    ） A．必要不充分条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2005年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖北卷））对任意实数，，，给出下列命题： ①“”是“”充要条件； ②“是无理数”是“是无理数”的充要条件； ③“”是“”的充分条件； ④“”是“”的必要条件． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2004 年普通高等学校招生考试数学试题（上海卷））若非空集合，则“或”是“”的（    ） A．必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 7．（2019年浙江省高考数学试卷）若，则“”是 “”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2019年天津市高考数学试卷（理科））设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷））钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 10．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷））“1＜x＜2”是“x＜2”成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）数学（理科））“”是“一元二次方程”有实数解的 A．充分非必要条件 B．充分必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．4 充分条件与必要条件 目录 【题型归纳】 2 题型一：充分条件与必要条件的判断 2 题型二：根据充分条件求参数取值范围 3 题型三：根据必要条件求参数取值范围 4 题型四：根据充要条件求参数取值范围 5 题型五：充要条件的证明 6 【重难点集训】 8 【高考真题】 14 【题型归纳】 题型一：充分条件与必要条件的判断 1．（2024·山西朔州·模拟预测）设，则“且”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若且，则，即充分性成立； 若，例如，满足， 但不满足且，即必要性不成立； 综上所述：“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2024·高二·福建龙岩·阶段练习）下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，是的不充分不必要条件，A不是； 对于B，是的一个必要不充分条件，B是； 对于C，是的一个充分不必要条件，C不是； 对于D，是的一个充分不必要条件，D不是. 故选：B 3．（2024·高二·黑龙江·期末）褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类.若甲是一只鸟，则“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由“甲是马鸡”不能推出“甲是褐马鸡”，由“甲是褐马鸡”可推出“甲是马鸡”， 所以“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的必要不充分条件. 故选：B 4．（多选题）（2024·高一·浙江温州·阶段练习）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 【答案】AB 【解析】根据条件弄清楚之间的关系，然后逐一判断即可.由已知有 所以且，故A正确，C不正确 ，B正确，且，D不正确 故选：AB 题型二：根据充分条件求参数取值范围 5．（2024·高一·江苏徐州·期末）已知集合，. (1)求的真子集； (2)若______，求实数的取值集合. 从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答. ①“”是“”的充分条件；②. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）， 所以集合的真子集有； （2）选①，因为“”是“”的充分条件， 所以， 当时，，符合题意， 当时，， 因为，所以或，所以或， 综上所述，实数的取值集合为. 选②，因为，所以， 当时，，符合题意， 当时，， 因为，所以或，所以或， 综上所述，实数的取值集合为. 6．（2024·高一·上海·课堂例题）设，，是的充分条件，求实数的取值范围. 【解析】因为，，是的充分条件， 所以，则. 所以实数的取值范围. 7．（2024·高一·山东济南·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【解析】（1）解可得， 故可知， 当时，， 所以，； （2）因为是的充分不必要条件， 所以⫋，则， 解得. 题型三：根据必要条件求参数取值范围 8．（2024·高一·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为当时，， 所以. （2）因为“”是“”成立的必要条件，所以， 当时，，，满足； 当时，， 因为，所以解得； 综上，实数的取值范围为或. 9．（2024·高一·江苏镇江·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）时，， ，故或， 故或； （2）“”是“”必要不充分条件，故是的真子集， ，， 故，解得， 故实数的取值范围是 10．（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）已知集合或，. (1)若，求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【解析】（1）时，，故或， ，或， 故； （2）由题意得是的真子集， 若，则，解得， 若，则或， 解得， 故的取值范围是或 题型四：根据充要条件求参数取值范围 11．（2024·高一·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 12．（2024·高一·陕西西安·开学考试）命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ． 【答案】 【解析】因为一次函数的图像经过一、二、四象限， 则满足，解得， 即一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是. 故答案为：. 13．（2024·高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 【答案】-1 【解析】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1 14．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【答案】 【解析】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 故答案为： 题型五：充要条件的证明 15．（2024·高一·全国·专题练习）设a，b，c分别是△ABC的三条边，且．则△ABC为直角三角形的充要条件是．试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明． 【解析】设a，b，c分别是△ABC的三条边，且，△ABC为锐角三角形的充要条件是． 充分性：在△ABC中，若，则不是直角， 假设为钝角，如图①，作，交BC延长线于点D， 则由勾股定理得， ， 即，与“”矛盾， 故为锐角，即△ABC为锐角三角形，故充分性成立； 必要性：在△ABC，是锐角，作，D为垂足，如图②， 则由勾股定理得， ， 即，故必要性成立． 故△ABC为锐角三角形的充要条件为． 16．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【解析】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即， 充分性：若，则，即满足方程， 则关于x的方程有一个根为2； 综上命题得证． 17．（2024·高一·全国·课堂例题）已知，求证：成立的充要条件是. 【解析】先证充分性：因为，所以， 所以 . 再证必要性：因为， 所以，又，所以且， 所以，所以，即. 综上可知，当时，成立的充要条件是. 【重难点集训】 1．（2024·高一·四川泸州·期末）已知实数x，y，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当,取,可得,充分条件不成立; ,必要条件成立; 故选：B. 2．（2024·高一·广东江门·期中）设，当时；当时.例如，则“，或，”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】当，或，时，， 由时知，， 当时，根据定义可知，所以，故只要满足且即可， 显然不止，或，这种情况， 比如，等也满足， 所以“，或，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（2024·高二·江西宜春·期末）已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由题意， 若是的充分条件，则当且仅当， 对比选项可知实数可以是3. 故选：A. 4．（2024·高一·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集 对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题； 对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题；同理不能确定有没有的元素，故③是假命题； 对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命题. 故选：B. 5．（2024·高一·江苏·专题练习）的一个必要条件但不是充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A：是的充要条件.判断错误； 选项B：是的必要条件但不是充分条件.判断正确； 选项C：是的充分不必要条件条件. 判断错误； 选项D：是的既不充分也不必要条件. 判断错误. 故选：B 6．（2024·高一·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 7．（2024·高三·河南焦作·开学考试）对于任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】对任意的，记，则， 若，则，即，则， 因为，，则，由不等式的基本性质可得， 所以，，所以，，即， 所以，“”“”； 若，如取，，则，故“” “”. 因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8．（2024·高一·辽宁·期中）使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得， 所以，解得， 即成立的充要条件为：， 对于A，由，得，是“”成立的充分不必要条件； 对于B，由，得，是“”成立的充要条件； 对于C，是 “”成立的必要不充分条件； 对于D，，得或，是 “”成立的既不充分也不必要条件. 故选：C. 9．（多选题）（2024·高一·广西玉林·期中）已知表示不超过的最大整数，例如：，，下列说法正确的是（    ） A．集合 B．集合的非空真子集的个数是30个 C．若“”是“”的充分不必要条件，则 D．若，则 【答案】CD 【解析】时，时，， 时，，时，， 时，，时，， ，集合的非空真子集有个，所以A，B错误． 又若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，所以，C正确． 若，则时，； 时，， 综上，D正确． 故选：CD. 10．（多选题）（2024·高一·河北·阶段练习）设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的必要条件的图为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【解析】对于，开关闭合灯亮，反过来灯泡亮，也可能是开关闭合， 是的充分不必要条件； 对于，只有一个开关，灯如果要亮，开关必须闭合， 是的充要条件； 对于灯亮必须和同时闭合，是的必要不充分条件； 对于，灯一直亮，跟开关没有关系，是的既不充分也不必要条件. 故选：BC. 11．（多选题）（2024·高一·安徽亳州·阶段练习）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，，若“”是真命题， 当时，则，即，解得或， 当时，则由题意可得方程有两个非负实数根， 所以，解得， 综上，的取值范围是，即是真命题的充要条件为， 故其充分不必要条件为它的真子集，故B、C、D均符合题意. 故选：BCD 12．（2024·高一·全国·课后作业）下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 ． 【答案】②③ 【解析】由解得． 对于①，是的必要不充分条件； 对于②，是的充分不必要条件； 对于③，是的充分不必要条件； 对于④，是的充要条件； 对于⑤，是的必要不充分条件． 故选:②③． 13．（2024·高一·北京·阶段练习）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是 . 【答案】①③④ 【解析】对于命题①，由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即，故命题①正确； 对于命题②，不妨设，由新定义，， 这表明了此时，故命题②不正确； 对于命题③，由新定义，若，则一定有且， 这表明了此时集合是集合的子集，即，故命题③正确； 对于命题④，若，则当且仅当，即若，则一定有， 由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即若，则，故命题④正确. 综上所述：所有正确命题的序号是①③④. 故答案为：①③④. 14．（2024·高一·上海宝山·阶段练习）已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 15．（2024·高一·全国·课堂例题）已知，，其中，若“”是“”的充分而不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 【解析】 由题意得⫋. 所以或， 解得， 即实数m的取值范围是. 16．（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，集合，则或， 所以. （2）若“”是“”的必要条件，则， 因为，则，可知， 可得，解得， 所以实数的取值范围. 17．（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）已知非空集合，. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当时，，所以或， 又，所以或. （2）因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集， 又A是非空集合，所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 18．（2024·高一·广东广州·阶段练习）设集合． (1)，求； (2)若“”是“”的必要条件，求m的取值范围． 【解析】（1）当时，，故或， 又，故 （2）“”是“”的必要条件，故， 当时，，∴，符合题意； 当时，需满足，解得 综上所述，m的取值范围为或. 【高考真题】 1．（2023年北京高考数学真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2．（2023年天津高考数学真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3．（2022年新高考天津数学高考真题）“为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件， 由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件， 综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件， 故选：A. 4．（2008 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（安徽卷））是方程有一个负数根的（    ） A．必要不充分条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】方程有一个负数根，若，此时，不成立，舍去； 若，则，此时方程在R上无解，舍去； 若，则，故，满足题意， 综上：是方程有一个负数根的充分必要条件. 故选：B 5．（2005年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖北卷））对任意实数，，，给出下列命题： ①“”是“”充要条件； ②“是无理数”是“是无理数”的充要条件； ③“”是“”的充分条件； ④“”是“”的必要条件． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①中“” “”为真命题， 但当时，“” “”为假命题， 故“”是“”的充分不必要条件，故①为假命题； ②中“是无理数” “是无理数”为真命题， “是无理数” “是无理数”也为真命题， 故“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故②为真命题； ③中“” “”为假命题，如、满足，但是， “” “”也为假命题，如、满足，但是， 故“”是“”的即充分也不必要条件，故③为假命题； ④中，故“”是“”的必要条件，故④为真命题． 故真命题的个数为2 故选：B． 6．（2004 年普通高等学校招生考试数学试题（上海卷））若非空集合，则“或”是“”的（    ） A．必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】依题意，非空集合， 所以， “或”即， 所以“或”是“”的必要条件. 故选：A 7．（2019年浙江省高考数学试卷）若，则“”是 “”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 8．（2019年天津市高考数学试卷（理科））设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.化简不等式，可知 推不出； 由能推出， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选B． 9．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷））钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B． 【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题． 10．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷））“1＜x＜2”是“x＜2”成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为“若，则”是真命题，“若，则”是假命题，所以“”是“”成立的充分不必要条件．选A． 考点：充分必要条件的判断． 11．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）数学（理科））“”是“一元二次方程”有实数解的 A．充分非必要条件 B．充分必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【解析】方程有解，则．是的充分不必要条件．故A正确． 考点：充分必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$