1.4 充分条件与必要条件（五大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

1．4 充分条件与必要条件 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：充分条件与必要条件的判断 4 题型二：根据充分条件求参数取值范围 5 题型三：根据必要条件求参数取值范围 6 题型四：根据充要条件求参数取值范围 7 题型五：充要条件的证明 8 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 知识点三：充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 知识点诠释：对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题． 【典型例题】 题型一：充分条件与必要条件的判断 【典例1-1】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）“或”的一个必要不充分条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【典例1-2】（2024·高三·北京·开学考试）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【方法技巧与总结】 1、判断充分条件、必要条件的注意点 （1）明确条件与结论． （2）判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题． （3）可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q． 2、充分条件、必要条件的两种判断方法 （1）定义法： ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． （2）命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 【变式1-1】（2024·高二·安徽合肥·期末）子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（多选题）（2024·高一·广东深圳·阶段练习）若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 【变式1-3】（2024·高一·广东东莞·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二：根据充分条件求参数取值范围 【典例2-1】（2024·高一·天津·期中）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【典例2-2】（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 【变式2-1】（2024·高一·江苏淮安·期末）已知集合， (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式2-2】（2024·高一·安徽蚌埠·阶段练习）已知集合，集合为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式2-3】（2024·高一·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 题型三：根据必要条件求参数取值范围 【典例3-1】（2024·高一·河北保定·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【典例3-2】（2024·高二·江苏南通·期中）已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 【变式3-1】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知或，，若p是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【变式3-2】（2024·高三·江西南昌·阶段练习）已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围． 题型四：根据充要条件求参数取值范围 【典例4-1】（2024·高一·广西钦州·期末）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【典例4-2】（2024·高一·浙江杭州·期末）已知，若p是q的充要条件，则 ， . 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 【变式4-1】（2024·高二·广西贵港·期中）关于的方程无实数根的充要条件是 ． 【变式4-2】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）集合中至多有一个元素的充要条件是   . 题型五：充要条件的证明 【典例5-1】（2024·高一·上海·课堂例题）证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件. 【典例5-2】（2024·高一·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【方法技巧与总结】 （1）证明充分性； （2）证明必要性． 【变式5-1】（2024·高一·全国·课堂例题）证明：，，，是等式恒成立的充要条件． 【变式5-2】（2024·高一·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．4 充分条件与必要条件 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：充分条件与必要条件的判断 4 题型二：根据充分条件求参数取值范围 6 题型三：根据必要条件求参数取值范围 8 题型四：根据充要条件求参数取值范围 10 题型五：充要条件的证明 11 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 知识点三：充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 知识点诠释：对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题． 【典型例题】 题型一：充分条件与必要条件的判断 【典例1-1】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）“或”的一个必要不充分条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】因为或是或的真子集， 所以“或”是“或”的必要不充分条件，其他选项均不合要求． 故选：A 【典例1-2】（2024·高三·北京·开学考试）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】，而 同样，而，所以充分性、必要性都不成立. 故选：D 【方法技巧与总结】 1、判断充分条件、必要条件的注意点 （1）明确条件与结论． （2）判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题． （3）可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q． 2、充分条件、必要条件的两种判断方法 （1）定义法： ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． （2）命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 【变式1-1】（2024·高二·安徽合肥·期末）子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1-2】（多选题）（2024·高一·广东深圳·阶段练习）若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 【答案】AB 【解析】依题，四个命题的关系图可化为：. 则，所以乙是甲的必要不充分条件，A正确； ，甲是丙的充分不必要条件，B正确； 若甲：，丁：，乙和丙均为，满足题设，但此时丁是甲的充分必要条件， C错误； ，所以乙是丁的必要不充分条件，D错误. 故选：AB 【变式1-3】（2024·高一·广东东莞·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】， 故是的必要不充分条件， 故选：B 题型二：根据充分条件求参数取值范围 【典例2-1】（2024·高一·天津·期中）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，集合， 又或，则， 或；. （2）若，且“”是“”的充分不必要条件， ⫋，则 解得， 故的取值范围是. 【典例2-2】（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 【变式2-1】（2024·高一·江苏淮安·期末）已知集合， (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是的充分条件， 所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 当时，符合题意，则，解得， 当时，则，解得， 综上所述，. 【变式2-2】（2024·高一·安徽蚌埠·阶段练习）已知集合，集合为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】因为为非空集合，所以，解得． 若是的充分不必要条件，则⫋，故，得． ， 故的取值范围为． 【变式2-3】（2024·高一·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【解析】（1）因为， 由，知，则或或， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以的取值集合为． （2）由题意得，，故， 又是的充分不必要条件， 所以是的真子集，于是， 解得：，经检验符合条件， 综上，实数m的取值范围是． 题型三：根据必要条件求参数取值范围 【典例3-1】（2024·高一·河北保定·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由，则或， 若，则， 所以． （2）若是的必要条件，则． 当时，即时，，符合题意； 当时，即时，， 要满足，可得，解得； 综上，实数m的取值范围为或． 【典例3-2】（2024·高二·江苏南通·期中）已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为命题为真命题， 而 ，所以且，解得 （2）令，， 因为是的必要不充分条件，所以是A的真子集， 若，此时； 若，则，解得， 综上所述，存在使得是的必要不充分条件 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 【变式3-1】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知或，，若p是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【解析】由是的必要不充分条件，所以BA， 当，即时，，满足题意； 当，即时，则有或，即或，所以. 综上，的取值范围是. 【变式3-2】（2024·高三·江西南昌·阶段练习）已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围． 【解析】（1）当时，，所以或， 又，所以或. （2）因为“”是“”的必要条件，则， 当时，则，即； 当时，，解得， 综上所述，m的取值范围为. 题型四：根据充要条件求参数取值范围 【典例4-1】（2024·高一·广西钦州·期末）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】0 【解析】， 则{x|}＝{x|}， 即. 故答案为：0. 【典例4-2】（2024·高一·浙江杭州·期末）已知，若p是q的充要条件，则 ， . 【答案】 【解析】由p是q的充要条件，可得，建立方程组即可求解.若p是q的充要条件，则， ，解得. 故答案为：；. 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 【变式4-1】（2024·高二·广西贵港·期中）关于的方程无实数根的充要条件是 ． 【答案】 【解析】充分性：由关于的方程无实数根 当时，原方程变形为：，显然无实数根，故满足题意； 当时，由无实数根的，可得， 可得：，解得：， 综合可得：， 必要性：当，关于的方程无实数根， 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）集合中至多有一个元素的充要条件是   . 【答案】或 【解析】由已知得方程至多一个根， 或，解得 故答案为或 题型五：充要条件的证明 【典例5-1】（2024·高一·上海·课堂例题）证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件. 【解析】①先证明充分性： 已知：四边形ABCD是平行四边形， 求证：四边形ABCD的对角线互相平分； 证明：设AC与BD交于点，如图示： 四边形ABCD是平行四边形， ，且，， ，， 四边形ABCD的对角线互相平分，即充分性得证； ②再证必要性： 已知：四边形ABCD的对角线互相平分， 求证：四边形ABCD是平行四边形； 证明：由已知可得，且，， ，，且，， 四边形ABCD是平行四边形，即必要性得证； 综上所述，"四边形ABCD是平行四边形"是"四边形ABCD的对角线互相平分"的充要条件. 【典例5-2】（2024·高一·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【解析】证明：充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【方法技巧与总结】 （1）证明充分性； （2）证明必要性． 【变式5-1】（2024·高一·全国·课堂例题）证明：，，，是等式恒成立的充要条件． 【解析】证明：充分性： 若，，，， 则等式自然恒成立． 必要性： 由于等式恒成立，分别令、1、、，并代入上式， 得 由此，可得，，，． 故，，，是等式恒成立的充要条件. 【变式5-2】（2024·高一·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【解析】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$1．4 充分条件与必要条件 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作， 这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识梳理 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）“或”的一个必要不充分条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】因为或是或的真子集， 所以“或”是“或”的必要不充分条件，其他选项均不合要求． 故选：A 题型一：充分条件与必要条件的判断 典型例题 【典例1-2】（2024·高三·北京·开学考试）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】，而 同样，而，所以充分性、必要性都不成立. 故选：D 【方法技巧与总结】 判断充分条件、必要条件的注意点 （1）明确条件与结论． （2）判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题． （3）可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q． 题型一：充分条件与必要条件的判断 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·安徽合肥·期末）子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 题型一：充分条件与必要条件的判断 典型例题 【变式1-2】（多选题）（2024·高一·广东深圳·阶段练习）若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 【答案】AB 【解析】依题，四个命题的关系图可化为：. 则，所以乙是甲的必要不充分条件，A正确； ，甲是丙的充分不必要条件，B正确； 若甲：，丁：，乙和丙均为，满足题设，但此时丁是甲的充分必要条件， C错误； ，所以乙是丁的必要不充分条件，D错误.故选：AB 题型一：充分条件与必要条件的判断 典型例题 【典例2-1】（2024·高一·天津·期中）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，集合， 又或，则， 或；. （2）若，且“”是“”的充分不必要条件， ⫋，则 解得，故的取值范围是. 题型二：根据充分条件求参数取值范围 典型例题 【典例2-2】（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 题型二：根据充分条件求参数取值范围 典型例题 【变式2-1】（2024·高一·江苏淮安·期末）已知集合， (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是的充分条件， 所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 当时，符合题意，则，解得， 当时，则，解得， 综上所述，. 题型二：根据充分条件求参数取值范围 典型例题 【变式2-2】（2024·高一·安徽蚌埠·阶段练习）已知集合， 集合为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】因为为非空集合， 所以，解得． 若是的充分不必要条件，则⫋， 故，得． ， 故的取值范围为． 题型二：根据充分条件求参数取值范围 典型例题 【典例3-1】（2024·高一·河北保定·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由，则或， 若，则， 所以． （2）若是的必要条件，则． 当时，即时，，符合题意； 当时，即时，， 要满足，可得，解得； 综上，实数m的取值范围为或． 题型三：根据必要条件求参数取值范围 典型例题 【典例3-2】（2024·高二·江苏南通·期中）已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为命题为真命题， 而 ，所以且，解得 （2）令，， 因为是的必要不充分条件，所以是A的真子集， 若，此时； 若，则，解得， 综上所述，存在使得是的必要不充分条件 题型三：根据必要条件求参数取值范围 典型例题 【变式3-1】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知或，，若p是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【解析】由是的必要不充分条件， 所以B是A的真子集， 当，即时，，满足题意； 当，即时，则有或， 即或，所以. 综上，的取值范围是. 题型三：根据必要条件求参数取值范围 典型例题 【变式3-2】（2024·高三·江西南昌·阶段练习）已知集合， ． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围． 【解析】（1）当时，，所以或， 又，所以或. （2）因为“”是“”的必要条件，则， 当时，则，即； 当时，，解得， 综上所述，m的取值范围为. 题型三：根据必要条件求参数取值范围 典型例题 【典例4-1】（2024·高一·广西钦州·期末）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】0 【解析】， 则{x|}＝{x|}， 即. 故答案为：0. 题型四：根据充要条件求参数取值范围 典型例题 【典例4-2】（2024·高一·浙江杭州·期末）已知，若p是q的充要条件，则 ， . 【答案】 【解析】由p是q的充要条件，可得，建立方程组即可求解.若p是q的充要条件，则， ，解得. 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 题型四：根据充要条件求参数取值范围 典型例题 【变式4-1】（2024·高二·广西贵港·期中）关于的方程无实数根的充要条件是 ． 【答案】 【解析】充分性：由关于的方程无实数根 当时，原方程变形为：，显然无实数根，故满足题意； 当时，由无实数根的，可得， 可得：，解得：， 综合可得：， 必要性：当，关于的方程无实数根， 故答案为：. 题型四：根据充要条件求参数取值范围 典型例题 【变式4-2】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）集合中至多有一个元素的充要条件是   . 【答案】或 【解析】由已知得方程至多一个根， 或，解得 故答案为或 题型四：根据充要条件求参数取值范围 典型例题 【典例5-1】（2024·高一·上海·课堂例题）证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件. 【解析】①先证明充分性： 已知：四边形ABCD是平行四边形， 求证：四边形ABCD的对角线互相平分； 证明：设AC与BD交于点，如图示： 四边形ABCD是平行四边形， ，且，， ，， 四边形ABCD的对角线互相平分，即充分性得证； ②再证必要性： 已知：四边形ABCD的对角线互相平分， 求证：四边形ABCD是平行四边形； 证明：由已知可得，且，， ，，且，， 四边形ABCD是平行四边形，即必要性得证； 综上所述，"四边形ABCD是平行四边形"是"四边形ABCD的对角线互相平分"的充要条件. 题型五：充要条件的证明 典型例题 【典例5-2】（2024·高一·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程 有两个异号实根的充要条件． 【解析】证明：充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【方法技巧与总结】 （1）证明充分性； （2）证明必要性． 题型五：充要条件的证明 典型例题 【变式5-1】（2024·高一·全国·课堂例题）证明：，，，是等式恒成立的充要条件． 【解析】证明：充分性： 若，，，， 则等式自然恒成立． 必要性： 由于等式恒成立， 分别令、1、、，并代入上式， 得 由此，可得，，，． 故，，，是等式恒成立的充要条件. 题型五：充要条件的证明 典型例题 【变式5-2】（2024·高一·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【解析】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 题型五：充要条件的证明 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2023年北京高考数学真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023年天津高考数学真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2022年新高考天津数学高考真题）“为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2008 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（安徽卷））是方程有一个负数根的（    ） A．必要不充分条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2019年浙江省高考数学试卷）若，则“”是 “”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 C B A B A $$