1.4.1 充分条件与必要条件-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

1.4.1　充分条件与必要条件 　 第一章　1.4　充分条件与必要条件 学习目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解 性质定理与必要条件的关系．　 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解 判定定理与充分条件的关系，培养逻辑推理核心素养． 知识点一　命题 1 知识点二　充分条件与必要条件 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　命题 返回 阅读以下四个语句： (1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点； (2)同位角相等； (3)两个面积相等的三角形全等； (4)同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行． 问题1.以上四个语句的表述形式有什么特点？ 提示：两个特点：①均是陈述句；②能够判断真假． 问题2.你能判断这些语句的真假吗？ 提示：(1)(4)为真；(2)(3)为假． 问题导思 1．定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断______的________叫做命题． 2．分类：判断为____的语句是真命题；判断为____的语句是假命题． 3．结构形式：“若p，则q”形式的命题中，___称为命题的条件，___称为命题的结论． 新知构建 (1)并非任何语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题．(2)命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断．(3)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题． 微提醒 真假 陈述句 真 假 p q 判断下列命题的真假： (1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d； 解：假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. (2)若x∈N，则x3>x2成立； 解：假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立． (3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； 解：真命题．因为m>1⇒Δ＝4－4m<0， 所以方程x2－2x＋m＝0无实数根． (4)存在一个三角形没有外接圆． 解：假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆． 例1 规律方法 判断命题真假的方法 要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断．而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 对点练1.给出下面四个命题： ①若xy＝1，则x，y互为倒数； ②平面内，四条边相等的四边形是正方形； ③平行四边形是梯形； ④若ac2>bc2，则a>b. 其中真命题的序号是________． ①④ ①④是真命题，②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形． 返回 知识点二　充分条件与必要条件 返回 给出下列命题： (1)若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数． (2)若ab＝0，则a＝0. 问题3.你能判断这两个命题的真假吗？ 提示：(1)是真命题；(2)是假命题． 问题4.命题(1)中的条件和结论有什么关系？命题(2)中的呢？ 提示：命题(1)中只要满足条件“整数a是6的倍数”，必有结论“整数a是2和3的倍数”；命题(2)中满足条件“ab＝0”，不一定有结论“a＝0”，还可能“b＝0”． 问题导思 充分条件与必要条件 新知构建 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p____q p______ q 条件关系 p是q的______条件 q是p的______条件 p不是q的______条件 q不是p的______条件 (1)一般地，如果p⇒q且q p，则称p是q的充分不必要条件．(2)如果p q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．(3)如果p q且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 微提醒 ⇒ 充分 必要 充分 必要 若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？ 提示：不唯一．例如q：“x>0”的充分条件p可以“x>2”“x>3” “2<x<3”等，是不唯一的． 微思考 (链教材P18例1，P19例2)给出下面四组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； 解：因为两个三角形相似 两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， 所以p是q的必要条件但不是充分条件． (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； 解：因为矩形的对角线相等，所以p⇒q， 而对角线相等的四边形不一定是矩形， 所以q p. 所以p是q的充分条件但不是必要条件． 例2 (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； 解：因为p⇒q且q⇒p， 所以p既是q的充分条件，又是q的必要条件． (4)p：a>b，q：ac>bc. 试分别指出p是q的什么条件． 解：因为p q，且q p， 所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． 规律方法 充分、必要条件的判断方法 1．定义法：判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． 2．集合法：利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 对点练2.指出下列各题中，p是q的什么条件： (1)p：实数a能被6整除，q：实数a能被3整除； 解：实数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立，即p⇒q， q p， 所以p是q的充分不必要条件． (2)p：“x>2且y>3”，q：“x＋y>5”； 解：x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定成立，如x＝0，y＝6， 所以p是q的充分不必要条件． 返回 (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形． 解：在△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即p q，且q⇒p， 所以p是q的必要不充分条件． 综合应用 返回 根据充分(必要)条件求参数 已知集合P＝{x|－2＜x＜4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围． 解：由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集． 当3m－2＞5m＋2，即m＜－2时，Q＝∅，满足题意； 综上，m的取值范围是 . 例5 变式探究　(变设问)本例条件不变，是否存在实数m使P的必要条件 为Q? 解：由题意得，P是Q的子集，即P⊆Q， 则 解得m∈∅， 所以不存在实数m使P的必要条件为Q. 规律方法 充分条件与必要条件的应用技巧 1．应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． 2．求解技巧：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 对点练3.已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是_________________． {a|－1≤a≤5} 返回 课堂小结 知识归纳 (1)充分条件、必要条件的概念．(2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(3)充分条件、必要条件的判断．(4)充分条件与必要条件的应用 方法技巧 等价转化 常见误区 (1)充分条件、必要条件不唯一．(2)求参数范围时能否取到端点值 随堂演练 返回 1．俗语云：“好人有好报”．这句话中“好人”是“有好报”的 A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．故选A. √ 2．若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的 A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充分条件，也是必要条件 D．既不充分条件，也不必要条件 由a∈M∪N a∈M，但a∈M⇒a∈M∪N，即p q，但q⇒p.故选B. √ 3．(多选)使x>1成立的一个必要条件可以是 A．x>0 B．x>－1 C．x>2 D．x<2 √ √ 只有x>1⇒x>0，x>1⇒x>－1，其他选项均不可由x>1推出．故选AB. 4．若“－1<x<3”是“x>2a－3”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 因为“－1<x<3”是“x>2a－3”的充分不必要条件，所以{x|－1<x<3}是{x|x>2a－3}的真子集，则2a－3≤－1，解得a≤1. {a|a≤1} 返回 课时测评 返回 1．已知p：x(x－1)＝0，q：x＝1，则p是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 由x(x－1)＝0得x＝0或x＝1，所以p q，q⇒p，故p是q的必要不充分条件．故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．下列选项中，p是q的必要条件的是 A．p：a＝－1，q：|a|＝1 B．p：－1<a<1，q：a<1 C．p：a<b，q：a<b＋1 D．p：a>b，q：a>b＋1 √ 要满足p是q的必要条件，即q⇒p，只有q：a>b＋1⇒p：a>b符合题意．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则m＝1是A⊆B的 A．充分条件 B．必要条件 C．无法判断 D．既不充分条件也不必要条件 √ 若A⊆B，则有m∈B且m≠3，所以m＝1或m＝5，故当m＝1时，有A⊆B，而A⊆B时，m不一定是1，故m＝1是A⊆B的充分条件，不是必要条件．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．已知P＝{x|m－2<x<m＋3}，Q＝{x|1<x<3}，若“x∈Q”是“x∈P”的充分条件，则实数m的取值范围是 A．0<m<3 B．0<m≤3 C．0≤m<3 D．0≤m≤3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是 A．p：整数a能被4整除，q：a的个位数字为偶数 B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形的对角线相等 C．p：x>2，q：x≥1 D．p：a>b，q：ac2>bc2 选项A中，若整数a能被4整除，则a是偶数，所以a的个位 数字为偶数，所以p⇒q，即p是q的充分条件；选项B中，四 边形为等腰梯形⇒四边形的对角线相等，所以p⇒q，即p是 q的充分条件；选项C中，用数轴表示不等式，如图， 所以p⇒q，即p是q的充分条件；选项D中，当c＝0时，a>b ac2>bc2，所以p q，即p不是q的充分条件．故选ABC. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是 A．若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B．若x>5，则x>10 C．若ac＝bc，则a＝b D．若0<x<5，则|x－1|<1 √ √ √ 对于A，两个相似的三角形不一定全等，故A不正确；对于B，x>10能推出x>5，故B正确；对于C，由a＝b，能推出ac＝bc，故C正确；对于D，若|x－1|<1，则0<x<2，能推出0<x<5，故D正确．故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．下列说法中正确的有________(填序号)． ①x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分条件； ②x>1是x>2的充分条件； ③x＋y>2是x>1，y>1的必要条件． ①③ ①正确，因为x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0；②错误，因为x>1不能推出x>2；③正确，因为x>1，y>1⇒x＋y>2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件(用“充分”“必要”填空)． 若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件但不是必要条件． 充分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a(a<0)．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为___________． {a|a≤－9} 因为p是q的必要条件，所以q⇒p，所以 解得a≤－9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)指出下列命题中，p是q的充分条件，还是必要条件： (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝ ；(3分) 解：因为x2＝2x＋1 x＝ ，x＝ ⇒x2＝2x＋1，所以p是q的必要条件． (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3分) 解：因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0 a2＋b2＝0，所以p是q的充分条件． (3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.(4分) 解：因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，(x－1)(y－2)＝0 (x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是 A．x＋y＝2 B．x＋y>2 C．x2＋y2>2 D．xy>1 √ 对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)下列式子：①x<1；②0<x<1；③－1<x< ；④－1<x<0.其中，可以是－1<x<1的一个充分条件的序号为 A．① B．② C．③ D．④ √ √ √ 因为－1<x<1，所以②③④是－1<x<1的充分条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是 A．{b|－2≤b<0} B．{b|0<b≤2} C．{b|－2<b<2} D．{b|－2≤b≤2} √ A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}＝{x|b－a<x<b＋a}．因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1， 即－2<b<2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)已知p：－1<x<3，若－a<x－1<a是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围． 解：由于p：－1<x<3， 又由－a<x－1<a，得1－a<x<1＋a， 依题意，得{x|－1<x<3}⊆{x|1－a<x<1＋a}， 所以 解得a≥2， 则使a>b恒成立的实数b的取值范围是{b|b<2}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么 A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 √ 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充 分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙 丙， 如图． 综上，有丙⇒甲，但甲 丙，即丙是甲的充分条件，但 不是甲的必要条件．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)(开放题)(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？(5分) 解：欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件， 则只要 ⊆{x|x<－1，或x>3}， 即只需 －≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？(10分) 解：欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3} ⊆ ，这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1，或x>3的必要条件． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 返回 $$