精品解析：福建省龙岩市永定区仙师中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

永定区仙师中学2023~2024学年第二学期综合训练（一）八年级数学 （答题时间：120分钟，满分：150分） 注意：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分． 2．请把所有答案填涂或书写到答题卡上！ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡的相应位置． 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 5，6，7 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理（如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2， 那么这个三角形就是直角三角形）对各选项依次计算后即可解答． 【详解】选项A，因为12+22≠32，不能组成直角三角形； 选项B，因为22+32≠42，不能组成直角三角形； 选项C，因为32+42=52，能组成直角三角形； 选项D，因为52+62≠72，不能组成直角三角形. 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的识别．熟记定义，是解题的关键．根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 3. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，由此即可判断． 【详解】解：A、＝2，故A不符合题意； B、＝2，故B不符合题意； C、＝2，故C不符合题意； D、＝2，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的含义，熟记同类二次根式的定义是解本题的关键． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5. 一块正方形的瓷砖，面积为，它的边长大约在      A. 之间 B. 之间 C. 之间 D. 之间 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式求得：边长×边长=50，所以边长=(取正值) ． 【详解】设正方形的边长为，则 ， ∴， ∵正方形的边长， ∴， 又∵，即， ； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，运用“夹逼法”是解答此题的关键． 6. 已知，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法，是解题关键．根据分母有理化，可化简a，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴， 故选：B． 7. 三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：， ∴ 即， 所以此三角形是直角三角形， 故选：C． 8. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理算出的长度，再进行求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得图形：， 在中：， 所以． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3厘米～6厘米之间． 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 9. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由题意可得，，，再由勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴点表示的数为， 故选：B． 10. 已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ） A. B. C. D. 大小无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由勾股定理可得，易得，然后用分别表示和，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵为直角三角形的三边，且。 ∴， ∴， ∵， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及整式运算，结合题意正确表示出和是解题关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分．把答案书写在答题卡的相应位置． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，分母不等于零，进行求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 12. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“由点的坐标求点到原点的距离”是解本题的关键． 直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中， 点到原点的距离， 故答案为：． 13. 若是整数，则正整数m的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，把分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴m最小值为， 故答案为：． 14. 已知,则的值为______________. 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查了代数式的求值，关键是根据二次根式有意义的条件求出x的值． 根据二次根式被开方数为非负数，列不等式组求出x的值，再根据根据x的值求出y的值，即可代入求解． 【详解】由题意可得 解得 ∴ ∴ 故答案为5． 15. 如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则______． 【答案】45° 【解析】 【分析】利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出∠ABC=45°． 【详解】解：连接AC， 根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10． ∴AB2=AC2+BC2，AC=BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键． 16. 如图，在中，，，，点D在边上，且平分的周长，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据勾股定理得到，求得的周长，得到，过作于，由直角三角形面积，求得，根据勾股定理求得，则，然后再由勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 的周长， 平分的周长， ， ， 过作于， ∵ ， 在中， ∴ 在中， ， 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案书写在答题卡的相应位置． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，零指数幂，熟练掌握二次根式运算法则和零指数幂运算法则是解题的关键． 先用平方差公式与零指数幂计算，再计算乘方，然后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 19. 已知a＋＝1＋，求a2＋的值． 【答案】 【解析】 【分析】直接把原等式的两边平方，化简后即可求解. 【详解】∵， ∴a2＋ ＝－2 ＝(1＋)2－2 ＝9＋2. 20. 已知平面内两点，，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． （1）已知点A，B所在直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，点A的纵坐标为______； （2）已知点，，试求A，B两点间的距离． 【答案】（1）点A的纵坐标为6或 （2）A，B两点间的距离为13 【解析】 【分析】本题考查两点间的距离公式及勾股定理，熟记以上知识是解题的关键． （1）由于横坐标相同，所以、两点间的距离等于纵坐标差的绝对值； （2）用勾股定理，根据两点间的距离公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4， ∴A的纵坐标为或者．即点A的纵坐标为6或． 【小问2详解】 解：， 即A，B两点间的距离为13． 21. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）依题知 米，用含有x的式子表示为 米； （2）请你求出旗杆的高度． 【答案】（1）5； （2）12米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长度是1米”填空； （2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【小问1详解】 解：根据题意知：米，米． 故答案为：5；； 【小问2详解】 解：在直角中，由勾股定理得： ， 即． 解得． 答：旗杆的高度为12米． 22. 中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． （1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求我国海监船行驶的航程BC的长. 【答案】（1）作图见解析；（2）20海里. 【解析】 【分析】（1）由题意得，我海监船与不明渔船行驶距离相等，即在OA上找到一点，使其到A点与B点的距离相等，所以连接AB，作AB的垂直平分线即可． （2）连接BC，利用第（1）题中作图，可得BC=AC．在直角三角形BOC中，利用勾股定理列出方程122+（36-BC）2=BC2，解方程即可． 【详解】(1)作AB的垂直平分线与OA交于点C； (2)连接BC， 由作图可得：CD为AB的中垂线，则CB=CA. 由题意可得：OC=36−CA=36−CB. ∵OA⊥OB， ∴在Rt△BOC中，BO2+OC2=BC2， 即：122+(36−BC)2=BC2， 解得BC=20. 答：我国海监船行驶的航程BC的长为20海里． 23. 阅读下列解题过程： ， ， 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出 ； （2）请你用含n（n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的解法，请化简： 【答案】（1）；（2）；（3）9． 【解析】 【分析】观察所给例子得出（1）（2）答案；运用（2）的答案先对（3）的每项化简去掉分母，再把中间相邻的两项两两相消得到（3）的答案． 【详解】（1） ； 故答案为：． （2）观察前面例子的过程和结果得：； （3）反复运用得 = = ==-1+10=9． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据已知条件找到规律并运用规律去掉式子中的分母再相消进行求解． 24. 为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动实践基地． （1）当班主任测量出八（1）班实践基地的三边长分别为，，时，二边的小明很快给出这块实践基地的面积．你求出的面积为_____． （2）八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，，如图，你能帮助他们求出面积吗? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用： （1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算即可； （2）过A作于点．根据勾股定理列出方程，解方程求出，再根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算，得到答案． 【小问1详解】 解：， 该三角形为直角三角形，其中13为斜边， 这块实践基地的面积为， 故答案为：30； 【小问2详解】 解：过A作于点． 设，则． 在和 由勾股定理得： 即：， 解得， 在中，由勾股定理得， ． 25. 在初中数学中，四边形是一个重要的研究对象，其中涵盖了丰富的知识．研究如图1所示的四边形，，相交于点E，且，我们将对该图形进行不同补充和改变，请你利用所学的知识来探讨以下问题： （1）如图2，若，，，求的长； （2）如图3，若，求四边形的面积； （3）如图4，若，，，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由题意得到，是等腰三角形即可求解； （2）四边形面积即可求解； （3）由勾股定理得到求可求解． 【小问1详解】 解：, 是等腰三角形， ， ， ∴垂直平分， ． 【小问2详解】 解：， ∴ ． 【小问3详解】 解： ∴都是直角三角形，每个直角三角形都满足勾股定理， ∴，， 得 ， 得 ， ∵上面两式左边相等，右边也相等， ∴， 将 代入上面等式， 解得，负值舍去． 【点睛】本题考查了四边形综合，三角形面积的计算，等腰三角形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永定区仙师中学2023~2024学年第二学期综合训练（一）八年级数学 （答题时间：120分钟，满分：150分） 注意：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分． 2．请把所有答案填涂或书写到答题卡上！ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡的相应位置． 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 5，6，7 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 一块正方形的瓷砖，面积为，它的边长大约在      A. 之间 B. 之间 C. 之间 D. 之间 6. 已知，，则有（ ） A. B. C. D. 7. 三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 8. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A B. C. D. 10. 已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ） A B. C. D. 大小无法确定 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分．把答案书写在答题卡的相应位置． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____________ 12. 在平面直角坐标系中，点到原点距离为______． 13. 若是整数，则正整数m的最小值是______． 14. 已知,则的值为______________. 15. 如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则______． 16. 如图，在中，，，，点D在边上，且平分的周长，则的长是______． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案书写在答题卡的相应位置． 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 已知a＋＝1＋，求a2＋的值． 20. 已知平面内两点，，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． （1）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，点A的纵坐标为______； （2）已知点，，试求A，B两点间的距离． 21. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）依题知 米，用含有x的式子表示为 米； （2）请你求出旗杆的高度． 22. 中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． （1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求我国海监船行驶的航程BC的长. 23. 阅读下列解题过程： ， ， 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出 ； （2）请你用含n（n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的解法，请化简： 24. 为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动实践基地． （1）当班主任测量出八（1）班实践基地的三边长分别为，，时，二边的小明很快给出这块实践基地的面积．你求出的面积为_____． （2）八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，，如图，你能帮助他们求出面积吗? 25. 在初中数学中，四边形是一个重要的研究对象，其中涵盖了丰富的知识．研究如图1所示的四边形，，相交于点E，且，我们将对该图形进行不同补充和改变，请你利用所学的知识来探讨以下问题： （1）如图2，若，，，求长； （2）如图3，若，求四边形的面积； （3）如图4，若，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $