第5章 3 一元一次方程的应用-【勤径学升】2024-2025学年新教材七年级上册数学同步练测配套教师用书（北师大版2024）

3 一元一次方程的应用 课时1　图形问题与和差倍分问题 　 　　　　　　 　　　　　 　　 等长变化问题　　 用一根长为16 m的铁丝围成一个长方形，已知长方形的长比宽长2 m，设这个长方形的宽是x m，则根据题意可列方程为( C ) A．2(x＋x)＝16 B．2(x＋2)＝16 C．2(x＋x＋2)＝16 D．2(x＋x－2)＝16 (教材P147例1变式)一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( B ) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm 等积变化问题　　 (枣庄中考)一个底面半径为10 cm，高为30 cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入底面直径为10 cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为( C ) A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm 将一个底面半径为6 cm，高为40 cm的“瘦长”圆柱形钢材锻压成底面半径为12 cm的“矮胖”圆柱形零件毛坯，请问毛坯的高是多少？ 解：设毛坯的高为x cm，根据题意，得 π×62×40＝π×122·x， 解得x＝10. 答：毛坯的高是10 cm. 面积问题　　 如图，将两个边长为14 cm的正方形的一部分重合在一起，此时整个图形的面积为360 cm2，已知重合部分是一个长为8 cm的长方形，则它的宽为( C ) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 　　　　 如图，长方形MNPQ是市民健身广场的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形A的边长是1，则长方形MNPQ的面积为143． 两个正方形，大正方形的边长比小正方形的边长长3厘米，大正方形的周长比小正方形的周长长1倍，则这两个正方形的面积分别是36_cm2和9_cm2． 和差倍分问题　　 长方形的周长为12 cm，长是宽的2倍，则长为4cm. 某工厂的产值连续增长，去年的是前年的1.5倍，今年的是去年的2倍，这三年的总产值为550万元，前年的产值是多少？ 解：设前年的产值是x万元，由题意，得 x＋1.5x＋1.5x×2＝550， 解得x＝100. 答：前年的产值是100万元． 　 　　　　　　 　　　　　 　　 一个圆柱体的半径变成原来的3倍，而高变成原来的，则变化后的圆柱体的体积是原来的圆柱体的体积的( C ) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．9倍 如图①是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的高是5cm. 　 2题图①　　　　2题图② 如图，一圆柱形容器的底面半径为0.5 m，高为1.5 m，里面盛有1 m深的水，将底面半径为0.3 m，高为0.5 m的圆柱形铁块沉入水中，则容器内水面将升高0.18m. 如图，一个长方体容器里装满了果汁，长方体的长为12 cm，宽为8 cm，高为24 cm.把果汁倒满旁边的圆柱形的玻璃杯，杯子的内径为6 cm，高为18 cm，这时原装的果汁容器内的果汁高度是多少？(π取3.14，结果精确到0.01 cm) 4题图 解：设这时原装的果汁容器内的果汁高度为x cm， 12×8x＝12×8×24－3.14×32×18， 解得x≈18.70. 答：这时原装的果汁容器内的果汁高度约为18.70 cm. 讲本P33　答案P33 (题型1变式)现有一个类似于圆柱，并且装有若干牛奶的玻璃瓶，测得其底面直径为10 cm，高为12 cm，当如图①放置时，测得液面高度为5 cm；当如图②放置时，测得液面高度为8 cm，求该玻璃瓶的总容积．(结果保留π) 解：设该玻璃瓶总容积为V cm3， 根据圆柱的体积公式，以及题图①和题图②的溶液体积相等， 可列方程π××5＝V－π××(12－8)， 解得V＝225π . 答：该玻璃瓶的总容积为225π cm3. (题型2变式)要围一个长方形的鸡场，使其长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成．现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米．你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？ 解：设小王设计的宽为x米，则长为(x＋5)米． 由题意可得x＋x＋(x＋5)＝35， 解得x＝10， 所以长为10＋5＝15米＞14米，故不符合实际． 设小赵设计的宽为y米，则长为(y＋2)米． 由题意可得2y＋(y＋2)＝35， 解得y＝11， 所以长为11＋2＝13米＜14米，符合实际． 所以小赵的设计符合实际，面积为11×13＝143(平方米). 答：小赵的设计符合实际，设计的鸡场的面积是143平方米． 课时2　数学文化问题 　 　　　　　　　 　　　　　 　 数学文化问题　　 今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问本米几何？大意是：在一器物中有一些米，第一个人取了一半，第二个人取了剩余部分的三分之一，第三个人取了剩余部分的四分之一后，还剩一斗五升米．问：原来有多少米？(提示：一斗＝10升) 解：设器中米本来有x斗， 前人取半后，余x斗，中人三分取一后， 余x＝x(斗)， 后人四分取一后，余 x＝x(斗). 依题意，得x＝1.5，解得x＝6. 答：器中米本来有6斗． 《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少．”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍．已知《孟子》一书共有34 685个字，问：他每天各读多少个字？ 解：设他第一天读x个字，则第二天读2x个字，第三天读4x个字． 根据题意，得x＋2x＋4x＝34 685， 解得x＝4 955， 所以2x＝2×4 955＝9 910， 4x＝4×4 955＝19 820. 答：他第一天读4 955个字，第二天读9 910个字，第三天读19 820个字． 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意：用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺，问：绳长、井深各是多少尺？ 解：设井深为x尺，则绳长为3(x＋5)或4(x＋1)尺． 依题意，得3(x＋5)＝4(x＋1)， 解得x＝11， 则4(x＋1)＝48(尺). 答：井深为11尺，绳长为48尺． (张家界中考)列方程解应用题：《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共卖羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何．”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元．求人数和羊价各是多少． 解：设人数为x人， 由题意，得5x＋45＝7x＋3， 解得x＝21， 羊价：5×21＋45＝150(元). 答：人数是21人，羊价是150元． 　 　　　　　　 　　　　　 　　 《孙子算经》记载的“荡杯问题”非常有趣．原题是今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”妇人曰：“有客．”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“两人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何．”大意是：一个妇女在河边洗碗，河官问：“洗多少碗？有多少客？”妇女答：“洗65只碗，客人二人共用一只饭碗，三人共用一只汤碗，四人共用一只肉碗，问有多少客人用餐．”请解答上述问题． 解：设有x位客人用餐， 根据题意，得x＋x＋x＝65， 解得x＝60. 答：有60位客人用餐． 《孙子算经》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？译文为：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺．问：木头多长？(一尺等于十寸) 解：设木头长x尺， 根据题意，得4.5＋x＝2(x－1)， 解得x＝6.5. 答：木头长6.5尺． 中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一．书中有一盈不足问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”译文：今有数人共同买金子，每人出400，多出来3 400；每人出300，多出来100，问：共有多少人？金价是多少？请解决这个问题． 解：设共有x人， 根据题意，得400x－3 400＝300x－100， 解得x＝33， 则400×33－3 400＝9 800. 答：共有33人，金价是9 800. 中国古代数学专著《九章算术》中有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文是：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问：买鸡的人数、鸡的价格各是多少文钱？ 解：设买鸡的人数为x人， 根据题意，得9x－11＝6x＋16， 解得x＝9， 则9×9－11＝70(文). 答：买鸡的人数为9人，鸡的价格是70文钱． 课时3　行程问题 　 　　　　　　　 　　　　　 　 相遇问题　　 甲、乙两人分别同时从A地、B地相向而行，当甲、乙两人相遇时，下列说法正确的是( C ) A．甲、乙两人所走的路程相同 B．甲、乙两人的速度相同 C．甲、乙两人所用的时间相同 D．甲走的时间比乙走的时间多 甲、乙两人从A地同时出发，去往距离A地100 km的B地，已知甲开车前往，速度为60 km/h，乙骑摩托车前往，速度为40 km/h，若甲到达B地后立即掉头，则甲、乙两人在出发2h后相遇． 太原南站与吕梁站相距173千米，某天一列快车从吕梁站出发开往太原南站，行驶33千米后，一列动车从太原南站出发开往吕梁站，动车出发0.5小时后与快车相遇，若动车每小时行驶的路程比快车每小时行驶的路程的1.5倍少20千米，则动车的速度是多少？ 解：设快车每小时行驶x千米，则动车每小时行驶(1.5x－20)千米．根据题意，得 33＋0.5(x＋1.5x－20)＝173， 解得x＝120， 则动车的速度是1.5×120－20＝160(千米/小时). 答：动车的速度是160千米/小时． 追及问题　　 小明每秒钟跑6米，小虎每秒钟跑5米，小虎站在小明前10米处，两人同时同向起跑，小明追上小虎需( A ) A．10秒 B．8秒 C．6秒 D．5秒 A，B两地相距600 km，甲车以60 km/h的速度从A地驶向B地，2 h后，乙车以100 km/h的速度沿着相同的道路从A地驶向B地．设乙车出发x小时后追上甲车，根据题意可列方程为( A ) A．60(x＋2)＝100x B．60x＝100(x－2) C．60x＋100(x－2)＝600 D．60(x＋2)＋100x＝600 环形跑道问题　　 (河北石家庄期末)甲、乙两人在400 m椭圆形跑道上练习长跑，甲每分钟跑300 m，乙每分钟跑260 m，两人同地、同时同向起跑，x分钟后第一次相遇，则x等于( A ) A．10 B．15 C．20 D．30 操场环形跑道周长为400 m，东东和乐乐一起去跑步，乐乐的速度为6 m/s，东东的速度是4 m/s. (1)若他们同时同地背向跑，则多少秒后两人第一次相遇？ (2)若他们同地同向跑，东东先跑5 s，则经过多少秒后两人第一次相遇？ (3)若他们同时同向跑，乐乐在东东前面20 m，经过多少秒后两人第一次相遇？ 解：(1)设x秒后两人第一次相遇， 由题意，得6x＋4x＝400， 解得x＝40. 答：40秒后两人第一次相遇． (2)设y秒后两人第一次相遇， 由题意，得6y－4y＝4×5， 解得y＝10. 答：10秒后两人第一次相遇． (3)设z秒后两人第一次相遇， 由题意，得6z＋20－4z＝400， 解得z＝190. 答：190秒后两人第一次相遇． 顺、逆水问题　　 一架飞机在两个城市之间飞行，顺风需55 min，逆风需1 h，已知风速是20 km/h，则两个城市之间的距离是( B ) A．460千米 B．440千米 C．420千米 D．400千米 (湖北武汉期末)一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2 h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5 h．已知水流的速度是3 km/h. (1)求船在静水中的平均速度； (2)一个小艇从甲码头到乙码头所用的时间是从乙码头到甲码头所用时间的一半，求小艇从甲码头到乙码头所用的时间． 解：(1)船在静水中的平均速度为27 km/h. (2)小艇从甲码头到乙码头所用的时间为5 h. (详细答案见《参考答案及解析》P35) 　 　　　　　　 　　　　　 　　 A，B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是( A ) A．2或2.5 B．2或10 C．10或12.5 D．2或12.5 某架飞机的油量最多够它在空中飞行4.6 h，飞机出发时顺风飞行，已知该飞机在无风时的速度为575 km/h，风速为25 km/h，这架飞机最远飞出多远就应返回？ 解：解法一　设这架飞机最远飞出x km就应返回， 根据题意，得＋＝4.6， 解得x＝1 320. 答：这架飞机最远飞出1 320 km就应返回． 解法二　设飞机在空中飞行4.6 h中顺风飞行的时间为t h， 根据题意，得(575＋25)t＝(575－25)(4.6－t)， 解得t＝2.2， 所以(575＋25)t＝600×2.2＝1 320. 答：这架飞机最远飞出1 320 km就应返回． A，B两地相距55千米，甲于上午6时从A地步行出发，下午5时到达B地，乙于上午10时从A地骑自行车出发，下午3时到达B地，则乙是在什么时间追上甲的？ 解：设乙x小时追上甲， 依题意，得x＝4×， 所以x＝＝3， 所以下午1点20分追上甲的． 答：乙是在下午1点20分追上甲的． 如图，数轴上点A对应的数为16，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，点Q以每秒3个单位长度的速度从原点O出发，且P，Q两点同时向数轴正方向运动．设运动时间为t秒． (1)填空：当t＝2时，P，Q两点对应的数分别为18，6，PQ的长为12； (2)当PQ＝9时，求t的值． 4题图 解：(1)18　6　12 [解析]因为16＋2×1＝18，0＋3×2＝6， 所以当t＝2时，P，Q两点对应的数分别是18，6， 所以PQ＝18－6＝12， 故答案为18，6，12. (2)运动t秒时，P，Q两点对应的数分别是16＋t，3t. ①当点P在点Q右侧时， 因为PQ＝9， 所以(16＋t)－3t＝9， 解得t＝3.5； ②当点P在点Q左侧时， 因为PQ＝9， 所以3t－(16＋t)＝9， 解得t＝12.5. 综上所述，t的值为3.5或12.5. 讲本P34　答案P35 (题型3变式)已知甲、乙两人在一条200米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的4段，即两条直道和两条弯道的长度相同，甲平均每秒跑4米，乙平均每秒跑6米，若甲、乙两人分别从A，C两处同时相向出发(如图所示)，请回答： (1)多少秒后两人首次相遇？并说出此时他们在跑道上的具体位置； (2)首次相遇后，又经过多长时间他们再次相遇？ (3)他们第10次相遇时，在哪一段跑道上？ 1题图 解：(1)10秒后两人首次相遇，此时他们在直道AB上，且离点B 10米． (2)首次相遇后，又经过20秒他们再次相遇． (3)他们第10次相遇时，在弯道AD上． (详细答案见《参考答案及解析》P35) 学科网（北京）股份有限公司 $$